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- 2021-05-13 发布
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2014年高考导数压轴题汇编
1.[2014·四川卷] 已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
21.解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.
所以g′(x)=ex-2a.
当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
当a≤时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;
当0,g(1)=e-2a-b>0.
由f(1)=0得a+b=e-1<2,
则g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,
解得e-20,g(1)=1-a>0.
故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.
所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)1+2x,原不等式成立.
②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以当p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
(2)方法一:先用数学归纳法证明an>c.
①当n=1时,由题设知a1>c成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>c成立.
由an+1=an+a易知an>0,n∈N*.
当n=k+1时,=+a=
1+.
由ak>c>0得-1<-<<0.
由(1)中的结论得=>1+p· =.
因此a>c,即ak+1>c,
所以当n=k+1时,不等式an>c也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>c均成立.
再由=1+可得<1,
即an+1an+1>c,n∈N*.
方法二:设f(x)=x+x1-p,x≥c,则xp≥c,
所以f′(x)=+(1-p)x-p=>0.
由此可得,f(x)在[c,+∞)上单调递增,因而,当x>c时,f(x)>f(c)=c.
①当n=1时,由a1>c>0,即a>c可知
a2=a1+a=a1c,从而可得a1>a2>c,
故当n=1时,不等式an>an+1>c成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>ak+1>c成立,则当n=k+1时,f(ak)>f(ak+1)>f(c),
即有ak+1>ak+2>c,
所以当n=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>an+1>c均成立.
3.[2014·福建卷] 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2ln 2时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,
且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,
f(x)无极大值.
(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x.
由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,
所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x20时,x20时,x21,要使不等式x2kx2成立.
而要使ex>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.
令h(x)=x-2ln x-ln k,则h′(x)=1-=.
所以当x>2时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.
取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增.
又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,
易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0.
即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x20时,ex>x2,所以ex=e·e>·,
当x>x0时,ex>>=x2,
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x20时,x2x0时,有x21时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,
∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥不恒成立.
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].
(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明如下:
方法一:上述不等式等价于++…+,x>0.
令x=,n∈N+,则,x>0.
令x=,n∈N+,则ln>.
故有ln 2-ln 1>,
ln 3-ln 2>,
……
ln(n+1)-ln n>,
上述各式相加可得ln(n+1)>++…+,
结论得证.
方法三:如图, dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,
∴++…+> dx=
dx=n-ln(n+1),
结论得证.
5.[2014·湖北卷] π为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)=的单调区间;
(2)求e3,3e,eπ,πe,,3π,π3这6个数中的最大数与最小数;
(3)将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=,所以f′(x)=.
当f′(x)>0,即0e时,函数f(x)单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
(2)因为e<3<π,所以eln 3π3;
由<,得ln 3e2-.①
由①得,eln π>e>2.7×>2.7×(2-0.88)=3.024>3,
即eln π>3,亦即ln πe>ln e3,所以e3<πe.
又由①得,3ln π>6->6-e>π,即3ln π>π,
所以eπ<π3.
综上可得,3e0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当00.
故f(x)在区间(0,x1)上单调递减,
在区间(x1,+∞)上单调递增.
综上所述,
当a≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当0<a<1时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(2)由(*)式知,当a≥1时,f′(x)≥0,
此时f(x)不存在极值点,因而要使得f(x)有两个极值点,必有0-且x≠-2,
所以-2>-,-2≠-2,
解得a≠.此时,由(*)式易知,x1,x2分别是f(x)的极小值点和极大值点.
而f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)-+ln(1+ax2)-=ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]-=ln(2a-1)2-=ln(2a-1)2+-2.
令2a-1=x.由0g(1)=0.故当0.
综上所述,满足条件的a的取值范围为.
7.[2014·全国大纲卷] 函数f(x)=ln(x+1)-(a>1).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:0,所以f(x)在(-1,a2-2a)是增函数;
若x∈(a2-2a,0),则f′(x)<0,所以f(x)在(a2-2a,0)是减函数;
若x∈(0,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)是增函数.
(ii)当a=2时,若f′(x)≥0,f′(x)=0成立当且仅当x=0,所以f(x)在(-1,+∞)是增函数.
