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- 2021-05-13 发布
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2010-2012 椭圆高考真题(含答案)
2010
1.(2010·广东高考文科·T7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,
则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出 、 、 的关
系,再转化为 、 间的关系,从而求出 .
【 规 范 解 答 】 选 . 椭 圆 长 轴 的 长 度 、 短 轴 的 长 度 和 焦 距 成 等 差 数 列 ,
,
,即: ,又 ,
, 即 , ,
(舍去)或 , ,故选 .
2.(2010·福建高考文科·T11)若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点,
点 P 为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.
【思路点拨】先求出椭圆的左焦点,设 P 为动点,依题意写出 的表达式,进而转化
为求解条件最值的问题,利用二次函数的方法求解.
【规范解答】选 C,设 ,则 ,又因为
,又 ,
,所以 .
3.(2010·海南高考理科·T20)设 分别是椭圆 E: (a>b>0)的左、右焦
点,过 斜率为 1 的直线 与 E 相交于 两点,且 , , 成等差数列.
4
5
3
5
2
5
1
5
a b c
a c e
B ∴
2b a c= +
∴ 2 24 ( )b a c= + 2 2 24 2b a ac c= + + 2 2 2a b c= +
∴ 2 24( )a c− = 2 22a ac c+ + 2 23 2 5 0a ac c− − = ( )(3 5 ) 0a c a c+ − = ∴
0a c+ = 3 5 0a c− = ∴ 3
5
ce a
= = B
2 2
14 3
x y+ =
OP FP⋅
OP FP⋅
( )0 0P x , y
2 2 2
20 0 0
0
x y 3x1 y 34 3 4
+ = = −即 ( )F 1,0−
( ) 2
0 0 0OP FP x x 1 y∴ ⋅ = ⋅ + + 2
0 0
1 x x 34
= + + ( )2
0
1 x 2 24
= + + [ ]0x 2,2∈ −
( ) [ ]OP FP 2,6∴ ⋅ ∈ ( )
max
6OP FP⋅ =
1 2,F F
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1F l ,A B 2AF AB 2BF
(Ⅰ)求 E 的离心率;
(Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 ,求 E 的方程.
【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解
决本题时,一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.
【思路点拨】利用等差数列的定义,得出 , , 满足的一个关系,然后再利用
椭圆的定义进行计算.
【规范解答】(Ⅰ)由椭圆的定义知, ,又
得
,
的方程为 ,其中
设 ,则 两点坐标满足方程组
化简得,
则 , .
因为直线 AB 斜率为 1,所以
得 ,故 ,所以 E 的离心率 .
( Ⅱ ) 设 两 点 的 中 点 为 , 由 ( Ⅰ ) 知 ,
.
由 ,可知 .即 ,得 ,从而 .
椭圆 E 的方程为 .
【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质,从题目中提取有价值的信息,然后列
出方程组进行相关的计算.
4.(2010·北京高考文科·T19)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 , ,
PA PB=
2AF AB 2BF
2 2 4AF BF AB a+ + = 2 22 AB AF BF= +
4
3AB a= l y x c= + 2 2c a b= −
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ,A B
2 2
2 2 1
y x c
x y
a b
= + + =
2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b x a cx a c b+ + + − =
2
1 2 2 2
2a cx x a b
−+ = +
2 2 2
1 2 2 2
( )a c bx x a b
−= +
2
2 1 1 2 1 22 2 ( ) 4AB x x x x x x = − = + −
2
2 2
4 4
3
a ab
a b
= +
2 22a b=
2 2 2
2
c a be a a
−= = =
,A B ( )0 0,N x y
2
1 2
0 2 2
2
2 3
x x a cx ca b
+ −= = = −+
0 0 3
cy x c= + =
PA PB= 1PNk = − 0
0
1 1y
x
+ = − 3c = 3 2, 3a b= =
2 2
118 9
x y+ =
( 2,0)− ( 2,0)
离心率是 ,直线 与椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为
P.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标;
(Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 变化时,求 y 的最大值.
【命题立意】本题考查了求椭圆方程,直线与圆的位置关系,函数的最值。要求学生掌握椭
圆标准中 的关系,离心率 .直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半
径来求解.第(Ⅲ)问中 最大值的求法用到了三角代换,体现了数学中的转化与化归思想.
【思路点拨】由焦点可求出 ,再利用离心率可求出 。直线与圆的位置关系转化为圆心
到直线的距离.
【规范解答】(Ⅰ)因为 ,且 ,所以
所以椭圆 C 的方程为 .
(Ⅱ)由题意知
由 得
所以圆 P 的半径为 .
由 ,解得 .所以点 P 的坐标是(0, ).
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 .因为点 在圆 P 上。所以由
图 可 知 。 设 , 则
当 ,即 ,且 , 取最大值 2.
6
3 y t=
t
, ,a b c ce a
=
y
c ,a b
6
3
c
a
= 2c = 2 23, 1a b a c= = − =
2
2 13
x y+ =
(0, )( 1 1)p t t− < <
2
2 13
y t
x y
= + =
23(1 )x t= ± −
23(1 )t−
2| | 3(1 )t t= − 3
2t = ± 3
2
±
2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y
y2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − cos , (0, )t θ θ π= ∈
23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t
πθ θ θ+ − = + = +
3
πθ = 1
2t = 0x = y
【方法技巧】(1)直线与圆的位置关系: 时相离; 时相切; 时相交;
(2)求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.
5.(2010·辽宁高考文理科·T20)设椭圆 C: 的右焦点为 F,过点
F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, .
(I) 求椭圆 C 的离心率;
(II) 如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程.
【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程,考查了椭圆的离心率,椭圆的标准方程,考查
了圆锥曲线中的弦长问题,以及推理运算能力.
【思路点拨】(I)联立直线方程和椭圆方程,消去 x,解出两个交点的纵坐标,利用这两个
纵坐标间的关系,得出 a、b、c 间的关系,求出离心率.
(II)利用弦长公式表示出|AB|,再结合离心率和 ,求出 a、b,
写出椭圆方程.
