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- 2021-05-13 发布
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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013 大纲全国，理 1)设集合 A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，
则 M 中元素的个数为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(2013 大纲全国，理 2)
3(1+ 3i) ＝( )．
A．－8 B．8 C．－8i D．8i
3．(2013 大纲全国，理 3)已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则
λ＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
4．(2013 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为
( )．
A．(－1,1) B．
11,
2
C．(－1,0) D．
1 ,1
2
5．(2013 大纲全国，理 5)函数 f(x)＝ 2
1log 1
x
(x＞0)的反函数 f－1
(x)＝( )．
A．
1
2 1x (x＞0) B．
1
2 1x (x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)
6．(2013 大纲全国，理 6)已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝
4
3
，则{an}的前 10 项和等
于( )．
A．－6(1－3－10) B．
1
9 (1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．(2013 大纲全国，理 7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中 x2y2的系数是( )．
A．56 B．84 C．112 D．168
8．(2013 大纲全国，理 8)椭圆 C：
22
=1
4 3
x y
的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且
直线 PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1斜率的取值范围是( )．
A．
1 3,
2 4
B．
3 3,
8 4
C．
1 ,1
2
D．
3 ,1
4
9．(2013 大纲全国，理 9)若函数 f(x)＝x2
＋ax＋
1
x
在
1 ,
2
是增函数，则 a 的取值范围
是( )．
A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)
10．(2013 大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1
所成角的正弦值等于( )．
A．
2
3 B．
3
3 C．
2
3 D．
1
3
11．(2013 大纲全国，理 11)已知抛物线 C：y2
＝8x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k
的直线与 C交于 A，B 两点．若 0MA MB
，则 k＝( )．
A．
1
2 B．
2
2 C． 2 D．2
12．(2013 大纲全国，理 12)已知函数 f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )．
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线
π=
2
x
对称
C．f(x)的最大值为
3
2 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．(2013 大纲全国，理 13)已知α是第三象限角，sin α＝
1
3
，则 cot α＝__________.
14．(2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有
__________种．(用数字作答)
15．(2013 大纲全国，理 15)记不等式组
0,
3 4,
3 4
x
x y
x y
所表示的平面区域为 D.若直线 y
＝a(x＋1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是__________．
16．(2013 大纲全国，理 16)已知圆 O和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O
的半径，OK＝
3
2
，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°，则球 O 的表面积等
于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 大纲全国，理 17)(本小题满分 10 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝
2
2a ，
且 S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
18．(2013 大纲全国，理 18)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求 B；
(2)若 sin Asin C＝
3 1
4
，求 C.
19．(2013 大纲全国，理 19)(本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB 和△PAD 都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角 A－PD－C 的大小．
20．(2013 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两
人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的
概率均为
1
2
，各局比赛的结果相互独立，第 1局甲当裁判．
(1)求第 4 局甲当裁判的概率；
(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望．
21．(2013 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞0，b＞0)
的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y＝2与 C的两个交点间的距离为 6 .
(1)求 a，b；
(2)设过 F2的直线 l 与 C的左、右两支分别交于 A，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，
|AB|，|BF2|成等比数列．
22．(2013 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝
1ln(1+ )
1
x xx
x
.
(1)若 x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项
1 1 1=1+
2 3na n
，证明：a2n－an＋
1
4n
＞ln 2.
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．
答案：B
解析：由题意知 x＝a＋b，a∈A，b∈B，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4个元
素．故选 B.
2．
答案：A
解析：
3 2 3(1+ 3i) =13 3i+3( 3i) +( 3i) = 8 .故选 A.
3．
答案：B
解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2
－|n|2
＝0⇒(λ＋1)
2
＋1－[(λ＋2)
2
＋4]＝0⇒λ＝－3.故选
B.
4．
答案：B
解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜
1
2
.故选 B.
5．
答案：A
解析：由题意知
11+
x
＝2y⇒x＝
1
2 1y
(y＞0)，
因此 f－1
(x)＝
1
2 1x
(x＞0)．故选 A.
6．
答案：C
解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝
1
3 na .∴数列{an}是以
1
3
为公比的等比数列．∵a2＝
4
3
，
∴a1＝4.
∴S10＝
1014 1
3
11
3
＝3(1－3
－10
)．故选 C.
7．
答案：D
解析：因为(1＋x)8的展开式中 x2的系数为
2
8C ，(1＋y)4的展开式中 y2的系数为
2
4C ，所以
x2y2
的系数为
2 2
8 4C C 168 .故选 D.
8．
答案：B
解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则
2 2
0 0 =1
4 3
x y
，
2
0
0 2PA
yk
x
，
1
0
0 2PA
yk
x
，于是
1 2
2
2 0
0
2 2 2
0 0
33 34
2 4 4PA PA
xyk k
x x
.
故
1
2
3 1
4PA
PA
k
k
＝－ .
∵
2PAk ∈[－2，－1]，
∴
1
3 3,
8 4PAk
.故选 B.
9．
答案：D
解析：由条件知 f′(x)＝2x＋a－ 2
1
x
≥0 在
1 ,
2
上恒成立，即 2
1 2a x
x
在
1 ,
2
上恒成立．∵函数 2
1 2y x
x
在
1 ,
2
上为减函数，∴ max 2
1 1< 2 3
21
2
y
.∴a≥3.
故选 D.
10．
答案：A
解析：如下图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 C1O，过 C作 CH⊥C1O 于点 H.
∵ 1
1
BD AC
BD AA
AC AA A
1 1
1 1
BD ACC A
CH ACC A
平面
平面
1
1 =
CH BD
CH CO
BD CO O
CH⊥平面 C1BD，
∴∠HDC 为 CD 与平面 BDC1所成的角．
设 AA1＝2AB＝2，则
2= =
2 2
ACOC ，
2
2 2 2
1 1
2 9 3= 2 = = 2
2 22
CO OC CC
.
由等面积法，得 C1O·CH＝OC·CC1，即
3 2 2 2
2 2
CH ＝ ，
∴
2=
3
CH .
∴sin∠HDC＝
2
23= =
1 3
HC
DC
.故选 A.
11．
答案：D
解析：由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)，将其代入
y2＝8x，得 k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝
2
2
4 2k
k
，x1x2＝4.①
由
1 1
2 2
2
2
y k x
y k x
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
4 ,
[ 2 4].
y y k x x k
y y k x x x x
①
②
∵ 0MA MB
，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即 x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④解得 k＝2.故选 D.
12．
答案：C
解析：由题意知 f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x.
令 t＝sin x，t∈[－1,1]，
则 g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.
令 g′(t)＝2－6t2
＝0，得
3=
3
t .
当 t＝±1 时，函数值为 0；
当
3
3
t 时，函数值为
4 3
9
；
当
3
3
t 时，函数值为
4 3
9
.
∴g(t)max＝
4 3
9
，
即 f(x)的最大值为
4 3
9
.故选 C.
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分．
13．答案： 2 2
解析：由题意知 cos α＝
2 1 2 21 sin 1
9 3
.
故 cot α＝
cos =2 2
sin
.
14．答案：480
解析：先排除甲、乙外的 4 人，方法有
4
4A 种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5个间隔中，
有
2
5A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有
4 2
4 5A A 480 (种)．
15．答案：
1 ,4
2
解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知
1
2BCk ，
kAC＝4，
∴要使直线 y＝a(x＋1)与平面区域 D 有公共点，
则
1
2
≤a≤4.
16．答案：16π
解析：如下图，设 MN 为两圆的公共弦，E为 MN 的中点，
则 OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.
又 MN＝R，∴△OMN 为正三角形．∴OE＝
3
2
R .
又 OK⊥EK，∴
3
2
＝OE·sin 60°＝
3 3
2 2
R .
∴R＝2.
∴S＝4πR2
＝16π.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：设{an}的公差为 d.
由 S3＝
2
2a 得 3a2＝
2
2a ，故 a2＝0或 a2＝3.
由 S1，S2，S4成等比数列得
2
2S ＝S1S4.
又 S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2
＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若 a2＝0，则 d2
＝－2d2
，所以 d＝0，此时 Sn＝0，不合题意；
若 a2＝3，则(6－d)2
＝(3－d)(12＋2d)，解得 d＝0 或 d＝2.
因此{an}的通项公式为 an＝3 或 an＝2n－1.
18．
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以 a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得 cos B＝
2 2 2 1
2 2
a c b
ac
，
因此 B＝120°.
(2)由(1)知 A＋C＝60°，
所以 cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A
＋C)＋2sin Asin C＝
1 3 1 3+2
2 4 2
，
故 A－C＝30°或 A－C＝－30°，
因此 C＝15°或 C＝45°.
19．
(1)证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED 为正方形．
过 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O.
连结 OA，OB，OD，OE.
由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA＝PB＝PD，
所以 OA＝OB＝OD，即点 O为正方形 ABED 对角线的交点，
故 OE⊥BD，从而 PB⊥OE.
因为 O是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，
所以 OE∥CD.因此 PB⊥CD.
(2)解法一：由(1)知 CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
故 CD⊥平面 PBD.
又 PD平面 PBD，所以 CD⊥PD.
取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连结 FG，
则 FG∥CD，FG⊥PD.
连结 AF，由△APD 为等边三角形可得 AF⊥PD.
所以∠AFG 为二面角 A－PD－C的平面角．
连结 AG，EG，则 EG∥PB.
又 PB⊥AE，所以 EG⊥AE.
