附答案高考冲刺练习不等式 21页

高考数学最后冲刺练习：不等式 例 1、不等式组 2 2 2 2 3 2 3 2 0 x x x x x x          的解集为__________________． (1,3) 2 2 2 3 0 1 3 1 3 ,1 3( 2)( 1) 0 1 02 0 x x x x xx x xx x                            ． 例 2、若不等式组 2 2 2 0 2 (5 2 ) 5 0 x x x k x k         的整数解只有 2 ，则 k 的取值范围是 ． [ 3,2) 由 2 2 0x x   ，得 1x   ，或 2x  ；由 22 (5 2 ) 5 0x k x k    ，得 5 2x   ，或 x k  ，当 5 2k   ，即 5 2k  时， 2 不在不等式的解集内； 当 5 2k  时，则根据题意得 2 3k    ，即 3 2k   ． 例 3、若三条直线 1 2 3: 0, : 2 0, :5 15 0l x y l x y l x ky        围成三角形，则 k 的取 值范围是（ ）． A ． k R B ． 1, 1, 0k R k k k    ,且 C ． 5, 5, 1k R k k k    ,且 D． 5, 5, 10k R k k k   ,且 D 直线 3l 的斜率不能等于 1 2,l l 的斜率，即 5 51, 1k k    ；且直线 3l 不能经过 1 2,l l 的交点 (1,1) ，即 10k   ． 例 4、若实数 0, 0x y  ，且 3 4 12x y  ，则 lg lgx y 的最大值是_______________． lg3 21 1 3 43 4 ( ) 312 12 2 x yxy x y      ， lg lg lg( ) lg3x y xy   ． 例 5、已知实数 ,x y 满足 3 3 0 0 0 x y x y        ,则 2 1 yz x   的取值范围为______________． ( , 2] [1, )   做出可行域,把 2 ( 2) 1 1 y yz x x      看作可行域上的动点 ( , )x y 到 定点 (1, 2) 的斜率，易知两个临界的点为 (3,0),(0,0) ，所以 1, 2z z  或 . 例 6、不等式组      1)1(log ,2|2| 2 2 x x 的解集为 （ ）A． )3,0( B )2,3( C． )4,3( D． )4,2( 把 x=3 代入不等式组验算得 x=3 是不等式组的解，则排除(A)、(B), 再把 x=2 代入不等式组 验算得 x=2 是不等式组的解，则排除(D)，所以选(C). 例 7、若 ,x y 满足           ,0,0 ,2432 ,3692 ,123 yx yx yx yx ，则使得 yxz 23  的值最小的 ),( yx 是 （ ） A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4） 把各选项分别代入条件验算，易知 B 项满足条件，且 yxz 23  的值最小，故选 B。 例 8、若 1 ba ，P= ba lglg  ，Q=  ba lglg2 1  ，R=     2lg ba ，则（ ） （A）R  P  Q （B）P Q  R （C）Q  P  R （D）P  R  Q 取 a＝100，b＝10，此时 P＝ 2 ，Q＝ 2 3 ＝lg 1000 ，R＝lg55＝lg 3025 ，比较可知选 P Q  R，所以选 B 例9、不等式组        x x x x x 2 2 3 3 0 的解集是（ ）（A）（0，2） （B）（0，2.5） （C） （0， 6 ） （D）（0，3） 不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5， 6 和3哪个为方程 x x x x    2 2 3 3 的根， 逐一代入，选C. 例 10、如果不等式 xaxx )1(4 2  的解集为 A，且 }20|{  xxA ，那么实数 a 的取值范围是 。 根据不等式解集的几何意义，作函数 24 xxy  和 函数 xay )1(  的图象（如图），从图上容易得出实数 a 的取 值范围是   ,2a 。 例 11、 0 1,a  下列不等式一定成立的是（ ） （A） (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) 2a aa a     ； (B) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a    ； (C) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a          ； (D) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a          取满足题设的特殊数值．．．．．．．．．． a= 2 1 , 13 2log2 1log)1(log 2 3 2 3)1(  aa ， 0> 12log2 3log)1(log 2 1 2 1)1(  aa ,检验不等式(B),(C),(D)均不成立,选 (A). 例 12、不等式1 1 3x   的解集为（ ）A. 0,2 B.   2,0 2,4  C  4,0 D.   4, 2 0,2   把 x=1 代入不等式组验算得 x=1 是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把 x=-3 代入不 等式组验算得 x=-3 是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D). 例 13、若 ,111 ba  则下列结论中不．正确的是 （ ）m (A). ab ba loglog  ； (B) 2|loglog|  ab ba ； (C). 1)(log 2 ab ； (D). |loglog||log||log| abab baba  ∵ ,111 ba  ∴02 的解集为 (A)（1，2）（3，+∞） (B)（ 10 ，+∞）(C)（1，2） （ 10 ，+∞） (D) （1，2） 解：令 12 xe  2（x2），解得 1x2。令 2 3log ( 1)x  2（x2）解得 x（ 10 ，+∞）选 C 例 18、已知不等式(x+y)(1 x + a y)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：不等式(x+y)( 1 a x y  )≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则1 y axa x y    ≥ 2 1a a  ≥9，∴ a ≥2 或 a ≤－4(舍去)，所以正实数 a 的最小值为 4，选 B． 例 19、已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析：函数 f(x)=ax2+2ax+4(0b 的两边同时乘以 ，立得 成立． 例 23、不等式 3)61(log 2  xx 的解集为 【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法【正确解答】 1( 6) 8 2 2log 3 log x x     ， 0〈 1 6 8x x    ， 1 2 1 6 0 x x x x        .解得  ( 3 2 2, 3 2 2) 1x      例 24、不等式 01 21   x x 的解集是 . 解：应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是 ，所以 ，从而应填 ． 