【规范解答】
d r> d r= d r<
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2AF FB=
15
4
2 2 2a b c= +
x
y
P
M N
O
【方法技巧】
1、直线、圆锥曲线的综合问题,往往是联立成方程组消去一个 x(或 y),得到关于 y(或 x)的
一元二次方程,使问题得以解决.
2、弦长问题,注意使用弦长公式,并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.
6.(2010·天津高考文理科·T20)
已知椭圆 的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积
为 4
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ,已知点 的坐标为( ),点
在线段 的垂直平分线上,且 ,求 的值.
【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知
识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力。
【思路点拨】(1)建立关于 a,b 的方程组求出 a,b;(2)构造新的一元二次方程求解。
【规范解答】(1)由 ,得 ,再由 ,得
1 1 2 2 1 2
2 2
2 2 2 2 42 2
2 2
2 2
1 22 2 2 2
1 2
2
2 2
( , ), ( , ) ( 0 0)
(I) 3( ),
3( )
(3 ) 2 3 3 0
1
3 ( 2 ) 3 ( 2 ), ,3 3
2 , 2
3 ( 2 )
3
A x y B x y y y
l y x c c a b
y x c
x a b y b cy bx y
a b
b c a b c ay ya b a b
AF FB y y
b c a
a b
< >
= − = −
= − + + − = + =
− + − −= =+ +
= − =
+
+
设
直线 的方程为 其中
联立 消去 得
解得
因为 所以
即
2
2 2
2
2 1 2 2
2 2
3 ( 2 )
3
2
3
1 2 4 3 15(II) |AB| 1+ |y -y |,3 3 43
2 5 5 15 3, 53 3 4 4
C 19 5
b c a
a b
ce a
ab
a b
c b a a a ba
x y
− −
+
= =
=+
= = = =
+ =
=2
得离心率
因为 = 所以 。
由 得 。所以 = ,得 。
所以椭圆 的方程为
2 2
2 2 1( 0x y a ba b
+ = > > ) 3
2e =
l ,A B A ,0a−
0(0, )Q y AB 4QA QB =
0y
3e 2
c
a
= = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 2a b=
由题意可知,
解方程组 得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 。
(2)解:由(1)可知 A(-2,0)。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的
方程为 y=k(x+2),
于是 A,B 两点的坐标满足方程组
由方程组消去 整理,得
由 得
设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为
以下分两种情况:
(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0)。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是
( 2 ) 当 k 时 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 ( 后 边 的 Y 改 为 小 写 )
令 x=0,解得
由
整理得
综上
1 2 2 4, 22 a b ab× × = =即
2
2
a b
ab
=
=
2
2 14
x y+ =
2
2
( 2)
14
y k x
x y
= + + =
y 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − =
2
1 2
16 42 ,1 4
kx k
−− = +
2
1 12 2
2 8 4, ,1 4 1 4
k kx yk k
−= =+ +从而
2
2 2
8 2( , )1 4 1 4
k k
k k
− + +
0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y
→ → → →
= − − = − ±)由 4,得 = 2
0≠
2
2 2
2 1 8( )1 4 1 4
k kY xk k k
− = ++ +
0 2
6
1 4
ky k
= +
0 1 1 0( 2, y ), ( ,QA QB x y y
→ →
= − − = − )
2
1 0 1 0 2 2 2 2
2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4
k k k kQA QB x y y y k k k k
→ → − −= − − − + ++ + + + )=
4 2
2 2
4(16 15 1) 4(1 4 )
k k
k
+ − =+=
2
0
14 2 147 2, =7 5k k y= = ± ±故 所以
0 0
2 14= 2 2 = 5y y± ±或
7.(2010·福建高考理科·T17)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2 , 3),且点
F(2 ,0)为其右焦点.
(I)求椭圆 C 的方程;
(II)是否存在平行于 OA 的直线 ,使得直线 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 的距
离等于 4?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,
考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
【思路点拨】第一步先求出左焦点,进而求出 a,c,然后求解椭圆的标准方程;第二步依题
意假设直线 的方程为 ,联立直线与椭圆的方程,利用判别式限制参数 t 的范围,
再由直线 OA 与直线 的距离等于 4 列出方程,求解出 t 的值,注意判别式对参数 t 的限制.
【规范解答】(I)依题意,可设椭圆的方程为 ,且可知左焦点为
,从而有 ,解得 ,又 ,
故椭圆的方程为 ;
(II)假设存在符合题意的直线 ,其方程为 ,由 得
,因为直线 与椭圆 C 有公共点,所以
,解得 。另一方面,由直线 OA 与直线
的距离等于 4 可得 ,由于 ,所以符
合题意的直线 不存在.
【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式
的限制。因为抛物与直线有交点,注意应用 进行验证可避免增根也可以用来限制参
数的范围.
