高考复习专题圆锥曲线技巧总结 13页

‎【高考总复习】圆锥曲线概念方法技巧总结 一.圆锥曲线的定义：‎ 定义中要重视“括号”内的限制条件：‎ 椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；‎ 双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 练习：‎ ‎1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；‎ A． B． C． D．‎ ‎2.方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）‎ ‎3.已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）‎ 二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：‎ ‎（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。‎ ‎（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。‎ ‎（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。‎ 练习：‎ ‎1.已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；‎ ‎2.若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）‎ ‎3.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______‎ ‎4.设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）‎ ‎5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__ ‎ 三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：‎ ‎（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。‎ ‎（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；‎ ‎（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。‎ 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。‎ 四.圆锥曲线的几何性质：‎ 椭圆的图像和性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 ‎ ‎ ‎ ‎ 顶点 轴长 ‎ 长轴的长= ， 短轴的长= ‎ 焦点 焦距 对称性 ‎ 准线方程 焦半径 ‎|PF1|左＝ |PF1|右＝‎ ‎|PF1|上＝ |PF1|下＝‎ 离心率：‎ 焦准距：‎ 通径长：‎ 双曲线的图像和性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 ‎ ‎ ‎ ‎ 顶点 轴长 ‎ 实轴的长= ，虚轴的长= ‎ 焦点 焦距 对称性 ‎ 准线方程 焦半径 ‎|PF1|左＝ |PF1|右＝‎ ‎|PF1|上＝ |PF1|下＝‎ 渐近线方程 离心率：‎ 焦准距：‎ 通径长：‎ 抛物线 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线方程 范围 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通径 离心率 焦半径 ‎|PF|＝ ‎ ‎|PF|＝ ‎ 抛物线的焦点弦性质：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 练习：‎ ‎1.若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；‎ ‎2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ ‎ ‎3.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；‎ ‎4.双曲线的离心率为，则= （答：4或）；‎ ‎5.设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是___（答：）；‎ ‎6.设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；‎ 五、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内 六．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ ‎（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如 ‎（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；‎ ‎（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。‎ 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.‎ 练习：‎ ‎1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______‎ ‎2.直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______‎ ‎3.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条 ‎4.过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；‎ ‎5.过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______‎ ‎6.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____‎ ‎7.对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；‎ ‎8.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：1）；‎ ‎9.设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；‎ ‎10.求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；‎ ‎11.直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①；②）；‎ 七、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。‎ 练习：‎ ‎1.已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）；‎ ‎2.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；‎ ‎3.若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：）；‎ ‎4.点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______‎ ‎5.抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______‎ ‎6.椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 ‎ 之值最小，则点M的坐标为_______（答：）；‎ 八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有： 。‎ 练习：‎ ‎1.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；‎ ‎2.设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；‎ ‎3.椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 （答：）；‎ ‎4.双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：）；‎ ‎5.已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）；‎ 九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：‎ ‎（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 十、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则 ‎＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。‎ 练习：‎ ‎1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______‎ ‎2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；‎ 十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。‎ 练习：‎ ‎1.如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；‎ ‎2.已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；‎ 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ 十二．你了解下列结论吗？‎ ‎（1）双曲线的渐近线方程为；‎ ‎（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。‎ ‎（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； ‎ ‎（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；‎ ‎（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②‎ ‎（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 ‎13．动点轨迹方程：‎ ‎（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；‎ ‎（2）求轨迹方程的常用方法：‎ ‎①直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；‎ ‎②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　‎ ‎③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）；(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；‎ ‎④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；‎ ‎⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；‎ ‎②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.‎ ‎③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.‎ ‎④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.‎ 圆锥曲线常见题型及解题思路方法。‎ ‎1. 求圆锥曲线的标准方程 ‎ 先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数。 ‎ ‎2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围 ‎ 求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出的值。在椭圆中，有：；在双曲线中，有：。能求出，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。‎ ‎ 求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中 几个常用的不等关系：①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）；③在双曲线中，有（其中F为焦点，‎ P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。 ‎ 解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。‎ ‎3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系 除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定的大小，通过计算，确定其符号。‎ ‎4. 证明定点，定值，定直线问题 可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。‎ 证明直线过定点，有两种思路：①求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点；② 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有（或 ），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。‎ 证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。‎ ‎5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题 这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题 处理问题的基本方法有两种：‎ ‎（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点 ‎，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求，（或 ），令（如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。‎ ‎（2）点差法：设交点为及AB的中点，将A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得：，即，再由题设条件，求中点坐标，根据问题的条件和要求列式。‎ 值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去，得到关于的方程，求出备用。有时，还要根据，求出。若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去y。‎ 对于直线，无特殊交代时，通常注意分两种情况：①直线的斜率存在，消元后，注意；②直线的斜率不存在，即直线为。‎ 在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。‎ ‎6. 最值问题 这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。‎ 其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：‎ ‎（1）利用基本不等式；‎ ‎（2）考察函数的单调性；‎ ‎（3）利用判别式法。‎ 在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用。‎ ‎7. 求参数的取值范围问题 这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。‎ 具体解法如下：‎ ‎（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。‎ ‎（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：①已知不等式（含基本不等式）；②直线与圆锥曲线相交时，有 ；③点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；④圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。‎ ‎（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 ‎ ‎（4）利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。‎ ‎（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。‎ ‎（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。‎ ‎8. 求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点条件立式坐标代换化简方程查漏除杂。此外还有定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件，先设动点坐标为，再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点法；参数法是求轨迹方程常用的方法，合理引入参数（通常是相关点的坐标）列式，消去参数得到关于的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个，才能消去所有参数。‎ 三. 圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：‎ 解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用或来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：‎ 设斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，联立方程，可求出，以及。‎ ‎（1）弦的中点： ‎ 弦AB的中点坐标可表示为 ‎ ‎（2）弦的垂直平分线过定点或：‎ 弦的垂直平分线方程为：。‎ 弦的垂直平分线过定点，则有：‎ ‎（3）点与以为直径的圆的位置关系，‎ 判断的符号：‎ ‎，，‎ ‎。‎ 其中 ‎（4）垂直问题：‎ 如，则有：‎ ‎（5）A、B两点关于直线对称： ‎ ‎ ，（其中k为直线AB的斜率）‎ 关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用“点差法”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示方法：当圆锥曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线时，k的表示式有以下三种形式：‎ ‎ （椭圆）； （双曲线）；（抛物线）‎ ‎（6）弦长问题：‎ 当直线 时：‎ ‎ 当直线时： ‎ ‎（7）三角形的面积：‎ ‎ M N A B ‎①； （d是点到直线AB的距离）‎ ‎ ②或， ‎ 其中M、N为x轴上两定点，为定长。‎ ‎（8）三点共线问题：‎ 遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。‎ 设，若共线，则 利用直线方程将换成（或将换成），通分后令分子 为0，可使所得方程中仅含有（或仅含有）。‎ ‎（9）为正三角形：‎ 点C在的垂直平分线上，且满足，其中M为的中点。由点C在的垂直平分线上可得：‎ ‎ 又，，‎ 这样就把问题与韦达定理联系起来了。‎ ‎（10）A、B与C、D四点共圆：‎ 当A、C、B、D四点共圆时，其圆心是线段AB的垂直平分线与线段CD的垂直平分线的交点G，且满足|GA|=|GC|。线段AB的垂直平分线方程为，‎ 若CD垂直平分AB， 则圆心G是CD的中点，且有.‎