新课标备战高考数学知识总结专题6数列 5页

‎ 6. 数 列 知识要点 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ‎；‎ ‎；‎ 通项公式 ‎（）‎ 中项 ‎（）‎ ‎（）‎ 前项和 重要性质 ‎1. ⑴等差、等比数列：‎ 等差数列 等比数列 定义 通项公式 ‎=+（n-1）d=+（n-k）d=+‎ ‎-d 求和公式 中项公式 A= 推广：2=‎ ‎。推广：‎ 性质 ‎1‎ 若m+n=p+q则 ‎ 若m+n=p+q，则。‎ ‎2‎ 若成A.P（其中）则也为A.P。‎ 若成等比数列 （其中），则成等比数列。‎ ‎3‎ ‎． 成等差数列。‎ 成等比数列。‎ ‎4‎ ‎ ， ‎ ‎5‎ ‎⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：‎ ‎①‎ ‎②2()‎ ‎③(为常数). ‎ ‎⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：‎ ‎①‎ ‎②(，)①‎ 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.‎ ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.‎ iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.‎ iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.‎ 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.‎ ‎③(为非零常数).‎ ‎④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.‎ ‎⑷数列{}的前项和与通项的关系：‎ ‎[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.‎ ‎②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. ‎ ‎③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）‎ ‎2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；‎ ‎②若等差数列的项数为2，则；‎ ‎③若等差数列的项数为，则，且，‎ ‎ . ‎ ‎3. 常用公式：①1+2+3 …+n = ‎ ‎② ‎ ‎③‎ ‎[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….‎ ‎4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：‎ ‎⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：‎ ‎⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：‎ ‎=.‎ ‎⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.‎ ‎5. 数列常见的几种形式：‎ ‎⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.‎ 具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.‎ ‎⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.‎ ‎①转化等差，等比：.‎ ‎②选代法：‎ ‎.‎ ‎③用特征方程求解：.‎ ‎④由选代法推导结果：.‎ ‎6. 几种常见的数列的思想方法：‎ ‎⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：‎ 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.‎ ‎⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：‎ ‎⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.‎ ‎2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。‎ ‎3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。‎ ‎（三）、数列求和的常用方法 ‎1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。‎ ‎ 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。‎ ‎　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。‎ ‎ 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.‎ ‎5.常用结论 ‎1）: 1+2+3+...+n = ‎ ‎2） 1+3+5+...+(2n-1) =‎ ‎ 3） ‎ ‎ 4） ‎ ‎5） ‎ ‎6） ‎