l l l
l
l 3
2
= +y x t
l
( )2 2
2 2 1 0+ = > >x y a ba b
( )2,0′ −F 2
2 3 5 8
=
′= + = + =
c
a AF AF
4
2
=
=
a
c
2 2 2 2, 12= + ∴ =a b c b
2 2
116 12
+ =x y
l 3
2
= +y x t
2 2
116 12
3
2
+ =
= +
x y
y x t
2 23 3 12 0+ + − =x tx t l
( ) ( )2 23 4 3 12 0∆ = − × × − ≥t t 4 3 4 3− ≤ ≤t
l 4, 2 13
9 14
= ∴ = ±
+
t t 2 13 4 3,4 3 ± ∉ −
l
∆ 0∆ >
8.(2010·安徽高考理科·T19)已知椭圆 经过点 ,对称轴为坐标轴,焦点
在 轴上,离心率 。
(1)求椭圆 的方程;
(2)求 的角平分线所在直线 的方程;
(3)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说
明理由。
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单性质,点关于直线的对称性
等知识,考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平,探究意识,创新意识和综合
运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出椭圆的标准方程,再根据题设条件构建方程(组)求解;
(2)根据角平分线的性质求出直线 的斜率或直线 上的一个点的坐标,进而求得直线
的方程;
(3)先假设椭圆 上存在关于直线 对称的相异两点,在此基础之上进行推理运算,求
解此两点,根据推理结果做出判断。
【规范解答】(1)设椭圆 的方程为 ( ),
由题意 , ,又 ,解得:
椭圆 的方程为
(2)方法 1:由(1)问得 , ,又 ,易得 为直角三角
形,其中
设 的角平分线所在直线 与 x 轴交于点 ,根据角平线定理可知: ,
可得 ,
直线 的方程为: ,即 。
方法 2:由(1)问得 , ,又 ,
, ,
E ( )2,3A 1 2,F F
x 1
2e =
E
1 2F AF∠ l
E l
l l l
E l
E
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
1
2
ce a
= = 2 2
4 9 1a b
+ = 2 2 2c a b= − 2, 4, 2 3c a b= = =
∴ E
2 2
116 12
x y+ =
1( 2,0)F − 2 (2,0)F ( )2,3A 1 2F AF∆
2 1 2 13, 4, 5,AF F F AF= = =
1 2F AF∠ l M 1 2
1 2
AF AF
F M F M
=
2
3
2F M = 1( ,0)2M∴
∴ l
1
0 2
13 0 2 2
xy −− =− −
2 1y x= −
1( 2,0)F − 2 (2,0)F ( )2,3A
∴ 1 ( 4, 3)AF = − −
2 (0, 3)AF = −
O F2F1
A
X
Y
,
, 直线 的方程为: ,即 。
(3)假设椭圆 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ,
令 、 ,且 的中点为
, ,
又 ,两式相减得:
,即 (3),
又 在直线 上, (4)
由(3)(4)解得: ,
所以点 与点 是同一点,这与假设矛盾,
故椭圆 上不存在关于直线 对称的相异两点。
【方法技巧】
1、求圆锥曲线的方程,通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程,再根据题设条
件构建方程(组)求解;.
2、利用向量表示出已知条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算;
3、对于存在性问题,其常规解法是先假设命题存在,再根据题设条件进行的推理运算,
若能推得符合题意的结论,则存在性成立,否则,存在性不成立。
9.(2010·陕西高考文理科·T20)
如 图 , 椭 圆 C :
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于
P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线, 是否存在上述直线 l 使 成立?
若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 。
∴ 1 2
1 2
1 1 4( 4, 3) (0, 3) (1,2)5 3 5| | | |
AF AF
AF AF
+ = − − + − = −
∴ 2lk = ∴ l 3 2( 2)y x− = − 2 1y x= −
E l P Q
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y P Q 0 0( , )R x y
PQ l⊥ 2 1
2 1
1
2PQ
y yk x x
−∴ = = −−
2 2
1 1
2 2
2 2
1(1)16 12
1(2)16 12
x y
x y
+ =
+ =
2 2 2 2
2 1 2 1 016 12
x x y y− −+ =
∴ 2 1 2 1
2 1 2 1
16 16 1 2( )12 12 2 3
x x y y
y y x x
+ −= − = − × − =+ −
0
0
2
3
x
y
=
0 0( , )R x y l ∴ 0 02 1y x= −
0 02, 3x y= =
R A
E l
2 2
1 2 1 2 1 22 2 1 , , , , , ,x y A A B B F Fa b
+ = 的顶点为 焦点为
1 1 2 2 1 1 2 21 1 7, 2A B A B B F B FA B S S= =
1,OP = 1AP PB =
【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试
题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(2)是一个开放性问题,考查了
观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】已知 的方程组 椭圆 C 的方程 假设存在直线 l 使命题成立
结论
【规范解答】(Ⅰ)由 知 a2+b2=7, ①
由 ②
又 , ③
由 ①②③解得
故椭圆 C 的方程为
(Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
假设存在直线 l 使 成立,
(ⅰ)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=kx+m,
由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 得
因为
由求根公式得: ④
⑤
将④⑤代入上式并化简得
⇒ ,a b ⇒ ,a b ⇒ ⇒
⇒
1 1 7A B =
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 ,A B A B B F B FS S a c= =
知
2 2 2b a c= −
2 24, 3.a b= =
2 2
1.4 3
x y+ =
1AP PB =
1,OP = 2 2
2
1, 1.
1
m m k
k
= ∴ = +
+
1,OP = 1AP PB =
2
1 2 1 2
2 2 2
( ) ( )
1 0 0 1 0,
0.
(3 4 ) 8 4( 3) 0,
OA OB OP PA OP PB
OP OP PB PA OP PA PB
x x y y
y kx m
k x kmx m
∴ = + +
= + + + = + + − =
∴ + =
= +
+ + + − =
将 代入椭圆方程,得
1 2 2
8 ,3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4( 3) ,3 4
mx x k
−= +
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
( )( )
(1 ) ( ) ,
(1 ) ( ) 0
x x y y x x kx m kx m
k x x km x x m
k x x km x x m
∴ + = + + +
= + + + +
∴ + + + + =
(ⅱ)当 l 与 x 轴垂直时,满足 的直线 l 的方程为 ,
2011
1.(湖北理 14)如图,直角坐标系 所在的平面为 ,直角坐标系 (其中 轴一
与 轴重合)所在的平面为 , 。
(Ⅰ)已知平面 内有一点 ,则点 在平面 内的射影 的
坐标为______________;
(Ⅱ)已知平面 内的曲线 的方程是 ,则曲线 在平面 内
的射影 的方程是______________。【答案】(2,2)
2.(浙江理 17)设 分别为椭圆 的左、右焦点,点 在椭圆上,若
;则点 的坐标是___________.【答案】
3.(江西理 14)若椭圆 的焦点在 轴上,过点(1, )作圆 的切线,
切点分别为 A,B,直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是___________.
【答案】
4.(全国新课标理 14)(14) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点
2 2 2 2 2 2
2 2
2
4(1 )( 3) 8 (3 4 ) 0,
1
5(1 ) 0
k m k m m k
m k
k l
+ − − + + =
= +
− + =
将 代入上式并化简得:
,矛盾,故此时的直线 不存在.
1OP = 1, 1x x= = −或
3 31 A B P (1, ),(1, ),(1,0).2 2
3 3(0, ), (0, ),2 2
9 1.4
1 1
.
1 .
x
AP PB
AP PB
x AP PB
l
AP PB l
= −
∴ = − = −
∴ = ≠
= − ≠
=
当 时, , , 的坐标分别为
当 时,同理可得 ,矛盾.
