高考数学计算试题分类汇编——立体几何 43页

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已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. ‎ 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM 所以MO ‎ 由AA’⊥AK，得MO⊥AA’‎ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’‎ 所以AK⊥BD’‎ 所以MO⊥BD’‎ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 ‎（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’‎ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=‎ 在Rt△MNH中，tan∠MHN= ‎ 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2‎ ‎(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h＝[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=‎ 解法二：[来源:学科网ZXXK]‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0 ‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交[来源:学科网ZXXK]‎ 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), ＝(－1,0,1)‎ ‎ 即 取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)‎ cos 由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝‎ 设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) ‎ ‎＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)‎ ‎ 即 取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)‎ 点M到平面OBC的距离d＝ ‎ VM－OBC＝…………………………………………12分 ‎（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.‎ ‎（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； ‎ ‎（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。‎ ‎【解析】‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中，tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎（2010天津理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，、分别是棱,‎ 上的点，,‎ （1） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ （2） 证明平面 （3） 求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点A为坐标原点，设,依题意得,‎ ‎,,‎ （1） 解：易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2） 证明：已知,,‎ 于是·=0，·=0.因此，,,又 所以平面 ‎(3)解：设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。‎ 于是，从而 所以二面角的正弦值为 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=[来源:学科网]‎ 链接B‎1C,BC1，设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ‎ ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.‎ 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知，所以，又所以，在 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎（2010广东理数）18.（本小题满分14分）‎ 如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．‎ ‎ 图5‎ ‎ （1）证明：EB⊥FD；‎ ‎（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面 与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎（2）设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面，∴平面，‎ 而平面平面= ，‎ ‎∴.‎ 由（1）知，平面，∴平面，‎ 而平面， 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是．‎ ‎（2010广东文数）18.（本小题满分14分）‎ 如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎（1）证明：EBFD ‎（2）求点B到平面FED的距离. ‎ ‎（1）证明：点E为弧AC的中点 ‎（2010福建文数）20． （本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D‎1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。‎ ‎ （I）证明：AD//平面EFGH；‎ ‎ （II）设AB=2AA1=‎2a。在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1‎ ‎, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。‎ K^S*5U.C#O ‎（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎（2010四川文数）（18）（本小题满分12分）‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小； ‎ ‎（2010湖北文数）18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1‎ ‎（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎（2010山东理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，‎ 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为 ‎，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则[来源:学+科+网]‎ ‎，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎（2010湖南理数）‎ ‎（2010湖北理数）18． (本小题满分12分)‎ 如图， 在四面体ABOC中, , 且 ‎（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎（2010福建理数）‎ 概率为。‎ ‎（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。K^S*5U.C#O%‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。K^S*5U.C#O%‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎（2010安徽理数）18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证：∥平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面；‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