高考数学平面解析几何时圆的方程更多资料关注微博高中学习资料库 8页

第九章 平面解析几何第4课时　圆 的 方 程 ‎1. 方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．‎ 答案：(3，0)　3‎ 解析：(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.‎ ‎2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．‎ 答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25‎ 解析：设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵ A、B是直径的端点，∴ ·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0x2－2x＋y2－4y－20＝0(x－1)2＋(y－2)2＝25.‎ ‎3. (必修2P111练习8改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．‎ 答案：∪(1，＋∞)‎ 解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.‎ ‎4. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．‎ 答案：x2＋(y－2)2＝1‎ 解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.‎ ‎5. (必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：(－1，1)‎ 解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a＜1.‎ ‎1. 圆的标准方程 ‎(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．‎ ‎(2) 特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r．‎ ‎2. 圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为 ＋＝.‎ ‎(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；‎ ‎(2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点；‎ ‎(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．‎ ‎3. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：‎ ‎(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；‎ ‎(2) 根据条件列出关于a，b，r的方程组或关于D，E，F的方程组；‎ ‎(3) 求出a，b，r或D，E，F的值，从而确定圆的方程．‎ ‎4. 点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．‎ ‎(2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．‎ ‎(3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)20，即有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)‎ ‎>0－r.‎ ‎∴ 点P在圆外．‎ 已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．‎ 解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得 故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.‎ ‎∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，‎ ‎∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.‎ 例3　在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.‎ ‎(1) 求实数b的取值范围；‎ ‎(2) 求圆C的方程；‎ ‎(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．‎ 解：(1) 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.‎ ‎(2) 设所求圆的一般方程为x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋ Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋ y2＋2x －(b＋1)y＋b＝0.‎ ‎(3) 圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．‎ 证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．‎ 已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．‎ ‎(1) 求直线l1、l2的方程；‎ ‎(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.‎ ‎① 当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；‎ ‎② 当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．‎ 解：(1) A，B，记f(x)＝，f′(x)＝，则l1的方程为y－＝(x－a)，即y＝x－；‎ 同理得l2的方程为y＝x－.‎ ‎(2) 由题意a≠b且a、b不为零，‎ 联立方程组可求得P，Q，R.‎ ‎∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为 ‎ x＋(y－1)(y－ab)＝0，‎ 当a＝4，b＝－2时，圆C的方程为x2＋y2－x＋7y－8＝0，‎ 显然当a≠b且a、b不为零时，圆C过定点F(0，1)．‎ 题型3　圆与方程(轨迹)‎ 例4　如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．‎ 解：设直线 MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}. ‎ 因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.‎ 设点M的坐标为 (x，y)，则＝，整理得(x－4)2＋y2＝7.‎ 它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.‎ 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．‎ 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以PO－1 ＝ 2(PO－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33, ‎ 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．‎ 题型4　与圆有关的最值问题 例5　P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．‎ 解：由C(1，1)得OC＝，则OPmin＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.‎ 已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．‎ 答案：5＋　5－ 解析：令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.‎ ‎1. 已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，‎ 则圆C的方程为________．‎ 答案：x2＋＝ 解析：由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋＝.‎ ‎2. 过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．‎ 答案：x＋y－2＝0‎ 解析：当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴ 直线OP垂直于x＋y－2＝0.‎ ‎3. 已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．‎ 答案：5‎ 解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d＋d＝3.由平面几何知识知|AC|＝2，|BD|＝2，∴ S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d)＝5，即四边形ABCD面积的最大值为5.‎ ‎4. 若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为________．‎ 答案：1‎ 解析：圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.所以ab＝(4ab)≤＝×＝1.当且仅当a＝，b＝2取得等号．‎ ‎5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连结BC并延长至D，使得CD＝BC，求AC与OD的交点P的轨迹方程．‎ 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1，2y0)，由重心坐标公式得则 eq lc{(avs4alco1(x0＝f(3x＋1,2)，,y0＝f(3y,2)，y0≠0，))代入x2＋y2＝1，整理得＋y2＝(y≠0)，故所求轨迹方程为＋y2＝(y≠0)．‎ ‎6. 已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．‎ ‎(1) 求圆M的方程；‎ ‎(2) 设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．‎ 解：(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2‎ ‎(r>0)，根据题意得 解得a＝b＝1，r＝2.‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.‎ ‎1. 圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．‎ 答案：x－y＋2＝0‎ 解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以＝2，解得k＝.‎ 所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.‎ ‎2. 若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．‎ 解：∵方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，∴a≠0.‎ ‎∴方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0可以写成 x2＋y2－x＋y＝0.‎ ‎∵D2＋E2－4F＝>0恒成立，‎ ‎∴a≠0时，方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆．‎ 设圆的半径为r，则 r2＝＝2，‎ ‎∴当＝即，a＝2时，圆的半径最小，‎ 半径最小的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎3. 如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y)．‎ ‎(1) 若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；‎ ‎(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．‎ 解：(1) ∵P点斜坐标为(2，－2)，‎ ‎∴＝2e1－2e2.‎ ‎∴||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8×cos60°＝4.‎ ‎∴||＝2，即|OP|＝2.‎ ‎(2) 设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2.‎ ‎∴(xe1＋ye2)2＝1.‎ ‎∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.∴x2＋y2＋xy＝1.‎ 故所求方程为x2＋y2＋xy＝1.‎ ‎4. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．‎ 解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.‎ 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.‎ 故2|b|＝r，得r2＝2b2，‎ 又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.‎ 又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，‎ 得d＝＝，即有a－2b＝±1，‎ 综上所述得或 解得或于是r2＝2b2＝2.‎ 所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，或(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎5. 已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.‎ ‎(1) 求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；‎ ‎(2) 在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．‎ 解：(1) 设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，‎ ‎∵ 直线与圆相切，∴ ＝3，得b＝±3，∴ ‎ 所求直线方程为y＝－2x±3.‎ ‎(2) (解法1)假设存在这样的点B(t，0)，‎ 当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；‎ 当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，‎ 依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.‎ 下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．‎ 设P(x，y)，则y2＝9－x2，‎ ‎∴ ＝＝＝‎ ＝， 从而＝为常数．‎ ‎(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，∴ (x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即 ‎2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，‎ ‎∴ 解得或(舍去)，‎ 所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.‎ ‎1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．‎ ‎2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．‎ ‎3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法 ‎(1) 形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；‎ ‎(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；‎ ‎(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．‎