即此时的直线 也不存在
综上可知,使 成立的直线 不存在
xOy α ' 'xOy 'y
y β ' 45xOx∠ = °
β ' (2 2,2)P 'P α P
β 'C ' 2 '2( 2) 2 2 0x y− + − = 'C α
C 2 2( 1) 1x y− + =
1 2,F F
2
2 13
x y+ =
,A B
1 25F A F B=
A (0, 1)±
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
x
1
2 2 2+ =1x y
AB
2 2
15 4
x y+ =
1 2,F F
在 x 轴上,离心率为 .过点 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且 的周长为 16,
那么 C 的方程为_________.【答案】
5.(江苏 18)如图,在平面直角坐标系 中,M、N 分别是椭圆 的顶点,过
坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,
连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k
(1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;
(2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;
(3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB
解:(1)由题设知, 所以线段 MN 中点的坐标为
,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐
标
原点,所以
(2)直线 PA 的方程
解得
于是 直线 AC 的斜率为
(3)解法一:
2
2 1F 2ABF∆
2 2
116 8
x y+ =
xOy 124
22
=+ yx
),2,0(),0,2(,2,2 −−== NMba 故
)2
2,1( −−
.2
2
1
2
2
=−
−
=k
2 2
2 1,4 2
x yy x= + =代入椭圆方程得
).3
4,3
2(),3
4,3
2(,3
2 −−±= APx 因此
),0,3
2(C
.03
2,1
3
2
3
2
3
40
=−−=
+
+
yxAB的方程为故直线
.3
22
11
|3
2
3
4
3
2|
, 21
=
+
−−
=d因此
将直线 PA 的方程 代入
则
故直线 AB 的斜率为
其方程为
解得 .
于是直线 PB 的斜率
因此
解法二:
设 .
设 直 线 PB , AB 的 斜 率 分 别 为 因 为 C 在 直 线 AB 上 , 所 以
从而
因此
6.(北京理 19)
已知椭圆 .过点(m,0)作圆 的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点.
(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;
kxy =
2 2
2 2
2 21, , ,4 2 1 2 1 2
x y x
k k
µ+ = = ±
+ +
解得 记
)0,(),,(),,( µµµµµ CkAkP 于是−−
,2
0 kk =+
+
µµ
µ
,0)23(2)2(),(2
22222 =+−−+−= kxkxkxky µµµ 代入椭圆方程得
2 2 3
2 2 2
(3 2) (3 2)( , )2 2 2
k k kx x Bk k k
µ µ µµ+ += = −+ + +或 因此
.1
)2(23
)2(
2
)23(
2
22
23
2
2
2
3
1 kkk
kkk
k
k
kk
k
k −=+−+
+−=
+
+
−+= µ
µµ
.,11 PBPAkk ⊥−= 所以
)0,(),,(,,0,0),,(),,( 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP −−≠>>则
21,kk
.22)(
)(0
1
1
11
1
2
k
x
y
xx
yk ==−−
−=
1)(
)(2121
12
12
12
12
211 +−−
−−⋅−
−⋅=+=+
xx
yy
xx
yykkkk
.044)2(122
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2 =−
−=−
+=+−
−=
xxxx
yx
xx
yy
.,11 PBPAkk ⊥−= 所以
2
2: 14
xG y+ = 2 2 1x y+ =
(II)将 表示为 m 的函数,并求 的最大值.
解:(Ⅰ)由已知得
所以
所以椭圆 G 的焦点坐标为
离心率为
(Ⅱ)由题意知, .
当 时,切线 l 的方程 ,点 A、B 的坐标分别为
此时
当 m=-1 时,同理可得
当 时,设切线 l 的方程为
由
设 A、B 两点的坐标分别为 ,则
又由 l 与圆
所以
由于当 时,
AB AB
,1,2 == ba
.322 −−= bac
)0,3(),0,3(−
.2
3==
a
ce
1|| ≥m
1=m 1=x ),2
3,1(),2
3,1( −
3|| =AB
3|| =AB
1|| >m ),( mxky −=
0448)41(
.14
),(
22222
2
2 =−+−+
=+
−=
mkmxkxk
yx
mxky
得
),)(,( 2211 yxyx
2
22
212
2
21 41
44,41
8
k
mkxxk
mkxx +
−=+=+
.1,1
1
||,1 222
2
22 +==
+
=+ kkm
k
kmyx 即得相切
2
12
2
12 )()(|| yyxxAB −+−=
]41
)44(4
)41(
64)[1( 2
22
22
4
2
k
mk
k
mkk +
−−++=
2
.3
||34
2 +=
m
m
3±=m ,3|| =AB
所以 .
因为
且当 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.
7.(辽宁理 20)
如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为
MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四
点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.
(I)设 ,求 与 的比值;
(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由.
解:(I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设
设直线 ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
………………4 分
当 表示 A,B 的纵坐标,可知
………………6 分
(II)t=0 时的 l 不符合题意. 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率
kAN相等,即
解得
因为
),1[]1,(,3
||34|| 2
+∞−−∞∈+= mm
mAB
,2
||
3||
34
3
||34|| 2
≤
+
=+=
mmm
mAB
3±=m
1
2e = BC AD
2 2 2 2 2
1 22 2 4 2: 1, : 1,( 0)x y b y xC C a ba b a a
+ = + = > >
: (| | )l x t t a= <
2 2 2 2( , ), ( , ).a bA t a t B t a tb a
− −
1 3, , ,2 2 A Be b a y y= =时 分别用
2
2
2 | | 3| |:| | .2 | | 4
B
A
y bBC AD y a
= = =
0t ≠
2 2 2 2
,
b aa t a ta b
t t a
− −
= −
2 2
2 2 2
1 .ab et aa b e
−= − = − −−
2
2
1 2| | , 0 1, 1, 1.2
et a e ee
−< < < < < <又 所以 解得
所以当 时,不存在直线 l,使得 BO//AN;
当 时,存在直线 l 使得 BO//AN. ………………12 分
8.(全国大纲理 21) 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 在 y 轴正半轴上的焦点,
过 F 且斜率为 的直线 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;
(Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.