设 AB＝2，则 AE＝ 2 2 ，EG＝
1
2
PB＝1，
故 AG＝ 2 2AE EG ＝3.
在△AFG 中，FG＝
1 2
2
CD ， 3AF ，AG＝3，
所以 cos∠AFG＝
2 2 2 6
2 3
FG AF AG
FG AF
.
因此二面角 A－PD－C 的大小为
6π arccos
3
.
解法二：由(1)知，OE，OB，OP 两两垂直．
以 O 为坐标原点，OE
的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 O－xyz.
设| AB
|＝2，则 A( 2 ，0,0)，D(0， 2 ，0)，C( 2 2 ， 2 ，0)，P(0,0， 2 )．
PC
＝( 2 2 ， 2 ， 2 )， PD
＝(0， 2 ， 2 )．
AP
＝( 2 ，0， 2 )， AD
＝( 2 ， 2 ，0)．
设平面 PCD 的法向量为 n1＝(x，y，z)，则 n1· PC
＝(x，y，z)·( 2 2 ，
2 ， 2 )＝0，
n1·PD
＝(x，y，z)·(0， 2 ， 2 )＝0，
可得 2x－y－z＝0，y＋z＝0.
取 y＝－1，得 x＝0，z＝1，故 n1＝(0，－1,1)．
设平面 PAD 的法向量为 n2＝(m，p，q)，则 n2· AP
＝(m，p，q)·( 2 ，0， 2 )＝0，n2· AD
＝(m，p，q)·( 2 ， 2 ，0)＝0，可得 m＋q＝0，m－p＝0.
取 m＝1，得 p＝1，q＝－1，故 n2＝(1,1，－1)．
于是 cos〈n1，n2〉＝ 1 2
1 2
6
| || | 3
·n n
n n
.
由于〈n1，n2〉等于二面角 A－PD－C的平面角，所以二面角 A－PD－C的大小为
6π arccos
3
.
20．
解：(1)记 A1表示事件“第 2 局结果为甲胜”，
A2表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第 4 局甲当裁判”．
则 A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝
1
4
.
(2)X 的可能取值为 0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第 3局乙参加比赛时，
结果为乙负”．
则 P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝
1
8
，P(X＝2)＝P( 1B ·B3)＝P( 1B )P(B3)＝
1
4
，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝
1 1 51
8 4 8
，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋
2·P(X＝2)＝
9
8
.
21．
(1)解：由题设知
c
a
＝3，即
2 2
2
a b
a
＝9，故 b2
＝8a2
.
所以 C的方程为 8x2－y2＝8a2.
将 y＝2 代入上式，求得
2 1
2
x a .
由题设知，
2 12 6
2
a ，解得 a2
＝1.
所以 a＝1，b＝ 2 2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C 的方程为 8x2
－y2
＝8.①
由题意可设 l 的方程为 y＝k(x－3)， <2 2k ，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8
＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝
2
2
6
8
k
k
，x1·x2＝
2
2
9 8
8
k
k
.
于是|AF1|＝
2 2
1 13x y
＝ 2 2
1 13 8 8x x ＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝
2 2
2 23x y
＝
2 2
2 23 8 8x x ＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即 x1＋x2＝
2
3
.
故
2
2
6 2
8 3
k
k
，解得 k2＝
4
5
，从而 x1·x2＝
19
9
.
由于|AF2|＝
2 2
1 13x y
＝ 2 2
1 13 8 8x x ＝1－3x1，
|BF2|＝
2 2
2 23x y
＝
2 2
2 23 8 8x x ＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．
(1)解：由已知 f(0)＝0，f′(x)＝
2
2
1 2
1
x x
x
，f′(0)＝0.
若
1
2
，则当 0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以 f(x)＞0.
若
1
2
，则当 x＞0 时，f′(x)＜0，所以当 x＞0 时，f(x)＜0.
综上，λ的最小值是
1
2
.
(2)证明：令
1
2
.由(1)知，当 x＞0 时，f(x)＜0，
即
2 ln(1 )
2 2
x x x
x
．
取
1x
k
，则
2 1 1>ln
2 1
k k
k k k
.
于是
2 1
2
1 1 1
4 2 2( 1)
n
n n
k n
a a
n k k
＝
2 1 2 12 1 1ln
2 1
n n
k n k n
k k
k k k
＝ln 2n－ln n＝ln 2.
所以 2
1 ln 2
4n na a
n
.
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷 I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅰ，理 1)已知集合 A＝{x|x2
－2x＞0}，B＝{x|－ 5 ＜x＜ 5 }，则( )．
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B A D．A B
2．(2013 课标全国Ⅰ，理 2)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )．
A．－4 B．
4
5
C．4 D．
4
5
3．(2013 课标全国Ⅰ，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生
中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况
有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统
抽样
4．(2013 课标全国Ⅰ，理 4)已知双曲线 C：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞0，b＞0)的离心率为
5
2
，
则 C 的渐近线方程为( )．
A．y＝
1
4
x
B．y＝
1
3
x
C．y＝
1
2
x
D．y＝±x
5．(2013 课标全国Ⅰ，理 5)执行下面的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出
的 s 属于( )．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
6．(2013 课标全国Ⅰ，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如
果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A．
500π
3 cm3 B．
866π
3 cm3
C．
1372π
3 cm3 D．
2048π
3 cm3
7．(2013 课标全国Ⅰ，理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
则 m＝( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2013 课标全国Ⅰ，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积为( )．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
9．(2013 课标全国Ⅰ，理 9)设 m 为正整数，(x＋y)2m
展开式的二项式系数的最大值为 a，(x
＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．(2013 课标全国Ⅰ，理 10)已知椭圆 E：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过
点 F 的直线交 E于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E的方程为( )．
A．
2 2
=1
45 36
x y
B．
2 2
=1
36 27
x y
C．
2 2
=1
27 18
x y
D．
2 2
=1
18 9
x y
11．(2013 课标全国Ⅰ，理 11)已知函数 f(x)＝
2 2 0
ln( 1) 0.
x x x
x x
， ，
，
若|f(x)|≥ax，则 a 的
取值范围是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
12．(2013 课标全国Ⅰ，理 12)设△AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn的面积为 Sn，
n＝1,2,3，….若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝
2
n nc a
，cn＋1＝
2
n nb a
，则( )．
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为
递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分．
13．(2013 课标全国Ⅰ，理 13)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b.
若 b·c＝0，则 t＝__________.
14．(2013 课标全国Ⅰ，理 14)若数列{an}的前 n 项和
2 1
3 3n nS a
，则{an}的通项公
式是 an＝_______.
15．(2013 课标全国Ⅰ，理 15)设当 x＝θ时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，
则 cos θ＝__________.
16．(2013 课标全国Ⅰ，理 16)若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线 x＝
－2 对称，则 f(x)的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅰ，理 17)(本小题满分 12 分)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3 ，
BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
(1)若 PB＝
1
2
，求 PA；
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
18．(2013 课标全国Ⅰ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1中，CA＝CB，
AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅰ，理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝3，再从这批
产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n＝4，再从这批产品
中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过
检验．
假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为
1
2
，且各件产品是
否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量
检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望．
20．(2013 课标全国Ⅰ，理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2
＋y2
＝9，动圆 P与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程；
(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B两点，当圆 P 的半径最长时，
求|AB|.
21．(2013 课标全国Ⅰ，理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝x2
＋ax＋b，g(x)＝e
x
(cx＋
d)．若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P处有相同的切线 y＝4x＋2.
(1)求 a，b，c，d 的值；
(2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，
则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013 课标全国Ⅰ，理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲
如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB
垂直 BE 交圆于点 D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为 1，BC＝ 3 ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径．
23．(2013 课标全国Ⅰ，理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C1的参数方程为
4 5cos ,
5 5sin
x t
y t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求 C1与 C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013 课标全国Ⅰ，理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲：已知函数 f(x)
＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集；
(2)设 a＞－1，且当 x∈
1,
2 2
a
时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围．
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．
答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或 x＞2.
∴集合 A 与 B 可用图象表示为：
由图象可以看出 A∪B＝R，故选 B.
2．
答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴
5 5(3 4i) 3 4 i
3 4i (3 4i)(3 4i) 5 5
z
.
故 z 的虚部为
4
5
，选 D.
3．
答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．
答案：C
解析：∵
5
2
ce
a
，∴
2 2 2
2
2 2
5
4
c a be
a a
.
∴a2
＝4b2
，
1=
2
b
a
.
∴渐近线方程为
1
2
by x x
a
.
5．
答案：A
解析：若 t∈[－1,1)，则执行 s＝3t，故 s∈[－3,3)．
若 t∈[1,3]，则执行 s＝4t－t2
，其对称轴为 t＝2.
故当 t＝2 时，s取得最大值 4.当 t＝1或 3时，s 取得最小值 3，则 s∈[3,4]．
综上可知，输出的 s∈[－3,4]．故选 A.
6．
答案：A
解析：设球半径为 R，由题可知 R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为
直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由 R2＝(R－2)2＋42，得 R＝5，
所以球的体积为
34 500π5 π
3 3
(cm
3
)，故选 A.
7．
答案：C
解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
∵Sm＝ma1＋
1
2
m m
×1＝0，∴ 1
1
2
ma
.
又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴
1 3
2
m m
.
∴m＝5.故选 C.
8．
答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r＝
2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为πr2×4×
1
2
＋4×2×2
＝8π＋16.故选 A.