(iii)当a>2时,若x∈(-1,0),则f′(x)>0,所以f(x)在(-1,0)是增函数;
若x∈(0,a2-2a),则f′(x)<0,
所以f(x)在(0,a2-2a)是减函数;
若x∈(a2-2a,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(a2-2a,+∞)是增函数.
(2)由(1)知,当a=2时,f(x)在(-1,+∞)是增函数.
当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)>(x>0).
又由(1)知,当a=3时,f(x)在[0,3)是减函数.
当x∈(0,3)时,f(x)ln>=,
ak+1=ln(ak+1)≤ln<=,
即当n=k+1时,有 1.
21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2.
(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ex-1,
从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.
设函数g(x)=xln x,
则g′(x)=1+ln x,
所以当x∈时,g′(x)<0;
当x∈时,g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.
设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).
所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.
因为gmin(x)=g=h(1)=hmax(x),
所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
9.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=ex-e-x-2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.414 2<<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).
21.解:(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]
=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
(i)当b≤2时,g′(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.
(ii)当b>2时,若x满足20,ln 2>>0.692 8;
当b=+1时,ln(b-1+)=ln,
g(ln)=--2+(3+2)ln 2<0,
ln 2<<0.693 4.
所以ln 2的近似值为0.693.
10.[2014·山东卷] 设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
20.解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-k
=-
=.
由k≤0可得ex-kx>0,
所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.
所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;
当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈(0,+∞).
因为g′(x)=ex-k=ex-eln k,
当00,y=g(x)单调递增,
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点.
当k>1时,得x∈(0,ln k)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减;
x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增.
所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k).
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点.
当且仅当
解得e0在R上恒成立,可得f(x)在R上单调递增,不合题意.
(ii)a>0时,由f′(x)=0,得x=-ln a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-ln a)
-ln a
(-ln a,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
-ln a-1
这时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-ln a);单调递减区间是(-ln a,+∞).于是,“函数y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立:①f(-ln a)>0;②存在s1∈(-∞,-ln a),满足f(s1)<0;③存在s2∈
(-ln a,+∞),满足f(s2)<0.
由f(-ln a)>0,即-ln a-1>0,解得00.由已知,x1,x2满足a=g(x1),a=g(x2).由a∈(0,e-1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).
对于任意的a1,a2∈(0,e-1),设a1>a2,g(ξ1)=g(ξ2)=a1,其中0<ξ1<1<ξ2;g(η1)=g(η2)=a2,其中0<η1<1<η2.
因为g(x)在(0,1)上单调递增,所以由a1>a2,即g(ξ1)>g(η1),可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.
又由ξ1,η1>0,得<<,
所以随着a的减小而增大.
(3)证明:由x1=aex1,x2=aex2,可得ln x1=ln a+x1,ln x2=ln a+x2.故x2-x1=ln x2-ln x1=ln.
设=t,则t>1,且解得x1=,x2=,所以x1+x2=.①
令h(x)=,x∈(1,+∞),
则h′(x)=.
令u(x)=-2ln x+x-,得u′(x)=.
当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,由此可得h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因此,由①可得x1+x2随着t的增大而增大.
而由(2),t随着a的减小而增大,所以x1+x2随着a的减小而增大.
12.[2014·浙江卷] 已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(2)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.
22.解:(1)因为f(x)=
所以f′(x)=
由于-1≤x≤1,
(i)当a≤-1时,有x≥a,
故f(x)=x3+3x-3a,
此时f(x)在(-1,1)上是增函数,
因此,M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a,故M(a)-m(a)=(4-3a)-(-4-3a)=8.
(ii)当-10,t(a)在上是增函数,故t(a)>t(0)=-2,
因此-2≤3a+b≤0.
(iii)当0,
故f(x)在R上为增函数.
(3)由(1)知f′(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x≥2=4,当且仅当x=0时等号成立.
下面分三种情况进行讨论:
当c<4时,对任意x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时f(x)无极值.
当c=4时,对任意x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值.
当c>4时,令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有两根t1,2=>0,则f′(x)=0有两个根x1=ln t1,x2=ln t2.
当x1x2时,f′(x)>0.
从而f(x)在x=x2处取得极小值.
综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).