解:(I)F(0,1), 的方程为 ,
代入 并化简得
…………2 分
设
则
由题意得
所以点 P 的坐标为
经验证,点 P 的坐标为 满足方程
故点 P 在椭圆 C 上。 …………6 分
(II)由 和题设知,
PQ 的垂直平分线 的方程为
20 2e< ≤
2 12 e< <
2
2: 12
yC x + =
- 2 l 0.OA OB OP+ + =
l 2 1y x= − +
2
2 12
yx + =
24 2 2 1 0.x x− − =
1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y
1 2
2 6 2 6, ,4 4x x
− += =
1 2 1 2 1 2
2 , 2( ) 2 1,2x x y y x x+ = + = − + + =
3 1 2 3 1 2
2( ) , ( ) 1.2x x x y y y= − + = − = − + = −
2( , 1).2
− −
2( , 1)2
− −
2
2 1,2
yx + =
2( , 1)2P − − 2( ,1)2Q
1l
①
设 AB 的中点为 M,则 ,AB 的垂直平分线为 的方程为
②
由①、②得 的交点为 。 …………9 分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,
由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 …………12 分
9.(山东理 22) 已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、Q 两不同点,
且△OPQ 的面积 = ,其中 O 为坐标原点.
(Ⅰ)证明 和 均为定值;
(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 的最大值;
(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 ?若存在,判断△DEG
的形状;若不存在,请说明理由.
(I)解:(1)当直线 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,
2 .2y x= −
2 1( , )4 2M
2l
2 1 .2 4y x= +
1 2,l l
2 1( , )8 8N −
2 2
2
2 1
2 2
2 2
2 2 1 3 11| | ( ) ( 1 ) ,2 8 8 8
3 2| | 1 ( 2) | | ,2
3 2| | ,4
2 2 1 1 3 3| | ( ) ( ) ,4 8 2 8 8
3 11| | | | | | ,8
NP
AB x x
AM
MN
NA AM MN
= − + + − − =
= + − ⋅ − =
=
= + + − =
= + =
l
2 2
13 2
x y+ = ( )1 1,x y ( )2 2,x y
OPQS∆
6
2
2 2
1 2x x+ 2 2
1 2y y+
| | | |OM PQ⋅
6
2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = =
l
所以
因为 在椭圆上,
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
(2)当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为
由题意知 m ,将其代入 ,得
,
其中
即 …………(*)
又
所以
因为点 O 到直线 的距离为
所以
2 1 2 1, .x x y y= = −
1 1( , )P x y
2 2
1 1 13 2
x y+ =
6 ,2OPQS∆ =
1 1
6| | | | .2x y⋅ =
1 1
6| | ,| | 1.2x y= =
2 2 2 2
1 2 1 23, 2,x x y y+ = + =
l l ,y kx m= +
0≠
2 2
13 2
x y+ =
2 2 2(2 3 ) 6 3( 2) 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 236 12(2 3 )( 2) 0,k m k m∆ = − + − >
2 23 2k m+ >
2
1 2 1 22 2
6 3( 2), ,2 3 2 3
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
2 2
2 2 2
1 2 1 2 2
2 6 3 2| | 1 ( ) 4 1 ,2 3
k mPQ k x x x x k k
+ −= + ⋅ + − = + ⋅ +
l 2
| |
1 ,
md
k
=
+
1 | |2OPQS PQ d∆ = ⋅
2 2
2
2 2
1 2 6 3 2 | |12 2 3 1
k m mk k k
+ −= + ⋅ ⋅+ +
又
整理得 且符合(*)式,
此时
综上所述, 结论成立。
(II)解法一:
(1)当直线 的斜率存在时,
由(I)知
因此
(2)当直线 的斜率存在时,由(I)知
所以
2 2
2
6 | | 3 2
2 3
m k m
k
+ −= +
6 ,2OPQS∆ =
2 23 2 2 ,k m+ =
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
6 3( 2)( ) 2 ( ) 2 3,2 3 2 3
km mx x x x x x k k
−+ = + − = − − × =+ +
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2(3 ) (3 ) 4 ( ) 2.3 3 3y y x x x x+ = − + − = − + =
2 2 2 2
1 2 1 23; 2,x x y y+ = + =
l
1 1
6| | | | ,| | 2 | | 2,2OM x PQ y= = = =
6| | | | 2 6.2OM PQ⋅ = × =
l
1 2 3 ,2 2
x x k
m
+ =
2 2 2
1 2 1 2
2 2
2 2 21 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 2( ) ,2 2 2 2
9 1 6 2 1 1| | ( ) ( ) (3 ),2 2 4 4 2
24(3 2 ) 2(2 1) 1| | (1 ) 2(2 ),(2 3 )
y y x x k k mk m mm m m
x x y y k mOM m m m m
k m mPQ k k m m
+ + − + 1= + = − + = =
+ + −= + = + = = −
+ − += + = = ++
2 2
2 2
1 1 1| | | | (3 ) 2 (2 )2OM PQ m m
⋅ = × − × × +
2 2
2 2 2
1 1(3 )(2 )
1 13 2 25( ) .2 4
m m
m m
= − +
− + +
≤ =
所以 ,当且仅当 时,等号成立.
综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二:
因为
所以
即 当且仅当 时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得
证明:假设存在 ,
由(I)得
因此 D,E,G 只能在 这四点中选取三个不同点,
而这三点的两两连线中必有一条过原点,
与 矛盾,
所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.
10.(四川理 21)
椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两
5| | | | 2OM PQ⋅ ≤
2 2
1 13 2 , 2mm m
− = + = ±即
5.2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 14 | | | | ( ) ( ) ( ) ( )OM PQ x x y y x x y y+ = + + + + − + −
2 2 2 2
1 2 1 22[( ) ( )]
10.
x x y y= + + +
=
2 24 | | | | 102 | | | | 5.2 5
OM PQOM PQ
+⋅ ≤ = =
5| | | | ,2OM PQ⋅ ≤
2 | | | | 5OM PQ= =
5.2
6 .2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = =
1 1 2 2
6( , ), ( , ), ( , ) 2ODE ODG OEGD u v E x y G x y S S S∆ ∆ ∆= = =满足
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
3, 3, 3; 2, 2, 2,
3 ; 1.2
5, , , , , 1 ,2
u x u x x x v y v y y y
u x x v y y
u x x v y y
+ = + = + = + = + = + =
= = = = = =
± ±
解得
因此 只能从 中选取 只能从 中选取
6( , 1)2
± ±
6
2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = =
点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.