9．
答案：B
解析：由题意可知，a＝ 2Cm
m，b＝ 2 1Cm
m ，
又∵13a＝7b，∴
2 ! 2 1 !13 =7
! ! ! 1 !
m m
m m m m
，
即
13 2 1
7 1
m
m
.解得 m＝6.故选 B.
10．
答案：D
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B 在椭圆上，
∴
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1,
1,
x y
a b
x y
a b
①
②
①－②，得
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 =0x x x x y y y y
a b
，
即
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
= y y y yb
a x x x x
，
∵AB 的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
而 1 2
1 2
y y
x x
＝kAB＝
0 1 1=
3 1 2
，∴
2
2
1=
2
b
a
.
又∵a2
－b2
＝9，∴a2
＝18，b2
＝9.
∴椭圆 E 的方程为
2 2
=1
18 9
x y
.故选 D.
11．
答案：D
解析：由 y＝|f(x)|的图象知：
①当 x＞0 时，y＝ax 只有 a≤0 时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除 B，C.
②当 x≤0 时，y＝|f(x)|＝|－x2
＋2x|＝x2
－2x.
故由|f(x)|≥ax 得 x2
－2x≥ax.
当 x＝0 时，不等式为 0≥0 成立．
当 x＜0 时，不等式等价于 x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2,0]．
12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且 a 与 b 夹角为 60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
0＝
1
2
t＋1－t.
∴t＝2.
14．答案：(－2)
n－1
解析：∵
2 1
3 3n nS a ，①
∴当 n≥2 时， 1 1
2 1
3 3n nS a .②
①－②，得 1
2 2
3 3n n na a a ，
即
1
n
n
a
a
＝－2.
∵a1＝S1＝ 1
2 1
3 3
a ，
∴a1＝1.
∴{an}是以 1 为首项，－2 为公比的等比数列，an＝(－2)
n－1
.
15．答案：
2 5
5
解析：f(x)＝sin x－2cos x
＝
1 25 sin cos
5 5
x x
，
令 cos α＝
1
5
，sin α＝
2
5
，
则 f(x)＝ 5 sin(α＋x)，
当 x＝2kπ＋
π
2
－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值 1，f(x)有最大值 5 ，
即θ＝2kπ＋
π
2
－α(k∈Z)，
所以 cos θ＝
πcos 2 π+
2
k
＝
πcos
2
＝sin α＝
2 2 5
55
.
16．答案：16
解析：∵函数 f(x)的图像关于直线 x＝－2对称，
∴f(x)满足 f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
即
15 16 4 ,
0 8 9 3 ,
b a b
a b
解得
8,
15.
a
b
∴f(x)＝－x4
－8x3
－14x2
＋8x＋15.
由 f′(x)＝－4x3
－24x2
－28x＋8＝0，
得 x1＝－2－ 5 ，x2＝－2，x3＝－2＋ 5 .
易知，f(x)在(－∞，－2－ 5 )上为增函数，在(－2－ 5 ，－2)上为减函数，在(－2，－
2＋ 5 )上为增函数，在(－2＋ 5 ，＋∞)上为减函数．
∴f(－2－ 5 )＝[1－(－2－ 5 )
2
][(－2－ 5 )
2
＋8(－2－ 5 )＋15]
＝(－8－ 4 5 )(8－ 4 5 )
＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)
2
][(－2)
2
＋8×(－2)＋15]
＝－3(4－16＋15)
＝－9.
f(－2＋ 5 )＝[1－(－2＋ 5 )2][(－2＋ 5 )2＋8(－2＋ 5 )＋15]
＝(－8＋ 4 5 )(8＋ 4 5 )
＝80－64＝16.
故 f(x)的最大值为 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得 PA2
＝
1 1 73 2 3 cos 30
4 2 4
.
故 PA＝
7
2
.
(2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α.
在△PBA 中，由正弦定理得
3 sin
sin150 sin(30 )
，
化简得 3 cos α＝4sin α.
所以 tan α＝
3
4
，即 tan∠PBA＝
3
4
.
18．
(1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.
因为 CA＝CB，所以 OC⊥AB.
由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B 为等边三角形，
所以 OA1⊥AB.
因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C.
又 A1C平面 OA1C，故 AB⊥A1C.
(2)解：由(1)知 OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交线为 AB，
所以 OC⊥平面 AA1B1B，
故 OA，OA1，OC 两两相互垂直．
以 O 为坐标原点，OA
的方向为 x 轴的正方向，|OA
|为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系 O－xyz.
由题设知 A(1,0,0)，A1(0， 3 ，0)，C(0,0， 3 )，B(－1,0,0)．
则 BC
＝(1,0， 3 )， 1BB
＝ 1AA
＝(－1， 3 ，0)， 1AC
＝(0， 3 ， 3 )．
设 n＝(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，
则
1
0,
0,
BC
BB
n
n
即
3 0,
3 0.
x z
x y
可取 n＝( 3 ，1，－1)．
故 cos〈n， 1AC
〉＝ 1
1
AC
AC
n
n
＝
10
5
.
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为
10
5
.
19．
解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是
优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优
质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A＝(A1B1)∪(A2B2)，且 A1B1与 A2B2互
斥，所以
P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)
＝
4 1 1 1 3
16 16 16 2 64
.
(2)X 可能的取值为 400,500,800，并且
P(X＝400)＝
4 1 111
16 16 16
，P(X＝500)＝
1
16
，P(X＝800)＝
1
4
.
所以 X的分布列为
X 400 500 800
P
11
16
1
16
1
4
EX＝
11 1 1400 +500 +800
16 16 4
＝506.25.
20．
解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.
设圆 P的圆心为 P(x，y)，半径为 R.
(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆
(左顶点除外)，其方程为
2 2
=1
4 3
x y
(x≠－2)．
(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以 R≤2，当且仅当圆 P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆 P的半径最长时，其方程为(x－2)
2
＋y2
＝4.
若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ 2 3 .
若 l的倾斜角不为90°，由r1≠R知 l不平行于x轴，设l与 x轴的交点为Q，则
1
| |
| |
QP R
QM r
，
可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)．
由 l 与圆 M相切得
2
| 3 | =1
1
k
k
，
解得 k＝
2
4
.
当 k＝
2
4
时，将
2 2
4
y x 代入
2 2
=1
4 3
x y
，
并整理得 7x2
＋8x－8＝0，
解得 x1,2＝
4 6 2
7
.
所以|AB|＝ 2
2 1
181 | |
7
k x x .
当
2
4
k 时，由图形的对称性可知|AB|＝
18
7
.
综上，|AB|＝ 2 3 或|AB|＝
18
7
.
21．
解：(1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e
x
(cx＋d＋c)，
故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2
＋4x＋2，g(x)＝2e
x
(x＋1)．
设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则 F′(x)＝2kex
(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex
－1)．
由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1.
令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2.
①若 1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当 x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x)
＞0.即 F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故 F(x)在[－2，＋∞)的最小值
为 F(x1)．
而 F(x1)＝2x1＋2－
2
1x －4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．
②若 k＝e
2
，则 F′(x)＝2e
2
(x＋2)(e
x
－e
－2
)．
从而当 x＞－2 时，F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，＋∞)单调递增．
而 F(－2)＝0，故当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．
③若 k＞e
2
，则 F(－2)＝－2ke－2
＋2＝－2e
－2
(k－e
2
)＜0.
从而当 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k 的取值范围是[1，e
2
]．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，
则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
(1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为 DB⊥BE，
所以 DE 为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得 DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG＝
3
2
.
设 DE 的中点为 O，连结 BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以 CF⊥BF，故 Rt△BCF 外接圆的半径等于
3
2
.
23．
解：(1)将
4 5cos ,
5 5sin
x t
y t
消去参数 t，化为普通方程(x－4)
2
＋(y－5)
2
＝25，
即 C1：x2
＋y2
－8x－10y＋16＝0.
将
cos ,
sin
x
y
代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得
ρ2
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以 C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为 x2
＋y2
－2y＝0.
由
2 2
2 2
8 10 16 0,
2 0
x y x y
x y y
解得
1,
1
x
y
或
0,
2.
x
y
所以 C1与 C2交点的极坐标分别为
π2,
4
，
π2,
2
.
24．
解：(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则 y＝
15 , ,
2
12, 1,
2
3 6, 1.
x x
x x
x x
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当 x∈
1,
2 2
a
时，f(x)＝1＋a.
不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3.
所以 x≥a－2 对 x∈
1,
2 2
a
都成立．
故
2
a
≥a－2，即
4
3
a .
从而 a的取值范围是
41,
3
.
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅱ，理 1)已知集合 M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则
M∩N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013 课标全国Ⅱ，理 2)设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013 课标全国Ⅱ，理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1
＝( )．
A．
1
3 B．
1
3
C．
1
9 D．
1
9
4．(2013 课标全国Ⅱ，理 4)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线 l 满足 l
⊥m，l⊥n，l α，l β，则( )．
A．α∥β且 l∥α B．α⊥β且 l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 l D．α与β相交，且交线平行于 l
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5
的展开式中x2
的系数为5，则a＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013 课标全国Ⅱ，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N＝10，那么输出的 S
＝( )．
A．
1 1 11+
2 3 10
B．
1 1 11+
2! 3! 10!
C．
1 1 11+
2 3 11
D．
1 1 11+
2! 3! 11!
