高考题汇集正弦定理和余弦定理 5页

高考题汇集-- 正弦定理和余弦定理 题组一 正、余弦定理的简单应用 ‎1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ (　　)‎ A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ 解析：如图所示．‎ 在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ‎＝＝4，‎ ‎∴b＝2.‎ 答案：A ‎2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝‎2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．‎ 解析：由正弦定理得＝.‎ 即＝.∴＝2.‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴0＜A＜，0＜‎2A＜，0＜π－‎3A＜，‎ 解得＜A＜.‎ 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．‎ 答案：2　(，)‎ ‎3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.‎ 解：由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccosA.‎ 又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2. ①‎ 又sinAcosC＝3cosAsinC，‎ sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，‎ sin(A＋C)＝4cosAsinC，‎ sinB＝4sinCcosA.‎ 由正弦定理得sinB＝sinC，‎ 故b＝4ccosA. ②‎ 由①、②解得b＝4.‎ 题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 ‎4.在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为 ‎(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 解析：sin2＝＝，‎ ‎∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．‎ 答案：B ‎5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 (　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．‎ 由2sinAcosB＝sinC，‎ 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，‎ 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.‎ 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.‎ 所以△ABC是等腰三角形．‎ 法二：利用正弦定理和余弦定理 ‎2sinAcosB＝sinC可化为 ‎2a‎·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，‎ 即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．‎ 答案：B 题组三 三角形面积公式的应用 ‎6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 (　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，‎ ‎∴C＝或，A＝或，∴S＝或.‎ 答案：D ‎7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝ (　　)‎ A. B. C. D. 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos‎2A＝1，∴cosA＝.‎ 答案：B ‎8．(2009·北京高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.‎ ‎(1)求sinC的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝， cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.‎ 于是sinC＝sin(－A)＝cosA＋sinA＝.‎ ‎(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.‎ 又因为B＝，b＝，‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.‎ 于是△ABC的面积S＝absinC ‎＝×××＝.‎ 题组四 正、余弦定理的综合应用 ‎9.在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 (　　)‎ A．60° B．75°‎ C．90° D．115°‎ 解析：不妨设a为最大边．由题意，‎ ＝＝，‎ 即＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎(3－)sinA＝(3＋)cosA，‎ ‎∴tanA＝2＋，∴A＝75°.‎ 答案：B ‎10．(2010·长沙模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，C＝60°，S△ABC＝8，则边长c＝______.‎ 解析：S△ABC＝absinC＝×4×b×＝8，∴b＝8.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋82－2×4×8×＝48，∴c＝4.‎ 答案：4 ‎11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.‎ 解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，‎ ‎∴tanA＝，∴A＝.‎ ‎∵acosB＋bcosA＝csinC，‎ ‎∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin‎2C，∴sinC＝sin‎2C，‎ ‎∵sinC≠0，∴sinC＝1.‎ ‎∴C＝，∴B＝.‎ 答案： ‎12．(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，π(舍)；‎ ‎∴B＋‎2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)∵||＝2，∴a2＋c2＋‎2ac·cosB＝4，‎ ‎∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos‎2C，