(I)当|CD | = 时,求直线 l 的方程;
(II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: 为定值。
解:由已知可得椭圆方程为 ,设 的方程为 为 的斜率。
则
的方程为
11.(天津理 18)在平面直角坐标系 中,点 为动点, 分别为
椭圆 的左右焦点.已知△ 为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率 ;
(Ⅱ)设直线 与椭圆相交于 两点, 是直线 上的点,满足 ,
求点 的轨迹方程.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分 13
分. (I)解:设
由题意,可得
即
整理得 (舍),
或 所以
3 22
OP OQ⋅
2
2 12
y x+ =
l 1 ( 0),y k x k− = − l
1 21 2 22
2 22
22
1 2 1 22 2
421
22(2 ) 2 1 0 1 2 212 2 2
ky kx y yx x kkk x kxy kx x x y yk k
= + + = + = − ++⇒ + + − = ⇒ − − ++ = = = + +
2 4 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2
8 8 8 8 9( ) ( ) 2 2(2 ) (2 ) 2
k k kx x y y k kk k
+ +− + − = + = ⇒ = ⇒ = −+ +
l∴ 2 1y x= − +
xOy ( , )P a b ( 0)a b> > 1 2,F F
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1 2F PF
e
2PF ,A B M 2PF 2AM BM⋅ = −
M
1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c− >
2 1 2| | | |,PF F F=
2 2( ) 2 .a c b c− + =
22( ) 1 0, 1c c c
a a a
+ − = = −得
1 .2
c
a
= 1 .2e =
(II)解:由(I)知
可得椭圆方程为
直线 PF2 方程为
A,B 两点的坐标满足方程组
消去 y 并整理,得
解得
得方程组的解
不妨设
设点 M 的坐标为 ,
由
于是
由
即 ,
化简得
将
所以
因此,点 M 的轨迹方程是
2 , 3 ,a c b c= =
2 2 23 4 12 ,x y c+ =
3( ).y x c= −
2 2 23 4 12 ,
3( ).
x y c
y x c
+ = = −
25 8 0.x cx− =
1 2
80, .5x x c= =
2
1
1
2
8 ,0, 5
3 , 3 3 .5
x cx
y c y c
== = − =
8 3 3( , ), (0, 3 )5 5A c c B c−
8 3 3( , ), ( , ), ( , 3 )5 5x y AM x c y c BM x y c= − − = + 则
33( ), .3y x c c x y= − = −得
8 3 3 8 3 3( , ),15 5 5 5AM y x y x= − −
( , 3 ).BM x x= 2,AM BM⋅ = −
8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x− ⋅ + − ⋅ = −
218 16 3 15 0.x xy− − =
2 218 15 3 10 5, 0.3 1616 3
x xy c x y c xx
− += = − = >代入 得
0.x >
218 16 3 15 0( 0).x xy x− − = >
12.(重庆理 20)如题(20)图,椭圆的中心为原点 ,离心率 ,一条准线的方程
为 .
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点 满足: ,其中 是椭圆上的点,直线 与
的斜率之积为 ,问:是否存在两个定点 ,使得 为定值?若
存在,求 的坐标;若不存在,说明理由.
解:(I)由
解得 ,故椭圆的标准方程为
(II)设 ,则由
得
因为点 M,N 在椭圆 上,所以
,
故
设 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知
因此
O e
2= 2
x = 2 2
P OP OM ON= + 2 ,M N OM ON
1− 2 ,F F1 2 PF PF1 2+
,F F1 2
22 , 2 2,2
c ae a c
= = =
2 2 22, 2, 2a c b a c= = = − =
2 2
1.4 2
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y M x y N x y
2OP OM ON= +
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( , ) 2( , ) ( 2 , 2 ),
2 , 2 .
x y x y x y x x y y
x x x y y y
= + = + +
= + = +即
2 22 4x y+ =
2 2 2 2
1 1 2 22 4, 2 4x y x y+ = + =
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 ( 4 4 ) 2( 4 4 )x y x x x x y y y y+ = + + + + +
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( 2 ) 4( 2 ) 4( 2 )
20 4( 2 ).
x y x y x x y y
x x y y
= + + + + +
= + +
,OM ONk k
1 2
1 2
1 ,2OM ON
y yk k x x
⋅ = = −
1 2 1 22 0,x x y y+ =
所以
所以 P 点是椭圆 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由椭
圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因 ,因此两焦点的坐标为
2012
1.【2012 高考新课标文 4】设 是椭圆 的左、右焦点, 为直
线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为( )
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形,
∴ , ,∴ = ,∴ ,∴ = ,故选 C.
2.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 ,一条准线为 ,则该椭圆的方
程为
(A) (B) (C) (D)
【解析】因为 ,由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县
,所以 。故选答案 C
3.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双
曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线
与椭圆的离心率的比值是
A.3 B.2 C. D.
【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 ,由 M,
O,N 将椭圆长轴四等分,则 ,即 ,又
因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离
心率为 , , .
4.【2012 高考上海文 16】对于常数 、 ,“ ”是
“方程 的曲线是椭圆”的( )
2 22 20.x y+ =
2 2
2 2 1
(2 5) ( 10)
x y+ =
2 2(2 5) ( 10) 10c = − =
1 2( 10,0), ( 10,0).F F−
1 2F F
3
2
ax = 30
2 1F PF 030
0
2 60PF A∠ = 2 1 2| | | | 2PF F F c= = 2| |AF c 32 2c a= e 3
4
2 4 2c c= ⇔ = 4x = − x
2
24 4 8a a cc
= ⇔ = = 2 2 2 8 4 4b a c= − = − =
2a′
2 2 2a a′= × 2a a′=
ce a
′ = ′
ce a
= 2e a
e a
′ = =′
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > P
12 PFF∆ E
( )A 1
2 ( )B 2
3 ( )C
3
4 ( )D
4
5
4 4x = −
2 2
116 12
x y+ =
2 2
112 8
x y+ =
2 2
18 4
x y+ =
2 2
112 4
x y+ =
3 2
m n 0mn >
2 2 1mx ny+ =
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【解析】方程 的曲线表示椭圆,常数常数 的取值为 所以,由
得不到程 的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示
椭圆,能推出 ,因而必要.所以答案选择 B.
