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  • 2021-05-13 发布

文科数学高考复习——圆锥曲线

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‎2012年高考试题分类汇编:圆锥曲线 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎3.【2012高考山东文11】已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ‎ (A)  (B)   (C)  (D)‎ ‎【答案】D ‎ ‎4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点,焦距为,一条准线为,则该椭圆的方程为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎ 【答案】C ‎5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ 【答案】C ‎6.【2012高考浙江文8】 如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点。若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B‎.2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎8.【2012高考四川文11】方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 【答案】B ‎9.【2012高考上海文16】对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ 表示的是椭圆”的必要不充分条件。‎ ‎10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]‎ ‎【答案】A ‎12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】根据焦点坐标知,由双曲线的简单几何性质知,所以,因此.故选C.‎ 二 、填空题 ‎13.【2012高考四川文15】椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。‎ ‎ 【答案】,‎ ‎14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ . ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面‎2米,水面宽‎4米,水位下降‎1米后,水面宽 米.‎ ‎【答案】.‎ ‎17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则=______。‎ ‎【答案】‎ ‎19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则 ‎ ‎【答案】1,2‎ 三、解答题 ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆(a>b>0),点P(,)在椭圆上。‎ ‎(I)求椭圆的离心率。‎ ‎(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ ‎21.【2012高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 ‎,∴。‎ 由点在椭圆上,得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎(2)由(1)得,,又∵∥,‎ ‎ ∴设、的方程分别为,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理,。②‎ ‎ (i)由①②得,。解得=2。‎ ‎ ∵注意到,∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ (ii)证明:∵∥,∴,即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知,,∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得,,,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ (2)根据已知条件,用待定系数法求解。‎ ‎22.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分)‎ 如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)已知△的面积为40,求a, b 的值. ‎ ‎【解析】‎ ‎23.【2012高考广东文20】(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为,且点在上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)因为椭圆的左焦点为,所以,‎ 点代入椭圆,得,即,‎ 所以,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,‎ ‎,消去并整理得,‎ 因为直线与椭圆相切,所以,‎ 整理得 ①‎ ‎,消去并整理得。‎ 因为直线与抛物线相切,所以,‎ 整理得 ②‎ 综合①②,解得或。‎ 所以直线的方程为或。‎ ‎24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)‎ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A (2,0),离心率为, 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程 ‎(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值 ‎ ‎【答案】‎ ‎25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)‎ 如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎【答案】(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8,即……②‎ 由①②解得:,‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II),‎ 设,则,‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时,,当过点时,.‎ ‎①当时,有,‎ ‎,‎ 其中,由此知当,即时,取得最大值.‎ ‎②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.‎ ‎③当时,,,‎ 由此知,当时,取得最大值.‎ 综上可知,当和0时,取得最大值.‎ ‎26.【2102高考福建文21】(本小题满分12分)‎ 如图,等边三角形OAB的边长为,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。‎ (1) 求抛物线E的方程;‎ (1) 设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考上海文22】(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分 在平面直角坐标系中,已知双曲线 ‎(1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;‎ ‎(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;‎ ‎(3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:⊥‎ ‎【答案】‎ ‎28.【2012高考新课标文20】(本小题满分12分)‎ 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.‎ ‎(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;‎ ‎(II)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.‎ ‎【答案】‎ ‎29.【2012高考浙江文22】本题满分14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,错误!不能通过编辑域代码创建对象。)到抛物线C:=2px(P>0)的准线的距离为错误!不能通过编辑域代码创建对象。。点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分。‎ ‎(1)求p,t的值。‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得,得.‎ ‎(2)设,线段AB的中点坐标为 由题意得,设直线AB的斜率为k(k).‎ 由,得,得 所以直线的方程为,即.‎ 由,整理得,‎ 所以,,.从而得 ‎,‎ 设点P到直线AB的距离为d,则 ‎,设ABP的面积为S,则.‎ 由,得.‎ 令,,则.‎ 设,,则.‎ 由,得,所以,故ABP的面积的最大值为.‎ ‎30.【2012高考湖南文21】(本小题满分13分)‎ 在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.[中国教育出%版网^@*&]‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(Ⅰ)由,得.故圆C的圆心为点 从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知 故椭圆E的方程为:‎ ‎(Ⅱ)设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得 ‎  ,‎ 即     ‎ 同理可得  .‎ 从而是方程的两个实根,于是 ‎              ①‎ 且 由得解得或 由得由得它们满足①式,故点P的坐标为 ‎,或,或,或.‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标.‎ ‎31.【2012高考湖北文21】(本小题满分14分)‎ 设A是单位圆x2+y2=1上任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。‎ ‎(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。‎ ‎(2)过原点斜率为K的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎21. 【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.‎ ‎32.【2012高考全国文22】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知抛物线与圆有一个公共点,且在点处两曲线的切线为同一直线.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)‎ 如图,动圆,1