7．(2013 课标全国Ⅱ，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是
(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投
影面，则得到的正视图可以为( )．
8．(2013 课标全国Ⅱ，理 8)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．(2013 课标全国Ⅱ，理 9)已知 a＞0，x，y 满足约束条件
1,
3,
3 .
x
x y
y a x
若 z＝2x＋y 的最
小值为 1，则 a＝( )．
A．
1
4 B．
1
2 C．1 D．2
10．(2013 课标全国Ⅱ，理 10)已知函数 f(x)＝x3
＋ax2
＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
11．(2013 课标全国Ⅱ，理 11)设抛物线 C：y2
＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|
＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )．
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
12．(2013 课标全国Ⅱ，理 12)已知点 A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 y＝ax＋b(a＞0)
将△ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )．
A．(0,1) B．
2 11 ,
2 2
C．
2 11 ,
2 3
D．
1 1,
3 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分．
13．(2013 课标全国Ⅱ，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD
＝__________.
14．(2013 课标全国Ⅱ，理 14)从 n 个正整数 1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若
取出的两数之和等于 5 的概率为
1
14
，则 n＝__________.
15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15)设θ为第二象限角，若
π 1tan
4 2
，则 sin θ＋cos
θ＝__________.
16．(2013 课标全国Ⅱ，理 16)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S10＝0，S15＝25，则
nSn的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅱ，理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，已知 a＝bcos C＋csin B.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值．
18．(2013 课标全国Ⅱ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1中，D，E 分
别是 AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
2
2
AB .
(1)证明：BC1∥平面 A1CD；
(2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅱ，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度
内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，
得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了
130 t 该农产品．以 X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：
元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将 T 表示为 X 的函数；
(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该
区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X∈[100,110)，则取 X＝105，
且 X＝105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，
求 T 的数学期望．
20．(2013 课标全国Ⅱ，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞b＞0)右焦点的直线 3 0x y 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且
OP 的斜率为
1
2
.
(1)求 M 的方程；
(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值．
21．(2013 课标全国Ⅱ，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝e
x
－ln(x＋m)．
(1)设 x＝0是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；
(2)当 m≤2时，证明 f(x)＞0.
请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时
请写清题号．
22．(2013 课标全国Ⅱ，理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC
上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2013 课标全国Ⅱ，理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知动点 P，Q都在曲线 C：
2cos ,
2sin
x t
y t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α与 t＝2α(0
＜α＜2π)，M为 PQ 的中点．
(1)求 M 的轨迹的参数方程；
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013 课标全国Ⅱ，理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲
设 a，b，c均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤
1
3
；
(2)
2 2 2
1a b c
b c a
.
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．
答案：A
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即 M＝{x|－1＜x＜3}．而 N＝{－1,0,1,2,3}，
所以 M∩N＝{0,1,2}，故选 A.
2．
答案：A
解析：
2i 2i 1 i=
1 i 1 i 1 i
z
＝
2 2i
2
＝－1＋i.
3．
答案：C
解析：设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，则由 a5＝9，得 a1＝9，此时 S3＝27，而 a2＋10a1＝
99，不满足题意，因此 q≠1.
∵q≠1时，S3＝
3
1(1 )
1
a q
q
＝a1·q＋10a1，
∴
31
1
q
q
＝q＋10，整理得 q2
＝9.
∵a5＝a1·q4
＝9，即 81a1＝9，∴a1＝
1
9
.
4．
答案：D
解析：因为 m⊥α，l⊥m，l α，所以 l∥α.同理可得 l∥β.
又因为 m，n 为异面直线，所以α与β相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D.
5．
答案：D
解析：因为(1＋x)5
的二项展开式的通项为 5Cr rx (0≤r≤5，r∈Z)，则含 x2
的项为
2 2
5C x ＋
ax· 1
5C x＝(10＋5a)x2
，所以 10＋5a＝5，a＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当 k＝1，S＝0，T＝1 时，T＝1，S＝1；
当 k＝2 时，
1
2
T ，
1=1+
2
S ；
当 k＝3 时，
1
2 3
T
，
1 11+
2 2 3
S
；
当 k＝4 时，
1
2 3 4
T
，
1 1 11+
2 2 3 2 3 4
S
；…；
当 k＝10 时，
1
2 3 4 10
T
，
1 1 11+
2! 3! 10!
S ，k 增加 1 变为 11，满足 k
＞N，输出 S，所以 B正确．
7．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像为下图：
则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A.
8．
答案：D
解析：根据公式变形，
lg 6 lg 21
lg3 lg3
a ，
lg10 lg 21
lg5 lg5
b ，
lg14 lg 21
lg 7 lg 7
c ，因
为 lg 7＞lg 5＞lg 3，所以
lg 2 lg 2 lg 2
lg 7 lg5 lg3
，即 c＜b＜a.故选
D.
9．
答案：B
解析：由题意作出
1,
3
x
x y
所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1
－1)，结合题意知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
1
2
a ，
所以
1
2
a .
10．
答案：C
解析：∵x0是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在
(－∞，x0)上不单调，故 C 不正确．
11．
答案：C
解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋
2
p
＝5，
则 x0＝5－
2
p
.
又点 F的坐标为 ,0
2
p
，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－x0)
2
px
＋(y－y0)y＝0.
将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即
2
0
2
y
－4y0＋8＝0，所以 y0＝4.
由
2
0y ＝2px0，得16 2 5
2
pp
，解之得 p＝2，或 p＝8.
所以 C的方程为 y2
＝4x 或 y2
＝16x.故选 C.
12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分．
13．答案：2
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)
点 E 的坐标为(1,2)，则 AE
＝(1,2)，BD
＝(－2,2)，所以 2AE BD
.
14．答案：8
解析：从 1,2，…，n 中任取两个不同的数共有
2Cn 种取法，两数之和为 5
的有(1,4)，(2,3)2 种，所以 2
2 1
C 14n
，即
2 4 1
1 1 14
2
n n n n
，解
得 n＝8.
15．答案：
10
5
解析：由
π 1 tan 1tan
4 1 tan 2
，得 tan θ＝
1
3
，即 sin θ＝
1
3
cos θ.
将其代入 sin
2θ＋cos
2θ＝1，得
210 cos 1
9
.
因为θ为第二象限角，所以 cos θ＝
3 10
10
，sin θ＝
10
10
，sin θ＋cos θ＝
10
5
.
16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S10＝ 1
10 910
2
a d
＋ ＝10a1＋45d＝0，①
S15＝ 1
15 1415
2
a d
＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得 a1＝－3，
2
3
d ，
所以 Sn＝
2( 1) 2 1 103
2 3 3 3
n nn n n
.
令 f(n)＝nSn，则
3 21 10( )
3 3
f n n n ，
2 20'( )
3
f n n n .
令 f′(n)＝0，得 n＝0 或
20
3
n .
当
20
3
n 时，f′(n)＞0,
200< <
3
n 时，f′(n)＜0，所以当
20
3
n 时，f(n)取最小值，而
n∈N＋，则 f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当 n＝7 时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又 A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B，
又 B∈(0，π)，所以
π
4
B .
(2)△ABC 的面积
1 2sin
2 4
S ac B ac .
由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－
π2 cos
4
ac .
又 a2
＋c2
≥2ac，故
4
2 2
ac
，当且仅当 a＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为 2+1.
18．
解：(1)连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点．
又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD，
所以 BC1∥平面 A1CD.
(2)由 AC＝CB＝
2
2
AB得，AC⊥BC.
以 C 为坐标原点，CA
的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.
设 CA＝2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD
＝(1,1,0)，CE
＝(0,2,1)， 1CA
＝(2,0,2)．
设 n＝(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，
则
1
0,
0,
CD
CA
n
n
即
1 1
1 1
0,
2 2 0.
x y
x z
可取 n＝(1，－1，－1)．
同理，设 m是平面 A1CE 的法向量，
则
1
0,
0,
CE
CA
m
m
可取 m＝(2,1，－2)．
从而 cos〈n，m〉＝
3
| || | 3
·n m
n m
，
故 sin〈n，m〉＝
6
3
.
即二面角 D－A1C－E 的正弦值为
6
3
.
19．
解：(1)当 X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
800 39000,100 130,
65000,130 150.
X X
T
X
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150.
由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57
000 元的概率的估计值为 0.7.
(3)依题意可得 T 的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
20．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则
2 2
1 1
2 2 =1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 =1x y
a b
， 2 1
2 1
= 1y y
x x
，
由此可得
2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
=1b x x y y
a y y x x
.
因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
0
0
1
2
y
x
，
所以 a2
＝2b2
.
又由题意知，M的右焦点为( 3 ，0)，故 a2
－b2
＝3.
因此 a2
＝6，b2
＝3.
所以 M的方程为
2 2
=1
6 3
x y
.
(2)由 2 2
3 0,
1,
6 3
x y
x y
解得
4 3 ,
3
3 ,
3
x
y
或
0,
3.
x
y
因此|AB|＝
4 6
3
.
由题意可设直线 CD 的方程为
y＝
5 3 3
3
x n n
，
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由 2 2
,
1
6 3
y x n
x y
得 3x2
＋4nx＋2n2
－6＝0.
于是 x3,4＝
22 2 9
3
n n
.
因为直线 CD 的斜率为 1，
所以|CD|＝ 2
4 3
42 | | 9
3
x x n .
由已知，四边形 ACBD 的面积
21 8 6| | | | 9
2 9
S CD AB n .
当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为
8 6
3
.
所以四边形 ACBD 面积的最大值为
8 6
3
.
21．
解：(1)f′(x)＝
1ex
x m
.
由 x＝0 是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1.
于是 f(x)＝e
x
－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝
1e
1
x
x
.