5.【2012 高考江西文 8】椭圆 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦
点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与
方程,转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: ,
, . 又 已 知 , , 成 等 比 数 列 , 故
,即 ,则 .故 .即椭圆的离心率为
.
6.【2012 高考四川文 15】椭圆 为定值,且 的的左焦点为 ,直线
与椭圆相交于点 、 , 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又
7.【2012 高考天津 19】(本小题满分 14 分)
已知椭圆 ,点 P 在椭圆上。
(I)求椭圆的离心率。
(II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的
斜率的值。
【 解 析 】 ( Ⅰ ) 点 在 椭 圆 上
122 =+ nymx nm,
0,
0,
,
m
n
m n
>
>
≠
0mn > 122 =+ nymx
0mn >
1AF a c= −
1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F 1F B
2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5
5
ce a
= =
5
5
522 =− ca
3
2,2 ==∴=∴
a
cec
5 2( , )5 2P a a
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1
4
5
5
1
2 5-2
2 2
2 1(5
x y aa
+ = 5)a > F
x m= A B FAB∆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 5 2( , )5 2a a
OQ
(Ⅱ) 设 ;则
直线 的斜率
8.【2012 高考江苏 19】(16 分)如图,在平面直角坐标系 中,椭圆
的左、右焦点分别为 , .已知 和 都在椭圆上,其中 为椭圆
的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设 是椭圆上位于 轴上方的两点,
且直线 与直线 平行, 与 交于点 P.
(i)若 ,求直线 的斜率;
(ii)求证: 是定值.
【答案】解:(1)由题设知, ,由点 在椭圆上,得
,∴ 。
由 点 在 椭 圆 上 , 得
∴椭圆的方程为 。
(2)由(1)得 , ,又∵ ∥ ,
∴设 、 的方程分别为 , 。
2 2
2 2
2
2 2 2 2
1 1
5 3 65 2 1 18 8 4
a a b be ea b a a
⇔ + = ⇔ = ⇔ = − = ⇔ =
( cos , sin )(0 2 )Q a bθ θ θ π≤ < ( ,0)A a
2 2 2 2 2
2
(1 cos ) sin
13cos 16cos 5 0 cos 3
AQ AO a b aθ θ
θ θ θ
= ⇔ − + =
⇔ − + = ⇔ =
OQ sin 5cosOQ
bk a
θ
θ= = ±
xoy
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1( 0)F c− , 2 ( 0)F c, (1 )e, 3
2e
, e
,A B x
1AF 2BF 2AF 1BF
1 2
6
2AF BF− = 1AF
1 2PF PF+
2 2 2= = ca b c e a
+ , (1 )e,
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b
a b a a b
+ = ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇒ 2 2= 1c a −
3
2e
,
2 2
2 2 2
4 2 2
2 2 4 4
3 3
2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4
e c a a a a
a b a a
− + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − + ⇒
2
2 12
x y+ =
1( 1 0)F − , 2 (1 0)F , 1AF 2BF
1AF 2BF = 1 = 1my x my x+ −, ( ) ( )1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >, , , , ,
∴ 。
∴ 。①
同理, 。②
(i)由①②得, 。解 得 =2。
∵注意到 ,∴ 。 ∴直线 的斜率为 。
( ii ) 证 明 : ∵ ∥ , ∴ , 即
。
∴ 。 由 点 在 椭 圆 上 知 , , ∴
。
同理。 。
∴
由①②得, , ,
∴ 。 ∴ 是定值。
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件 ,用待定系数法求解。
( )
2
221 2 21
1 1 1 2
1 1
2 21 2 2 1=0 =2 2= 1
x m my m y my y
mmy x
+ ++ = ⇒ + − − ⇒ + +
( ) ( ) ( ) ( )2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2
m m mm mAF x y my y m m m
+ + ++ ++ + − + + ⋅ =+ +
( )2 2
2 2
2 1 1
= 2
m m m
BF m
+ − +
+
2
1 2 2
2 1
2
m mAF BF m
+− = +
2
2
2 1 6=2 2
m m
m
+
+
2m
0m > = 2m 1AF 1 2= 2m
1AF 2BF 2
1 1
BFPB
PF AF
=
2 1 2 1
1 1 1 1
1 1BF PB PF BF AFPB
PF AF PF AF
+ ++ = + ⇒ =
1
1 1
1 2
= AFPF BFAF BF+ B 1 2 2 2BF BF+ =
( )1
1 2
1 2
= 2 2AFPF BFAF BF
−+
( )2
2 1
1 2
= 2 2BFPF AFAF BF
−+
( ) ( )1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF
− + − = −+ + +
( )2
1 2 2
2 2 1
=
2
m
AF BF
m
+
+
+
2
1 2 2
1=
2
mAF BF
m
+
+
1 2
2 3+ =2 2 = 22 2PF PF − 1 2PF PF+
(1 )e, 3
2e
,
1 2
6
2AF BF− =
9.【2012 高考安徽文 20】(本小题满分 13 分)
如图, 分别是椭圆 : + =1( )的左、右焦点, 是椭圆
的顶点, 是直线 与椭圆 的另一个交点, =60°.
(Ⅰ)求椭圆 的离心率;
(Ⅱ)已知△ 的面积为 40 ,求 a, b 的值.
【解析】(I)
(Ⅱ)设 ;则
在 中,
面积
10.【2012 高考广东文 20】(本小题满分 14 分)
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 椭 圆 : ( ) 的 左 焦 点 为
,且点 在 上.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设直线 同时与椭圆 和抛物线 : 相切,求直线 的方程.
