2017年度高考数学（理）二模试题（上海市奉贤区） 11页

上海市奉贤区2014届高三4月调研测试 数学（理）试题 ‎（考试时间：120分钟，满分150分） ‎ ‎（本卷可能用到的公式）‎ 一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)‎ ‎1、函数的反函数为________.‎ ‎2、设（，是虚数单位），满足，则________.‎ ‎3、如果函数的图像过点，________.‎ 开 始 S=0，n=1‎ S =S+sin n=n+1‎ 输出S 结 束 否 是 第4题图 ‎2014‎ ‎4、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________.‎ ‎5、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.‎ ‎6、在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.‎ ‎7、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为________.‎ ‎8、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法.‎ ‎9、极坐标系中，极点到直线（其中、为常数）的距离是________.‎ ‎10、已知函数， 则方程的解是________.‎ ‎11、已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为________.‎ ‎12、定义在上的函数满足：①当时，②‎ ‎，设关于的函数的零点从小到大依次记为，则________.‎ ‎13、从1，2，3，，，这个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为，‎ 则________.‎ ‎14、以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；……，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则=________.‎ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ B A C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 第15题（理）图 ‎15、已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是 （ ）‎ ‎ A． ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ D．‎ ‎16、设数列，以下说法正确的是（ ）‎ A．若，，则为等比数列 B．若，，则为等比数列 C．若，，则为等比数列 D．若，，则为等比数列 ‎17、下列命题正确的是( )‎ ‎ A．若,则 B．若则 ‎ C．若,则 D．若,则 ‎18、已知,且设，设，则是 的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎ 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19、如图，在直三棱柱中，，‎ ‎．若为的中点，求直线与平面所成的角.‎ A1‎ B1‎ C1‎ D B A C ‎(理19题图)‎ ‎20、已知函数，，．‎ ‎ （1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；‎ ‎ （2）当时，求证函数存在反函数．‎ ‎21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角（从正北方向顺时针转到方向所成的角）是，距离是‎3km；从到，方位角是110°，距离是‎3km；从到，方位角是140°，距离是（）km.‎ 试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.‎ ‎22、如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.‎ ‎（1）求动点的轨迹；‎ ‎（2）当时，过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，线段的垂直平分线为 ‎①求的面积的最大值；‎ ‎②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.‎ ‎23、若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.‎ ‎（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）‎ ‎（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；‎ ‎（3）证明：任意的，函数都是等比源函数.‎ ‎ 2013—2014学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(理科) ‎ 参考答案 2014.4‎ 一、填空题（每小题4分，共56分）‎ ‎1.（理）‎ ‎2. ‎ ‎3. ‎ ‎4.‎ ‎5. ‎ ‎6.‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.(理)， ‎ ‎11.（理）‎ ‎12.(理)， ‎ ‎13.（理）‎ ‎14.‎ 二、选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎15.（理）D ‎16. C ‎17. D ‎18. A 三、解答题 ‎19、（理）‎ ‎【解】方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴建系，则，则 2分；‎ ‎(理19题图)‎ 设平面A1BC1的一个法向量，‎ 则，‎ 则，取，则 6分 设AD与平面A1BC1所成的角为，‎ G O A1‎ B1‎ C1‎ D B A C ‎(理19题图)‎ 则= 10分 则,∴AD与平面A1BC1所成的角为 12分 方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．‎ 由AA1⊥平面A1B‎1C1得AA1⊥A‎1C1．‎ 又A‎1C1⊥A1B1，所以A‎1C1⊥平面AA1B1B，故A‎1C1⊥AB1．‎ 从而得 AB1⊥平面A1BC1． 4分 设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．‎ 连接AC1，由题意知△AB‎1C1是正三角形．‎ 由AD，C1O是△AB‎1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．‎ 知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，‎ 于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角． 6分 在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，‎ 所以sin∠AGO＝＝． 10分 故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°． 12分 ‎20、【解】 (1)判断：若，函数在上是增函数. ‎ ‎ 证明：当时，， ‎ ‎ 在上是增函数. 2分 在区间上任取，设，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，即在上是增函数. 6分 ‎ (2) （理）因为，所以 8分 ‎ 当时，在上是增函数， 9分 ‎ 证明：当时，在上是增函数（过程略） 11分 在在上也是增函数 ‎ 当时，上是增函数 12分 ‎ 所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，‎ 所以时，存在反函数 14分 ‎(2) （文）因为，所以 8分 当时，在上是增函数， 9分 ‎ 证明：当时，在上是增函数（过程略） 11分 在在上也是增函数 ‎ 当时，在上是增函数 12分 ‎ 证明：当时，在上是增函数（过程略） 13分 ‎ 所以当时，取得最大值为； 14分 ‎ ‎ ‎ ‎21、【解】示意图，如图所示， 4分 连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,‎ 又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30° ‎ 由余弦定理可得 7分 在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3+9.‎ 由余弦定理得AD=‎ ‎==(km). 10分 由正弦定理得sin∠CAD= 12分 ‎∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分 所以，从A到D的方位角是125°，距离为km. 14分 ‎22、（理）‎ ‎【解】（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆 3分 当时，轨迹是线段 4分 当时，轨迹不存在 5分 ‎（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，‎ 可得轨迹的方程为 7分 ‎①解法1：设表示点到线段的距离 ‎， 8分 要使的面积有最大值，只要有最大值 当点与椭圆的上顶点重合时， ‎ 的最大值为 10分 解法2：在椭圆中，设，记 点在椭圆上，由椭圆的定义得：‎ 在中，由余弦定理得：‎ 配方，得：‎ 从而 得 8分 根据椭圆的对称性，当最大时，最大 当点与椭圆的上顶点重合时，‎ 最大值为 10分 ‎②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称 11分 下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称 12分 证法1：假设存在这样的两个不同的点 设线段的中点为 直线 由于在上，故 ①‎ 又在椭圆上，所以有 两式相减，得 将该式写为，‎ 并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，‎ 得 ② 14分 ‎①、②得，由（1）代入 得 即的中点为点，而这是不可能的.‎ 此时不存在满足题设条件的点和. 16分 证法2：假设存在这样的两个不同的点 ‎， 14分 则，故直线经过原点。 15分 直线的斜率为，则假设不成立， ‎ 故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称 16分 ‎23、（理）‎ ‎【解】（1）①②都是等比源函数. 4分 ‎（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，‎ ‎ ，整理得， ‎ 等式两边同除以得.‎ 因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，‎ 所以等式不可能成立，‎ 所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数 10分 ‎（3）因为任意的，都有，‎ 所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.‎ ‎ 由，（其中）可得 ‎ ，整理得 ‎ ，‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.‎ 所以任意的，函数都是等比源函数. 18分