函数 f′(x)＝
1e
1
x
x
在(－1，＋∞)单调递增，且 f′(0)＝0.
因此当 x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以 f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当 m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当 m＝2时，f(x)＞0.
当 m＝2 时，函数 f′(x)＝
1e
2
x
x
在(－2，＋∞)单调递增．
又 f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故 f′(x)＝0 在(－2，＋∞)有唯一实根 x0，且 x0∈(－1,0)．
当 x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；
当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当 x＝x0时，f(x)取得最小值．
由 f′(x0)＝0 得 0ex ＝
0
1
2x
，ln(x0＋2)＝－x0，
故 f(x)≥f(x0)＝
0
1
2x
＋x0＝
2
0
0
1
2
x
x
＞0.
综上，当 m≤2 时，f(x)＞0.
请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时
请写清题号．
22．
解：(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，由题设知
BC DC
FA EA
，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为 B，E，F，C 四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)连结 CE，因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有
CE＝DC，又 BC2
＝DB·BA＝2DB2
，所以 CA2
＝4DB2
＋BC2
＝6DB2
.
而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
1
2
.
23．
解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为
cos cos 2 ,
sin sin 2
x
y
(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
2 2 2 2cosd x y (0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故 M的轨迹过坐标原点．
24．
解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得 a2
＋b2
＋c2
≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2
＝1，即 a2
＋b2
＋c2
＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤
1
3
.
(2)因为
2
2a b a
b
，
2
2b c b
c
，
2
2c a c
a
，
故
2 2 2
( )a b c a b c
b c a
≥2(a＋b＋c)，
即
2 2 2a b c
b c a
≥a＋b＋c.
所以
2 2 2a b c
b c a
≥1.
参考公式：
如果事件 A、B互斥，那么 球的表面积公式
( ) ( ) ( )P A B P A P B 24S R
如果事件 A、B相互独立，那么 其中 R表示球的半径
( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式
如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 33
4
V R
n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率 其中 R表示球的半径
( ) (1 ) ( 0,1, 2, )k k n k
n nP k C p p k n …
2012年普通高等学校招生全国统一考试
一、 选择题
1、复数
1 3
1
i
i
=
A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i
2、已知集合 A＝{1.3. m }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则 m=
A 0 或 3 B 0 或 3 C 1 或 3 D 1 或 3
3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为
A
2
16
x
+
2
12
y
=1 B
2
12
x
+
2
8
y
=1
C
2
8
x
+
2
4
y
=1 D
2
12
x
+
2
4
y
=1
4 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= 2 2 E 为 CC1 的中点，则直线
AC1 与平面 BED 的距离为
A 2 B 3 C 2 D 1
（5）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 的前 100 项和
为
(A)100
101
(B) 99
101
(C) 99
100
(D) 101
100
（6）△ABC 中，AB 边的高为 CD，若 a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B） (C) (D)
（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=
3
3 ，则 cos2α=
(A)
5-
3 （B）
5-
9 (C)
5
9 (D)
5
3
（8）已知 F1、F2 为双曲线 C：x²-y²=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则
cos∠F1PF2=
(A)
1
4 （B）
3
5 (C)
3
4 (D)
4
5
（9）已知 x=lnπ，y=log52，
1
2z=e ，则
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
(10) 已知函数 y＝x²-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c＝
（A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1
（11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不
相同，则不同的排列方法共有
（A）12 种（B）18 种（C）24 种（D）36 种
（12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE＝BF＝
7
3 。
动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反
射等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12(D)10
二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
（注意：在试题卷上作答无效）
（13）若 x，y 满足约束条件 则 z=3x-y 的最小值为_________。
（14）当函数 取得最大值时，x=___________。
（15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数
为_________。
（16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50°
则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。
三.解答题：
（17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效）
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求
c。
（18）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底
面 ABCD，AC=2 2 ，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BED；
（Ⅱ）设二面角 A-PB-C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成
角的大小。
19. （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再
连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中，
每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局
比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（Ⅱ） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的期望。
（20）设函数 f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。
（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 f（x）≤1+sinx，求 a 的取值范围。
21.（本小题满分 12 分）（注意：在试卷上作答无效）
已知抛物线 C：y=(x+1)2 与圆 M：（x-1）2+(
1
2
y
)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在 A 处
两曲线的切线为同一直线 l.
（Ⅰ）求 r；
（Ⅱ）设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m、n 的交点为 D，求 D 到 l
的距离。
22（本小题满分 12 分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）
函数 f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1 是过两点 P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的
直线 PQn与 x 轴交点的横坐标。
（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。
2011 年高考数学(全国卷)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是满足题目要求的。
1.复数 1z i ， z为 z的共轭复数，则 1zz z
(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i
2. 函数 2 0y x x 的反函数为
(A)
2
4
xy x R (B)
2
0
4
xy x
(C) 24y x x R (D) 24 0y x x
3.下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条件是
(A) 1a b (B) 1a b (C) 2 2a b (D) 3 3a b
4.设 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 1 1a ，公差 22, 24k kd S S ，则 k=
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
5.设函数 cos 0f x x ，将 y f x 的图像向右平移
3
个单位长度后，所得的
图像与原图像重合，则的最小值等于
(A) 1
3
(B) 3 (C) 6 (D) 9
6.已知直二面角 l ，点 , ,A AC l C 为垂足， , ,B BD l D 为垂足，若
2, 1AB AC BD ，则 D到平面 ABC 的距离等于
(A)
2
2
(B)
3
3
(C)
6
3
(D) 1
7.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋友，每位
朋友 1 本，则不同的赠送方法共有
(A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种
8.曲线 2 1xy e 在点 0,2 处的切线与直线 0y 和 y x 围成的三角形的面积为
(A) 1
3
(B) 1
2
(C) 2
3
(D) 1
9.设 f x 是周期为 2的奇函数，当0 1x 时， 2 1f x x x ，则
5
2
f
(A) 1
2
(B) 1
4
(C) 1
4
(D) 1
2
10.已知抛物线C： 2 4y x 的焦点为F，直线 2 4y x 与C交于A、B两点，则cos AFB
(A) 4
5
(B) 3
5
(C) 3
5
(D) 4
5
11.已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M且与 成60二面角的平面 截该球面得圆 N，
脱该球面的半径为 4.圆 M 的面积为4 ，则圆 N的面积为
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
12. 设向量 , ,a b c
满足
11, , , 60
2
a b a b a c b c
，则 c
的最大值对于
(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的
位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.
13. 20
1 x 的二项展开式中， x的系数与 9x 的系数之差为 .
14. 已知 ,
2
，
5sin
5
，则 tan 2 .
15. 已知 1 2F F、 分别为双曲线
2 2
: 1
9 27
x yC 的左、右焦点，点 A C ，点 M 的坐标为
2,0 ，AM 为 1 2F AF 的角平分线，则 2AF .
16. 已知点 E、F 分别在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱 1 1BB CC、 上，且 1 2B E EB ,
12CF FC ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 .
三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 , ,a b c。已知 90 , 2A C a c b ，求 C
18.（本小题满分 12 分）
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买
甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（Ⅱ）X 表示该地的 100 为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期
望。
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S-ABCD 中， / / ,AB CD BC CD ,侧面 SAB 为等边三角形，
AB=BC=2，CD=SD=1.
（Ⅰ）证明： SD SAB平面 ;
（Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。
20.（本小题满分 12 分）
设数列 na 满足 1
1
1 10, 1
1 1n n
a
a a
（Ⅰ）求 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 11 n
n
a
b
n
，记
1
n
n k
k
S b
，证明： 1nS 。
21.（本小题满分 12 分）
已知 O 为坐标原点，F 为椭圆
2
2: 1
2
yC x 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率
为 2 的 直 线 l 与 C 交 于 A 、 B 两 点 ， 点 P 满 足
0.OA OB OP
（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上；
（Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、
Q 四点在同一个圆上。
22.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）设函数 2ln 1
2
xf x x
x
，证明：当 0x 时， 0f x
（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式
连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：
19
2
9 1
10
p
e
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
一．选择题
(1)复数
3 2
2 3
i
i
(A)i (B) i (C)12-13 i (D) 12+13 i
(2)记 cos( 80 ) k ,那么 tan100
A.
21 k
k
B. -
21 k
k
C.
21
k
k
D. -
21
k
k
(3)若变量 ,x y满足约束条件
1,
0,
2 0,
y
x y
x y
则 2z x y 的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
（4）已知各项均为正数的等比数列{ na }， 1 2 3a a a =5， 7 8 9a a a =10，则
4 5 6a a a =
(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2
(5) 3 53(1 2 ) (1 )x x 的展开式中 x 的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
(6)某校开设 A类选修课 3 门，B 类选择课 4门，一位同学从中共选 3
门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种
(7)正方体 ABCD- 1 1 1 1A BC D 中，B 1B与平面 AC 1D 所成角的余弦值为
A
2
3
B
3
3
C
2
3
D
6
3
（8）设 a= 3log 2,b=In2,c=
1
25
,则
A a0, - < ）的图像如图所示，则
=________________
解 析 ： 由 图 可 知 ，
5 4 4, , 2 ,1
2 5 5
8 9,
5 10
T x
把 代入y=sin 有：
1=sin
答案：
9
10
（15）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不
同的安排方案共有________________种（用数字作答）。
解析：
3 3
7 4 140C C ，答案：140
（16）等差数列{ na }前 n 项和为 nS 。已知 1ma + 1ma - 2
ma =0， 2 1mS =38,则 m=_______
解 析 ： 由 1ma + 1ma - 2
ma =0 得 到
1 2 12
2 1
2 1
2 0, 0,2 2 1 38 10
2
m
m m m m m
m a a
a a a S m a m
又 。
答案 10
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N
在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计
一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式
写出计算 M，N 间的距离的步骤。
(17) 解：
方案一：①需要测量的数据有：A
点到 M，N点的俯角 1 1, ；B 点到 M，
N 的俯角 2 2, ；A，B 的距离 d （如图）
所示） . ……….3 分
②第一步：计算 AM . 由正弦定理 2
1 2
sin
sin( )
dAM
；
第二步：计算 AN . 由正弦定理 2
2 1
sin
sin( )
dAN
；
第三步：计算 MN. 由余弦定理
2 2
1 12 cos( )MN AM AN AM AN .