【解析】(1)因为椭圆 的左焦点为 ,所以 ,
点 代入椭圆 ,得 ,即 ,所以 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)直线 的斜率显然存在,设直线 的方程为 ,
,消去 并整理得 ,
1 2
160 2 2
cF AF a c e a
ο∠ = ⇔ = ⇔ = =
2BF m= 1 2BF a m= −
1 2BF F∆ 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F ο= + − × ×
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a⇔ − = + + ⇔ =
1AF B∆ 2 1
1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2
10, 5, 5 3
S F F AB a a a
a c b
ο= × × × ⇔ × × + × =
⇔ = = =
21, FF C 2
2
a
x
2
2
b
y 0>> ba A
C B 2AF C 1F∠ A 2F
C
A BF1 3
xOy 1C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
1( 1,0)F − (0,1)P 1C
1C
l 1C 2C 2 4y x= l
1C 1( 1,0)F − 1c =
(0,1)P
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2
1 1b
= 1b = 2 2 2 2a b c= + =
1C
2
2 12
x y+ =
l l y kx m= +
2
2 12
x y
y kx m
+ =
= +
y 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
因为直线 与椭圆 相切,所以 ,
整理得 ①
,消去 并整理得 。
因为直线 与抛物线 相切,所以 ,
整理得 ②
综合①②,解得 或 。
所以直线 的方程为 或 。
11.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)
已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 , 直线 y=k(x-1)
与椭圆 C 交与不同的两点 M,N
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程
(Ⅱ)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值
【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是
非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
解:(1)由题意得 解得 .所以椭圆 C 的方程为 .
(2)由 得 .
设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 , , 则 , ,
, .
所以|MN|= = = .
由因为点 A(2,0)到直线 的距离 ,
2
2
x
a
2
2
y
b
2
2
10
3
2 2 2
2
2
2
a
c
a
a b c
=
=
= +
2b =
2 2
14 2
x y+ =
2 2
( 1)
14 2
y k x
x y
= − + =
2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k+ − + − =
1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= −
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
+ = +
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
−= +
2 2
2 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x+ + −
2 2
2
2 (1 )(4 6 )
1 2
k k
k
+ +
+
( 1y k x= − )
2
| |
1 2
kd
k
=
+
l 1C 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m∆ = − + − =
2 22 1 0k m− + =
2 4y x
y kx m
=
= +
y 2 2 2(2 4) 0k x km x m+ − + =
l 2C 2 2 2(2 4) 4 0km k m∆ = − − =
1km =
2
2
2
k
m
=
=
2
2
2
k
m
= −
= −
l 2 22y x= + 2 22y x= − −
所 以 △ AMN 的 面 积 为 . 由 , 解 得
.
12.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分)
如图,椭圆 的离心率为 ,直线 和 所围成的矩形
ABCD 的面积为 8.
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;
(Ⅱ) 设直线 与椭圆 M 有两个不同的
交点 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时 m 的值.
【答案】(I) ……① 矩形 ABCD 面积为 8,即 ……②
由①②解得: ,∴椭圆 M 的标准方程是 .
(II) , 设 , 则
,
由 得 .
.
当 过 点时, ,当 过 点时, .
①当 时,有 ,
,
其中 ,由此知当 ,即 时, 取得最大值 .
②由对称性,可知若 ,则当 时, 取得最大值 .
③当 时, , ,
由此知,当 时, 取得最大值 .
综上可知,当 和 0 时, 取得最大值 .
2
2
1 | | 4 6| |2 1 2
k kS MN d k
+= ⋅ = +
2
2
| | 4 6 10
1 2 3
k k
k
+ =+
1k = ±
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
+ = > > 3
2 x a= ± y b= ±
: ( )l y x m m= + ∈R
, ,P Q l ,S T | |
| |
PQ
ST
2 2
2
3 3
2 4
c a be a a
−= = ⇒ = 2 2 8a b⋅ =
2, 1a b= =
2
2 14
x y+ =
2 2
2 24 4, 5 8 4 4 0
,
x y x mx m
y x m
+ = ⇒ + + − = = + 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2
1 2 1 2
8 4 4,5 5
mx x m x x
−+ = − =
2 264 20(4 4) 0m m∆ = − − > 5 5m− < <
2 2
28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5
mPQ m m
− = − − = −
l A 1m = l C 1m = −
5 1m− < < − ( 1, 1), (2,2 ),| | 2(3 )S m T m ST m− − − + = +
2
2 2
| | 4 5 4 4 6 1| | 5 (3 ) 5
PQ m
ST m t t
−= = − + −+
3t m= + 1 3
4t
= 4 5, ( 5, 1)3 3t m= = − ∈ − − | |
| |
PQ
ST
2 55
1 5m< < 5
3m = | |
| |
PQ
ST
2 55
1 1m− ≤ ≤ | | 2 2ST = 2| | 2 5| | 5
PQ mST
= −
0m = | |
| |
PQ
ST
2 55
5
3m = ± | |
| |
PQ
ST
2 55
13.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分)
如图,动圆 ,1
3
2
2 4 3
2
a
a
− = 4a =
2C 1416
22
=+ xy
A B, ( ) ( )A A B Bx y x y, , ,
2AB OA= O A B, , A B, y
AB kxy =
kxy = 14
2
2
=+ yx ( ) 441 22 =+ xk 2
2
41
4
kxA +=
kxy =
2 2
+ 116 4
y x = ( )2 24 16k x+ = 2
2
16
4Bx k
= +
2AB OA= 22 4 AB xx =
22 41
16
4
16
kk +=+
2
2
1 : 14
xC y+ = 2C 1C 1C
2C
1C 2C 2OB OA= AB
解得 ,故直线 的方程为 或 .
解法二: 两点的坐标分别为 ,
由 及(Ⅰ)知, 三点共线且点 不在 轴上,
因此可设直线 的方程为 .
将 代入 中,得 ,所以 ,
又由 ,得 , ,
将 代入 中,得 ,即 ,
解得 ,故直线 的方程为 或
1±=k AB xy = xy −=
A B, ( ) ( )BBAA yxyx ,,,
OAAB 2= O A B, , A B, y
AB kxy =
kxy = 14
2
2
=+ yx ( ) 441 22 =+ xk 2
2
41
4
kxA +=
2AB OA=
2
2
41
16
kxB +=
2
2
2
41
16
k
kyB +=
22 , BB yx 1416
22
=+ xy 141
4
2
2
=+
+
k
k 22 414 kk +=+
1±=k AB xy = xy −=