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  • 2021-05-13 发布

高考数学计算试题分类汇编——立体几何

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状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载。‎ ‎ 状元源欲打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。‎ ‎2010年高考数学试题分类汇编——立体几何 ‎(2010上海文数)20.(本大题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用‎9.6米铁丝,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到‎0.01平方米);‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的,底面半径为‎0.3米的灯笼,请作出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). ‎ 解析:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l,则l=1.2-2r(00,所以“在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“在(-∞,+∞)内恒成立”。‎ 由(*)式得。‎ 又 解 得 即的取值范围 ‎(2010北京理数)(16)(本小题共14分)‎ ‎ 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ 证明:(I) 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG,‎ ‎ 因为平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ (II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直,且CEAC,‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C(0,0,0),A(,,0),B(0,‎ ‎,0).‎ ‎ 所以,,.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则,.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角,‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎(2010四川理数)(18)(本小题满分12分) ‎ 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点M是棱AA'的中点,点O是对角线BD'的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'和BD'的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC'-B'的大小;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积. ‎ 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一:(1)连结AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连结OK 因为M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以AM 所以MO ‎ 由AA’⊥AK,得MO⊥AA’‎ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’,所以AK⊥平面BDD’B’‎ 所以AK⊥BD’‎ 所以MO⊥BD’‎ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 ‎(2)取BB’中点N,连结MN,则MN⊥平面BCC’B’‎ 过点N作NH⊥BC’于H,连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=‎ 在Rt△MNH中,tan∠MHN= ‎ 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2‎ ‎(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h=[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=‎ 解法二:[来源:学科网ZXXK]‎ 以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0 ‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交[来源:学科网ZXXK]‎ 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), =(-1,0,1)‎ ‎ 即 取z=2,则x=2,y=1,从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为=(0,1,0)‎ cos 由图可知,二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知,S△OBC=S△BCD'A'=‎ 设平面OBC的一个法向量为=(x1,y1,z1) ‎ ‎=(-1,-1,1), =(-1,0,0)‎ ‎ 即 取z1=1,得y1=1,从而=(0,1,1)‎ 点M到平面OBC的距离d= ‎ VM-OBC=…………………………………………12分 ‎(2010天津文数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值; ‎ ‎(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;‎ ‎(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值。‎ ‎【解析】‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解:因为四边形ADEF是正方形,所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中,CD=1,ED=,CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明:过点B作BG//CD,交AD于点G,则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF,交BC于M,则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知,可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中,tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎(2010天津理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在长方体中,、分别是棱,‎ 上的点,,‎ (1) 求异面直线与所成角的余弦值;‎ (2) 证明平面 (3) 求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,满分12分。‎ 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 点A为坐标原点,设,依题意得,‎ ‎,,‎ (1) 解:易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2) 证明:已知,,‎ 于是·=0,·=0.因此,,,又 所以平面 ‎(3)解:设平面的法向量,则,即 不妨令X=1,可得。由(2)可知,为平面的一个法向量。‎ 于是,从而 所以二面角的正弦值为 方法二:(1)解:设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=[来源:学科网]‎ 链接B‎1C,BC1,设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C,由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ‎ ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎(2)证明:连接AC,设AC与DE交点N 因为,所以,从而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,从而AF⊥DE.‎ 连接BF,同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为,所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解:连接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知,所以,又所以,在 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎(2010广东理数)18.(本小题满分14分)‎ 如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .‎ ‎ 图5‎ ‎ (1)证明:EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面 与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎(2)设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面,∴平面,‎ 而平面平面= ,‎ ‎∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ 而平面, 平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是.‎ ‎(2010广东文数)18.(本小题满分14分)‎ 如图4,弧AEC是半径为的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎(1)证明:EBFD ‎(2)求点B到平面FED的距离. ‎ ‎(1)证明:点E为弧AC的中点 ‎(2010福建文数)20. (本小题满分12分)‎ 如图,在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D‎1C1上的点(点E与B1不重合),且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。‎ ‎ (I)证明:AD//平面EFGH;‎ ‎ (II)设AB=2AA1=‎2a。在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E,F分别在棱A1B1‎ ‎, B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值。‎ K^S*5U.C#O ‎(2010全国卷1理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎(2010四川文数)(18)(本小题满分12分)‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小; ‎ ‎(2010湖北文数)18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1‎ ‎(Ⅰ)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA;‎ ‎(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎(2010山东理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,‎ 所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,‎ 又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为 ‎,所以平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则[来源:学+科+网]‎ ‎,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎(2010湖南理数)‎ ‎(2010湖北理数)18. (本小题满分12分)‎ 如图, 在四面体ABOC中, , 且 ‎(Ⅰ)设为为的中点, 证明: 在上存在一点,使,并计算的值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎(2010福建理数)‎ 概率为。‎ ‎(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;‎ ‎(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以,‎ 因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面,‎ 而平面,所以平面平面。K^S*5U.C#O%‎ ‎(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为 ‎=,又因为,‎ 所以=,当且仅当时等号成立,‎ 从而,而圆柱的体积,‎ 故=当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最大值是。K^S*5U.C#O%‎ ‎(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),‎ 因为平面,所以是平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量,由,故,‎ 取得平面的一个法向量为,因为,‎ 所以。‎ ‎(2010安徽理数)18、(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在多面体中,四边形是正方形,∥,,,,,为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎(2010江苏卷)16、(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。‎ (1) 求证:PC⊥BC;‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900,得CD⊥BC,‎ 又PDDC=D,PD、DC平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD,故PC⊥BC。[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2,BC=1,得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1,所以。‎ 由PC⊥BC,BC=1,得的面积。‎ 由,,得,‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