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到 M，N 点的俯角 1 ， 1 ；B 点到 M，N 点的府角 2 ， 2 ；A，B 的距离 d （如
图所示）.
②第一步：计算 BM . 由正弦定理 1
1 2
sin
sin( )
dBM
；
第二步：计算 BN . 由正弦定理 1
2 1
sin
sin( )
dBN
；
第三步：计算 MN . 由余弦定理
2 2
2 22 cos( )MN BM BN BM BN
（18）（本小题满分 12 分）
某工厂有工人 1000 名， 其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工
人参加过长期培训(称为 B 类工人），现用分层抽样方法（按 A类、B 类分二层）从该工厂的
工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；
（II）从 A类工人中的抽查结果和从 B类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2.
表 1：
生产能力分
组
100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
人数 4 8 x 5 3
表 2：
生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150
人数 6 y 36 18
（i）先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人
中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察
直方图直接回答结论）
（ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的
平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(18) 解：
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为
1
10
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”
相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 w.w.w.k.s.5 .u.c.o.m
1 1 1
10 10 100
p .
（Ⅱ）（i）由题意知 A 类工人中应抽查 25 名，B 类工人中应抽查 75 名.
故 4 8 5 25x ，得 5x ，
6 36 18 75y ，得 15y .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小 .
（ii）
4 8 5 5 3105 115 125 135 145 123
25 25 25 25 25Ax
，
6 15 36 18115 125 135 145 133.8
75 75 75 75Bx
，
25 75123 133.8 131.1
100 100
x
A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力
的平均数的会计值分别为 123，133.8 和 131.1 .
（19）（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍，P 为侧棱
SD 上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，
使得 BE∥平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；
若不存在，试说明理由。
（19）解法一：
（Ⅰ）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 SO AC 。在正方
形 ABCD 中， AC BD ，所以 AC SBD平面 ,得 AC SD .
(Ⅱ)设正方形边长 a，则 2SD a 。
又
2
2
OD a ，所以
060SOD ,
连OP，由（Ⅰ）知 AC SBD平面 ,所以 AC OP ,
且 AC OD ,所以 POD 是二面角 P AC D 的平面角。
由 SD PAC平面 ,知 SD OP ,所以
030POD ,
即二面角 P AC D 的大小为
030 。
（Ⅲ）在棱 SC 上存在一点 E，使 //BE PAC平面
由（Ⅱ）可得
2
4
PD a ，故可在 SP上取一点 N ,使 PN PD ,过 N 作 PC的平行
线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 BDN 中知 //BN PO ，又由于 //NE PC ,故平面
//BEN PAC平面 ，得 //BE PAC平面 ,由于 2 1SN NP ： ：,故 2 1SE EC ： ：.
解法二：
（Ⅰ）；连BD ,设 AC交于 BD于O，由题意知 SO ABCD平面 .以 O 为坐标
原点，OBOCOS， ， 分别为 x轴、 y轴、 z轴正方向，建立坐标系O xyz 如图。
设底面边长为 a，则高
6
2
SO a 。
于 是
6 2(0,0, ), ( ,0,0)
2 2
S a D a ,
2(0, ,0)
2
C a
,
2(0, ,0)
2
OC a
2 6( ,0, )
2 2
SD a a 0OC SD 故 OC SD
从而 AC SD
(Ⅱ)由题设知，平面PAC 的一个法向量
2 6( ,0, )
2 2
DS a a ，平面DAC的一个法
向量
6)0,0, )
2
OS a ，设所求二面角为 ，则
3cos
2
OS DS
OS DS
,所求二面角的大小
为
030
（Ⅲ）在棱 SC上存在一点E使 //BE PAC平面 .由（Ⅱ）知DS 是平面PAC 的一个
法向量，且
2 6 2 6,0, ), (0, , )
2 2 2 2
DS a a CS a a （ 设 ,CE tCS
则
2 2 6( , (1 ), )
2 2 2
BE BC CE BC tCS a a t at
而
10
3
BE DC t
即当 : 2 :1SE EC 时， BE DS
而BE不在平面 PAC 内，故 //BE PAC平面
（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点
的距离分别是 7 和 1.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，
OP
OM
=λ，求点 M
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a c， ，由已知得
1
, 4, 3
7
a c
a c
a c
解得 ，w.w.w.k.s .5.u.c.o.m
所以椭圆C的标准方程为
2 2
1
16 7
x y
（Ⅱ）设 ( , )M x y ，其中 4,4x 。由已知
2
2
2
OP
OM
及点 P在椭圆C上可得
2
2
2 2
9 112
16( )
x
x y
。
整理得
2 2 2 2(16 9) 16 112x y ，其中 4,4x 。
（i）
3
4
时。化简得
29 112y
所以点M 的轨迹方程为
4 7 ( 4 4)
3
y x ，轨迹是两条平行于 x轴的线段。
（ii）
3
4
时，方程变形为
2 2
2 2
1112 112
16 9 16
x y
，其中 4,4x
当
30
4
时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y轴上的双曲线满足 4 4x
的部分。
当
3 1
4
时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆满足 4 4x 的
部分；
当 1 时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆；
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数
3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax b e
（I） 如 3a b ，求 ( )f x 的单调区间；
（II） 若 ( )f x 在 ( , ), (2, ) 单调增加，在 ( , 2), ( , ) 单调减少，证明
＜6.
（21）解：
（Ⅰ）当 3a b 时，
3 2( ) ( 3 3 3) xf x x x x e ，故 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m
3 2 2'( ) ( 3 3 3) (3 6 3)x xf x x x x e x x e
3( 9 )xe x x
( 3)( 3) xx x x e
当 3x 或 0 3 '( ) 0;x f x 时，
当 3 0 3 '( ) 0.x x f x 或 时，
从而 ( ) ( , 3), (0,3) 3 0 3f x 在 单调增加，在（ ，），（ ， ）单调减少.
(Ⅱ)
3 2 2 3'( ) ( 3 ) (3 6 ) [ ( 6) ].x x xf x x x ax b e x x a e e x a x b a
由条件得：
3'(2) 0, 2 2( 6) 0, 4 ,f a b a b a 即 故 从而
3'( ) [ ( 6) 4 2 ].xf x e x a x a
因为 '( ) '( ) 0,f f 所以
3 ( 6) 4 2 ( 2)( )( )x a x a x x x
2( 2)( ( ) ).x x x
将右边展开，与左边比较系数得， 2, 2.a 故
2( ) 4 12 4 .a
又 ( 2)( 2) 0, 2( ) 4 0. 即 由此可得 6.a
于是 6.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，已知 ABC 的两条角平分线 AD和CE相交于 H，
060B ，F 在 AC上，
且 AE AF 。
（I） 证明：B,D,H,E 四点共圆：
（II） 证明：CE平分 DEF 。
（22）解：
（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为 AD，CE 是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以 B,D,H,E 四点共圆.
（Ⅱ）连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知 B,D,H,E 四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得 EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以 CE 平分∠DEF.
（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线 C 1：
4 cos ,
3 sin ,
x t
y t
（t 为参数）， C 2 ：
8cos ,
3sin ,
x
y
（ 为参数）。
（1）化 C 1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 C 1上的点 P 对应的参数为
2
t
，Q 为 C 2 上的动点，求 PQ中点M 到直线
3
3 2 ,
:
2
x t
C
y t
（t 为参数）距离的最小值。
（23）解：
（Ⅰ）
2 2
2 2
1 2: ( 4) ( 3) 1, : 1.
64 9
x yC x y C
1C 为圆心是（ 4,3) ，半径是 1 的圆.
2C 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.
（Ⅱ）当
2
t
时，
3( 4,4). (8cos ,3sin ), ( 2 4cos ,2 sin ).
2
P Q M 故
3C 为直线 3
52 7 0, | 4cos 3sin 13 | .
5
x y M C d 到 的距离
从而当
4 3cos ,sin
5 5
时，
8 5 .
5
d取得最小值
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原
点的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和.
（1）将 y 表示成 x 的函数；
（2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？
（24）解：
（Ⅰ） 4 | 10 | 6 | 20 |,0 30.y x x x
（Ⅱ）依题意，x 满足
{ 4 | 10 | 6 | 20 | 70,
0 30.
x x
x
解不等式组，其解集为【9，23】
所以 [9, 23].x
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24）
题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，
非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。
参考公式：
样本数据 nxxx ,, 21 的标准差 锥体体积公式
2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x x
n
1
3
V Sh
其中 x为样本平均数 其中 S为底面面积， h为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。
k.Com]
V Sh 24S R 34
3
V R
其中 S为底面面积， h为高 其中 R 为球的半径
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合 {| | 2, }A x x R }, { | 4, }B x x x Z ,则 A B
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
(2)已知复数
2
3
(1 3 )
iz
i
， z是 z 的共轭复数，则 z z =
A.
