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- 2021-05-13 发布
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2017年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为( )
A. B.1 C. D.3
3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为
.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣
C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=
8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 .
12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为 .
14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>
b,a=5,c=6,sinB=.
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+)的值.
16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.
2017年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}
【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.
【解答】解:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},
又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}. 故选:B.
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为( ) A. B.1 C. D.3
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,
由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3. 故选:D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用.
3.(5分)阅读上面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.
【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,
第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,
第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,
输出N=2, 故选C
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.
4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,
sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,
则(0,)⊂[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z,
可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件. 故选:A.
【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题.
5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解答】解:设双曲线的左焦点F(﹣c,0),离心率e==,c=a,
则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,
则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==,则=1,c=4,则a=b=2,
∴双曲线的标准方程:; 故选B.
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题.
6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c
【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,
由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),
∴b<a<c, 故选C.
【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题.
7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣
C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=
【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2π,得,
又f()=2,f()=0,
得,∴T=3π,则,即.
∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),
由f()=,
得sin(φ+)=1.∴φ+=,k∈Z.
取k=0,得φ=<π.∴,φ=. 故选:A.
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.
8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]
【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.
【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,
由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;
由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,
则﹣≤a≤①
当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣(x+)≤+a≤x+,
即有﹣(x+)≤a≤+,
由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;
由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.
则﹣2≤a≤2②
由①②可得,﹣≤a≤2. 故选:A.
【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 ﹣2 .
【解答】解:===﹣i
由为实数,可得﹣=0, 解得a=﹣2. 故答案为:﹣2.
【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题.
10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.
【解答】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6a2=18,
则a2=3,即a=,
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,
即a=2R,即R=,则球的体积V=π•()3=; 故答案为:.
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.
11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 .
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.
【解答】解:直线4ρcos(θ﹣)+1=0展开为:4ρ+1=0,化为:2x+2y+1=0.
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.
∴圆心C(0,1)到直线的距离d==<1=R.
∴直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2. 故答案为:2.
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 .
【解答】解:a,b∈R,ab>0,
∴≥==4ab+≥2=4,
当且仅当,即,
即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.
13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为 .
【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,
再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.
【解答】解:如图所示,
△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,
∴=+=+=+(﹣)=+,
又=λ﹣(λ∈R),
∴=(+)•(λ﹣)=(λ﹣)•﹣+λ
=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4, ∴λ=1,解得λ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.
14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 1080 个.(用数字作答)
【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:
四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,
组成一共四位数即可, 有A54=120种情况,
即有120个没有一个偶数数字四位数;
②、四位数中只有一个偶数数字,
在1、3、5、7、9种选出3个,
在2、4、6、8中选出1个,
有C53•C41=40种取法,
将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;
故答案为:1080.
【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.
15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+)的值.
【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.
【解答】
解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,故由sinB=,
可得cosB=.
由已知及余弦定理,
有=13,
∴b=.
由正弦定理,
得sinA=.
∴b=,
sinA=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,
∴sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=1﹣2sin2A=﹣.
故sin(2A+)==.
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题.
16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【分析】(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,
写出它的分布列,计算数学期望值;
(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.
【解答】解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;
则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=,
P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×
(1﹣)×=,
P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=,
P(X=3)=××=;
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;
(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,
则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)
=×+×=;
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题.
17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
【分析】(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值;
(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.
【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,
∵M为AD中点,∴MF∥BD,
∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N为BC中点,∴NF∥AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.
∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则,,
设平面MEN的一个法向量为,
由,得,取z=2,得.
由图可得平面CME的一个法向量为.
∴cos<>=.
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为;
(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,.
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,
∴|cos<>|=||=||=.解得:t=4.
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4.
【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.
18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,
由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,
上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1
==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8
得Tn=.
所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力.
19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出
【解答】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).
依题意可得,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.
所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.
(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),
,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).,消去x,
整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.∴B(,).
∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,
令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.
又∵△APD的面积为,∴×=,
整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.
∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.
20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.
(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),
推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),
令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出导函数H′1(x)
利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,
令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0,2]时,通过h(x)的零点.转化推出|﹣x0|=≥=.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.
【解】(Ⅰ)由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,
进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,﹣1)
(﹣1,)
(,+∞)
g′(x)
+
﹣
+
g(x)
↗
↘
↗
所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),
单调递减区间是(﹣1,).
(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),
得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),所以h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).
令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).
由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,
故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;
当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.
因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,
可得H1(m)>0即h(m)>0,
令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.
所以,h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,
令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;
当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.
所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,
不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.
由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),
于是|﹣x0|=≥=.
因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.
又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.
所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.
【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目.