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  • 2021-05-13 发布

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.‎ 解析:解法1:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:‎ g′(x)=ln(x+1)+1-a,‎ 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1.‎ ‎(1)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,‎ 所以g(x)在[0,+∞)上是增函数.‎ 又g(0)=0,所以对x≥0,有g(x)≥g(0),‎ 即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.‎ ‎(2)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,‎ 所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数.‎ 又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,有 g(x)<g(0),即f(x)<ax.‎ 所以当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.‎ 综上a的取值范围是(-∞,1].‎ 解法2:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,‎ 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.‎ 对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,‎ 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,‎ 当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,‎ 当-1<x<ea-1-1时,g′(x)<0,g(x)为减函数.‎ 要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.‎ 由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].‎ ‎1.‎ 其中;‎ ‎2. ‎ 其中;‎ ‎3.‎ 其中;‎ ‎4. ‎ 其中;‎ 已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求、的值;‎ ‎(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围.‎ ‎(Ⅰ)略解得,.‎ ‎(Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法 由(Ⅰ)知,所以.‎ 考虑函数,则.‎ ‎(i)当时,由知,当时,.因为,‎ 所以当时,,可得;当时,,可得 ‎,从而当且时,,即;‎ ‎(ii)当时,由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾.‎ ‎(iii)当时, ,而,故当时,,可得,与题设矛盾.综上可得,的取值范围为.‎ 当,且时,,即,‎ 也即,记,,且 则,‎ 记,则,‎ 从而在上单调递增,且,因此当时,,当时,;当时,,当时,,所以在 上单调递减,在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎ ‎,‎ 即当时,,即当,且时,.‎ 因为恒成立,所以.综上所述,当,且时,成立,的取值范围为.‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 ‎(Ⅱ)当时,,即.‎ ‎①当时,;②当时,等价于.‎ 记 ,则. ‎ 记 ,则,当时,,所以在上单调递增,且,所以在上单调递增,且,因此当时,,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有,‎ 即当时,,所以当时,所以,因此.‎ 综上所述,当且时,成立.‎ 若不等式对于恒成立,求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数 当时,原不等式等价于.‎ 记,则.‎ 记,则.‎ 因为,‎ ‎,所以在上单调递减,且,‎ 所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,‎ 且,故,因此在上单调递减.‎ 由洛必达法则有 ‎,‎ 即当时,,即有.‎ 故时,不等式对于恒成立.‎ 通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:‎ ① 可以分离变量;‎ ‎②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;‎ ② 现“”型式子.‎ ‎2010海南宁夏文(21)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在时有极值,求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)略 ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 当时,,即.‎ ‎①当时,;‎ ‎②当时,等价于,也即.‎ 记,,则.‎ 记,,则,因此在上单调递增,且,所以,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎,‎ 即当时,‎ 所以,即有.‎ 综上所述,当,时,成立.‎ ‎2010全国大纲理(22)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)略 ‎ ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设,此时.‎ ‎①当时,若,则,不成立;‎ ‎②当时,当时,,即;‎ 若,则;‎ 若,则等价于,即.‎ 记,则.‎ 记,则,.‎ 因此,在上单调递增,且,所以,‎ 即在上单调递增,且,所以.‎ 因此,所以在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎,即当时,‎ ‎,即有,所以.综上所述,的取值范围是.‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ). ‎ 当()时,,即;‎ 当()时,,即.‎ 因此在每一个区间()是增函数,‎ 在每一个区间()是减函数. ‎ ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 若,则;‎ 若,则等价于,即 则.‎ 记,‎ 因此,当时,,在上单调递减,且,故,所以在上单调递减,‎ 而.‎ 另一方面,当时,,因此.‎