1
4
B.
1
2
C.1 D.2
(3)曲线
2
xy
x
在点（-1，-1）处的切线方程为
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ 2 ，- 2 ），角速度
为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为
（5）已知命题
1p ：函数 2 2x xy 在 R为增函数，
2p ：函数 2 2x xy 在 R 为减函数，
则在命题 1q ： 1 2p p ， 2q ： 1 2p p ， 3q ： 1 2p p 和 4q ：
1 2p p 中，真命题是
（A） 1q ， 3q （B） 2q ， 3q （C） 1q ， 4q （D）
2q ， 4q
（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没
有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（7）如果执行右面的框图，输入 5N ，则输出的数等于
（A）
5
4
（B）
4
5
（C）
6
5
（D）
5
6
（8）设偶函数 ( )f x 满足
3( ) 8( 0)f x x x ，则{ | ( 2) 0}x f x
(A) { | 2 4}x x x 或 (B) { | 0 4}x x x 或
(C) { | 0 6}x x x 或 (D) { | 2 2}x x x 或
（9）若
4cos
5
， 是第三象限的角，则
1 tan
2
1 tan
2
(A)
1
2
(B)
1
2
(C) 2 (D) -2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为
(A) 2a (B) 27
3
a (C) 211
3
a (D) 25 a
（11）已知函数
| lg |,0 10,
( ) 1 6, 10.
2
x x
f x
x x
若 , ,a b c互不相等，且 ( ) ( ) ( ),f a f b f c 则
abc的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)
（12）已知双曲线 E的中心为原点， (3,0)P 是 E的焦点，过 F 的直线 l与 E相交于 A，B
两点，且 AB 的中点为 ( 12, 15)N ,则 E的方程式为
(A)
2 2
1
3 6
x y
(B)
2 2
1
4 5
x y
(C)
2 2
1
6 3
x y
(D)
2 2
1
5 4
x y
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）设 ( )y f x 为区间[0,1] 上的连续函数，且恒有0 ( ) 1f x ，可以用随机模拟方法
近似计算积分
1
0
( )f x dx ，先产生两组（每组 N 个）区间[0,1] 上的均匀随机数 1 2, , Nx x x… 和
1 2, , Ny y y… ， 由 此 得 到 N 个 点 1 1( , )( 1, 2, )x y i N …, ， 再 数 出 其 中 满 足
1 1( )( 1, 2, )y f x i N …, 的点数 1N ，那么由随机模拟方案可得积分
1
0
( )f x dx 的近似值
为 。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方程为____
(16)在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=
1
2
DC， ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面
积为3 3 ，则 BAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分 12 分）
设数列 na 满足
2 1
1 12, 3 2 n
n na a a
（1） 求数列 na 的通项公式；
（2） 令 n nb na ，求数列的前 n 项和 nS
(18)（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，
ABCD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，
E 为 AD 中点
（1） 证明：PE BC
（2） 若APB=ADB=60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值
(19)(本小题 12 分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老
年人，结果如下：
是否需要志愿 性别 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有 99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的
老年人的比例？说明理由
附：
（20）（本小题满分 12 分）
设 1 2,F F 分别是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a b
a b
的左、右焦点，过 1F 斜率为 1 的直线 i与
E相交于 ,A B两点，且 2 2, ,AF AB BF 成等差数列。
（1）求 E的离心率；
（2） 设点 (0, 1)p 满足 PA PB ，求 E的方程
（21）（本小题满分 12 分）
设函数
2( ) 1xf x e x ax 。
（1） 若 0a ，求 ( )f x 的单调区间；
（2） 若当 0x 时 ( ) 0f x ，求 a的取值范围
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知直线 C1
x 1 t cos
siny t
（t 为参数），C2
x cos
siny
（ 为参数），
（Ⅰ）当 =
3
时，求 C1与 C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的
参数方程，并指出它是什么
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项
设函数 ( ) 2 4 1f x x l
（Ⅰ）画出函数 ( )y f x 的图像
（Ⅱ）若不等式 ( )f x ≤ ax的解集非空，求 a 的取值范围。
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
二、填空题
（13） 1N
N
（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
（15） 2 2( 3) 2x y （16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当 n≥1 时，
1 1 1 2 1 1[( ) ( ) ( )]n n n n na a a a a a a a
2 1 2 33(2 2 2) 2n n
2( 1) 12 n 。
而 1 2,a
所以数列{ na }的通项公式为
2 12 n
na
。
（Ⅱ）由
2 12 n
n nb na n 知
3 5 2 11 2 2 2 3 2 2 n
nS n ①
从而
2 3 5 7 2 12 1 2 2 2 3 2 2 n
nS n ②
①-②得
2 3 5 2 1 2 1(1 2 ) 2 2 2 2 2n n
nS n 。
即
2 11 [(3 1)2 2]
9
n
nS n
（18）解：
以H 为原点， , ,HA HB HP 分别为 , ,x y z轴，线段HA的长为单位长， 建立空间直角坐
标系如图， 则 (1,0,0), (0,1,0)A B
（Ⅰ）设 ( ,0,0), (0,0, )( 0, 0)C m P n m n
则
1(0, ,0), ( , ,0).
2 2
mD m E
可得
1( , , ), ( , 1,0).
2 2
mPE n BC m
因为 0 0
2 2
m mPE BC
所以 PE BC
（Ⅱ）由已知条件可得
3 3, 1,
3 3
m n C 故 ( ,0,0)
3 1 3(0, ,0), ( , ,0), (0,0,1)
3 2 6
D E P
设 ( , , )n x y x 为平面 PEH 的法向量
则
,
,
n HE o
n HP o
即
1 3 0
2 6
0
x y
z
因此可以取 (1, 3,0)n ，
由 (1,0, 1)PA
，
可得
2cos ,
4
PAn
所以直线 PA与平面 PEH 所成角的正弦值为
2
4
（19）解：
（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要
帮助的老年人的比例的估算值为
70 14%
500
（2）
2
2 500 (40 270 30 160) 9.967
200 300 70 430
K
。
由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该
地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区
老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽
样方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知 2 2 4AF BF AB a ，又 2 22 AB AF BF ，
得
4
3
AB a
l的方程为 y x c ，其中 2 2c a b 。
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 A、B 两点坐标满足方程组
2 2
2 2 1
y x c
x y
a b
化简的 2 2 2 2 2 2 22 0a b x a cx a c b
则
2 2 22
1 2 1 22 2 2 2
2 ,
a c ba cx x x x
a b a b
因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB 2
2 1 1 2 1 22 2 4x x x x x x
得
2
2 2
4 4 ,
3
aba
a b
故
2 22a b
所以 E 的离心率
2 2 2
2
c a be
a a
（II）设 AB 的中点为 0 0,N x y ，由（I）知
2
1 2
0 2 2
2
2 3
x x a cx c
a b
， 0 0 3
cy x c 。
由 PA PB ，得 1PNk ，
即 0
0
1 1y
x
得 3c ，从而 3 2, 3a b
故椭圆 E 的方程为
2 2
1
18 9
x y
。
（21）解：
（1） 0a 时， ( ) 1xf x e x ， '( ) 1xf x e .
当 ( ,0)x 时， '( ) 0f x ；当 (0, )x 时， '( ) 0f x .故 ( )f x 在 ( ,0) 单调减
少，在 (0, ) 单调增加
（II） '( ) 1 2xf x e ax
由（I）知 1xe x ，当且仅当 0x 时等号成立.故
'( ) 2 (1 2 )f x x ax a x ，
从而当1 2 0a ，即
1
2
a 时， '( ) 0 ( 0)f x x ，而 (0) 0f ，
于是当 0x 时， ( ) 0f x .
由 1 ( 0)xe x x 可得 1 ( 0)xe x x .从而当
1
2
a 时，
'( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a ，
故当 (0, ln 2 )x a 时， '( ) 0f x ，而 (0) 0f ，于是当 (0, ln 2 )x a 时， ( ) 0f x .
综合得 a的取值范围为
1( , ]
2
.
（22）解：
（I）因为 AC BC ,
所以 BCD ABC .
又因为 EC与圆相切于点C，故 ACE ABC ，
所以 ACE BCD .
（II）因为 ,ECB CDB EBC BCD ,
所以 BDC ∽ ECB ，故
BC CD
BE BC
，
即
2BC BE CD .
