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- 2021-05-13 发布
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2013年高考数学一轮复习精品教学案8.5 椭圆
【考纲解读】
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,在解答题中考查,一般难度较大,与其他知识结合起来考查,在考查平面解析几何基础知识的同时,又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合,在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1. 椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点,则有。
椭圆的标准方程为:()(焦点在x轴上)或()(焦点在y轴上)
注:①以上方程中的大小,其中;
②在和两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小。例如椭圆(,,)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。
2.椭圆的性质
①范围:由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;
②对称性:在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点
也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵,∴,且越接近,就越接近,从而就越小,对应的椭圆越扁;反之,越接近于,就越接近于,从而越接近于,这时椭圆越接近于圆。当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为。
【例题精析】
考点一 椭圆的概念及标准方程
例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是、,椭圆上一点到两焦点距离的和等于;
(2)两个焦点的坐标分别是、,并且椭圆经过点;
(3)焦点在轴上,,;
(4)焦点在轴上,,且过点;
(5)焦距为,;
(6)椭圆经过两点,。
【名师点睛】本小题主要考查求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。
【变式训练】
1. 椭圆的中心为点,它的一个焦点为,相应于焦点的准线方程为,则这个椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
考点二 椭圆的几何性质
例2. 设椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是 。
2. 椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
【答案】A
【解析】不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|,故选A。
【易错专区】
问题:椭圆的综合应用
例. (2012年高考四川卷文科15)椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。
1.(2011年高考海南卷文科4)椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以离心率为,选D.
2.(2010年高考广东卷文科7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
3.(2010年高考四川卷文科10)椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
(A)(0,] (B)(0,] (C)[,1) (D)[,1)
4.(2009年高考江西卷理科第6题)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D. w.w.w.zxxk.c.o.m
【答案】B
【解析】因为,再由有从而可得,故选B。
5. (广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟理科)短轴长为,离心率
的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为
。
6. (2012年高考江西卷理科13)椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
1.(2012年高考新课标全国卷文科4)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )
2.(2012年高考全国卷文科5)椭圆的中心在原点,焦距为,一条准线为,则该椭圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
3. (2012年高考江西卷文科8)椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果.
4. (2012年高考上海卷文科16)对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆(a>b>0)与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分,则[( )Cm]
(A) (B) (C) (D)
6. (2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1,F2,若曲线I’上存在点P满足::= 4:3:2,则曲线I’的离心率等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由::= 4:3:2,可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则
,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.
7. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科)已知分别为椭圆的左右顶点,椭圆上异于的点恒满足,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.