(23)解：
（Ⅰ）当 3
时， 1C 的普通方程为 3( 1)y x ， 2C 的普通方程为
2 2 1x y 。联立
方程组
2 2
3( 1)
1
y x
x y
，解得 1C 与 2C 的交点为（1,0）
1 3
2 2
， 。
（Ⅱ） 1C 的普通方程为 sin cos sin 0x y 。
A 点坐标为 2sin cos sin ，
故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为：
21 sin
2
1 sin cos
2
x
y
为参数
P 点轨迹的普通方程为
2
21 1
4 16
x y
。
故 P 点轨迹是圆心为
1 0
4
， ，半径为
1
4
的圆。
（24） 解：
（Ⅰ）由于
2 5 2
( )
2 3
x x
f x
x
，
，x 2
则函数 ( )y f x 的图像如图所示。
（Ⅱ）由函数 ( )y f x 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当
1
2
a
或 2a 时，函数
( )y f x 与函数 y ax 的图像有交点。故不等式 ( )f x ax 的解集非空时， a的取值范围
为
12
2
， ，
。
高考试题来源：http://www.gaokao.com/zyk/gkst/
2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
(1)复数
2
1 2
i
i
的共轭复数是
（A）
3
5
i （B）
3
5
i （C） i （D） i
（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是
（A）
2y x (B) 1y x （C）
2 1y x (D) 2 xy
（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p是
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的
可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A）
1
3
（B）
1
2
（C）
2
3
（D）
3
4
（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 2y x 上，则
cos 2 =
（A）
4
5
（B）
3
5
（C）
3
5
（D）
4
5
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
（7）设直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直，l与 C交于 A,B 两点，AB
为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3
（8）
512ax x
x x
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
（9）由曲线 y x ，直线 2y x 及 y轴所围成的图形的面积为
（A）
10
3
（B）4 （C）
16
3
（D）6
（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题
1
2: 1 0,
3
P a b
2
2: 1 ,
3
P a b
3 : 1 0,
3
P a b
4 : 1 ,
3
P a b
其中的真命题是
（A） 1 4,P P （B） 1 3,P P （C） 2 3,P P （D） 2 4,P P
（11）设函数 ( ) sin( ) cos( )( 0, )
2
f x x x 的最小正周期为 ，且
( ) ( )f x f x ，则
（A） ( )f x 在 0,
2
单调递减 （B） ( )f x 在
3,
4 4
单调递减
（C） ( )f x 在 0,
2
单调递增 （D） ( )f x 在
3,
4 4
单调递增
(12)函数
1
1
y
x
的图像与函数 2sin ( 2 4)y x x 的图像所有焦点的横坐标之和等
于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）若变量 ,x y满足约束条件
3 2 9,
6 9,
x y
x y
则 2z x y 的最小值为 。
（14）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 1 2,F F 在 x轴上，离心率
为
2
2
。过 l的直线 交于 ,A B两点，且 2ABF 的周长为 16，那么C的方程为 。
（15）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，且 6, 2 3AB BC ,则棱
锥O ABCD 的体积为 。
（16）在 ABC 中， 60 , 3B AC
，则 2AB BC 的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
等比数列 na 的各项均为正数，且
2
1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a
求数列 na 的通项公式.
设 3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a 求数列
1
nb
的前项和.
(18)(本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。
（19）（本小题满分 12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于
或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产
了 100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用 A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用 B配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t的关系式为
2, 94
2,94 102
4, 102
t
y t
t
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学
期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的
概率）
（20）（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB//OA，
MA•AB = MB•BA，M 点的轨迹为曲线 C。
（Ⅰ）求 C的方程；
（Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数
ln( )
1
a x bf x
x x
，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 3 0x y 。
（Ⅰ）求 a、b的值；
（Ⅱ）如果当 0x ，且 1x 时，
ln( )
1
x kf x
x x
，求 k的取值范围。
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请
写清题号。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为 ABC 的边 AB， AC上的点，且不与 ABC 的顶点重合。已知 AE
的长为 n， AD， AB的长是关于 x的方程
2 14 0x x mn 的两个根。
（Ⅰ）证明：C， B，D， E四点共圆；
（Ⅱ）若 90A ，且 4, 6m n ，求C， B，D， E所在圆的半径。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为
2cos
2 2sin
x
y
（ 为参数）
M是 C1上的动点，P 点满足 2OP OM
,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2的方程
(Ⅱ)在以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
与 C1的异于极点的交
点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求 AB .
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
设函数 ( ) 3f x x a x ,其中 0a 。
（Ⅰ）当 1a 时，求不等式 ( ) 3 2f x x 的解集
（Ⅱ）若不等式 ( ) 0f x 的解集为 | 1x x ，求 a的值。
2011 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D
二、填空题
（13）-6 （14）
2 2
1
16 8
x y
（15）8 3 （16） 2 7
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由
2
3 2 69a a a 得
3 2
3 49a a 所以
2 1
9
q 。有条件可知 a>0,
故
1
3
q 。
由 1 22 3 1a a 得 1 22 3 1a a q ，所以 1
1
3
a 。故数列{an}的通项式为 an=
1
3n
。
（Ⅱ ） 1 1 1 1 1 1log log ... lognb a a a
(1 2 ... )
( 1)
2
n
n n
故
1 2 1 12( )
( 1) 1nb n n n n
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))
2 2 3 1 1n
n
b b b n n n
所以数列
1{ }
nb
的前 n项和为
2
1
n
n
(18)解：
（Ⅰ ）因为 60 , 2DAB AB AD , 由余弦定理得 3BD AD
从而 BD
2
+AD
2
= AB
2
，故 BD AD
又 PD底面 ABCD，可得 BD PD
所以 BD平面 PAD. 故 PA BD
（Ⅱ）如图，以 D为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x轴的正半轴建立空间直
角坐标系 D- xyz，则
1,0,0A , 0 3,0B ， , 1, 3,0C , 0,0,1P 。
( 1, 3,0), (0, 3, 1), ( 1,0,0)AB PB BC
设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则
即
3 0
3 0
x y
y z
因此可取 n= ( 3,1, 3)
设平面 PBC 的法向量为 m，则
0
0
m PB
m BC
可取 m=（0，-1， 3 ）
4 2 7cos ,
72 7
m n
故二面角 A-PB-C 的余弦值为
2 7
7
（19）解
（Ⅰ）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为
22 8 =0.3
100
，所以用 A 配
方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。
由实验结果知，用 B配方生产的产品中优质品的频率为
32 10 0.42
100
，所以用 B配方
生产的产品的优质品率的估计值为 0.42
（ Ⅱ ） 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 ， 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间
90,94 , 94,102 , 102,110
的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
即 X 的分布列为
X的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
(20）解：
(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA
=（-x,-1-y）, MB
=(0,-3-y),
AB
=(x,-2).再由愿意得知（MA
+MB
）• AB
=0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线 C的方程式为 y=
1
4
x
2
-2. 更多免费试卷下载 w绿 w色 w.lsp 圃 jy.c 中 om 小学
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(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C：y=
1
4
x
2
-2 上一点，因为 y
'
=
1
2
x,所以 l的斜率为
1
2
x 0
因此直线 l的方程为 0 0 0
1 ( )
2
y y x x x ，即
2
0 02 2 0x x y y x 。
则 O 点到 l的距离
2
0 0
2
0
| 2 |
4
y xd
x
.又
2
0 0
1 2
4
y x ，所以
2
0
2
02 2
0 0
1 4 1 42 ( 4 ) 2,
24 4
x
d x
x x
当
2
0x =0 时取等号，所以 O 点到 l距离的最小值为 2.
（21）解：
（Ⅰ） 2 2
1( ln )
'( )
( 1)
x x bxf x
x x
由于直线 2 3 0x y 的斜率为
1
2
，且过点 (1,1) ，故
(1) 1,
1'(1) ,
2
f
f
即
1,
1 ,
2 2
b
a b
解得 1a ， 1b 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
ln 1
1
x
x x
，所以
2
2
ln 1 ( 1)( 1)( ) ( ) (2 ln )
1 1
x k k xf x x
x x x x
。
考虑函数 ( ) 2 lnh x x
2( 1)( 1)k x
x
( 0)x ，则
2
2
( 1)( 1) 2'( ) k x xh x
x
。
(i)设 0k ，由
2 2
2
( 1) ( 1)'( ) k x xh x
x
知，当 1x 时， '( ) 0h x 。而 (1) 0h ，故
当 (0,1)x 时， ( ) 0h x ，可得 2
1 ( ) 0
1
h x
x
；
当 x（1，+）时，h（x）<0，可得 21
1
x
h（x）>0
从而当 x>0,且 x 1 时，f（x）-（
1
ln
x
x
+
x
k
）>0，即 f（x）>
1
ln
x
x
+
x
k
.
（ii）设 00,故 h’ （x）>0,而 h（1）
=0，故当 x（1，
k1
1
）时，h（x）>0，可得 21
1
x
h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设 k 1.此时 h
’
（x）>0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）>0，可得 21
1
x
h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
（22）解： （I）连接 DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD×AB=mn=AE×AC,
即
AB
AE
AC
AD
.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以 C,B,D,E 四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接
DH.因为 C，B，D，E四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.
由于∠A=90
0
，故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=
2
1
(12-2)=5.
故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2
（23）解：
（I）设 P(x,y),则由条件知 M(
2
,
2
YX
).由于 M 点在 C1上，所以
sin22
2
,cos2
2
y
x
即
sin44
cos4
y
x
从而 2C 的参数方程为
4cos
4 4sin
x
y
（ 为参数）
（Ⅱ）曲线 1C 的极坐标方程为 4sin ，曲线 2C 的极坐标方程为 8sin 。
射线
3
与 1C 的交点 A的极径为 1 4sin
3
，
射线
3
与 2C 的交点 B的极径为 2 8sin
3
。
所以 2 1| | | | 2 3AB .
（24）解：
（Ⅰ）当 1a 时， ( ) 3 2f x x 可化为 | 1| 2x 。
由此可得 3x 或 1x 。
故不等式 ( ) 3 2f x x 的解集为{ | 3x x 或 1}x 。
( Ⅱ) 由 ( ) 0f x 的
3 0x a x
此不等式化为不等式组
3 0
x a
x a x
或
3 0
x a
a x x
即
4
x a
ax
或
2
x a
aa
因为 0a ，所以不等式组的解集为 |
2
ax x
由题设可得
2
a
= 1 ，故 2a
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