例 25、若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是 (A)a＜－1 (B) a ≤1 (C) a ＜1 （D）a≥1 解析：若对任意 x R,不等式 x ≥ax 恒成立，当 x≥0 时，x≥ax，a≤1，当 x<0 时，－x≥ ax，∴a≥－1，综上得 1 1a   ，即实数 a 的取值范围是 a ≤1，选 B。 例 26、已知  f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k ，若   2f k k 成 立，则    21 1f k k   成立，下列命题成立的是 A、若  3 9f  成立，则对于任意 1k  ，均有   2f k k 成立； B、若  4 16f  成立，则对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立； C、若  7 49f  成立，则对于任意的 7k  ，均有   2f k k 成立； D、若  4 25f  成立，则对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立。 【答案】D 【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有   2f k k 成立；对 B，应有   2f k k 成立； 对 C，只能得出：对于任意的 7k  ，均有   2f k k 成立，不能得出：任意的 7k  ，均 有   2f k k 成立；对 D，  4 25 16,f    对于任意的 4k  ，均有   2f k k 成立。 故选 D。 例 27、若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 ||2|| 2 ba ab  的最大值为（ ） A. 15 52 B. 4 2 C. 5 5 D. 2 2 【答案】：B【分析】：a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab      1| | .4ab  2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab     22 2 2 | | 4( ) | | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | | ab ab ab ab a b abab ab       2 2 4 4 4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab      1 1| | 4,4 | |ab ab    2 4 2max .| | 2| | 32 4 ab a b   例 28 、 函 数 1 ( 0 1)xy a a a  ， 的 图 象 恒 过 定 点 A ， 若 点 A 在 直 线 1 0( 0)mx ny mn    上，则 1 1 m n  的最小值为 ． 【答案】:4【分析】：函数 1 ( 0 1)xy a a a  , 的图象恒过定点 (1,1)A ，1 1 1 0m n     ， 1m n  ， , 0m n  ， （方法一）： 12 2m n mn mn     ， 1 1 1 12 2 2 4m n m n       . （方法二）： 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 4.n m n mm nm n m n m n m n             例 29、当 (1 2)x ， 时，不等式 2 4 0x mx   恒成立，则 m 的取值范围是 ． 【答案】 5m   【分析】：构造函数： 2( ) 4,f x x mx   [1 2]x ， 。由于当 (1 2)x ， 时， 不等式 2 4 0x mx   恒成立。则 (1) 0, (2) 0f f  ，即 1 4 0, 4 2 4 0m m       。解得： 5m   。 例 30 、 函 数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a     的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 1 0mx ny   上,其中 0mn  ,则 1 2 m n  的最小值为_______. 【答案】: 8。【分析】：函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a     的图象恒过定点 ( 2, 1)A   ， ( 2) ( 1) 1 0m n       ， 2 1m n  ， , 0m n  ， 1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n             例 31、若函数 f(x) = 2 22 1x ax a   的定义域为 R，则 a 的取值范围为_______. 【答案】： 1 0 ， 【分析】： 2 2 02 1 2x ax a    恒成立， 2 2 0x ax a    恒成立， 2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a           例 32、设 x，y 满足约束条件       0,0 02 063 yx yx yx ， 若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是 最大值为 12，则 2 3 a b  的最小值为( ). A. 6 25 B. 3 8 C. 3 11 D. 4 x2 2 y O-2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a>0，b>0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 2 3 a b  = 2 3 2 3 13 13 25( ) ( ) 26 6 6 6 a b b a a b a b        ,故选 A. 答案:A 例 33、若不等式组 0 3 4 3 4 x x y x y        所表示的平面区域被直线 4 3y kx  分为面积相等的两部 分，则 k 的值是 （A） 7 3 （B） 3 7 （C） 4 3 （D） 3 4 [解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由 3 4 3 4 x y x y      得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， 4 3 ） B A x D y C O y=kx+ 4 3 ∴ S △ABC= 1 4 4(4 ) 12 3 3    ，设 y kx 与3 4x y  的 交点为 D，则由 1 2 2 3BCDS S ABC    知 1 2Dx  ，∴ 5 2Dy  ∴ 5 1 4 7,2 2 3 3k k    选 A。 例 34、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨 乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超 过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【答案】D 【解析】设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系： A 原 料 B 原 料 甲产品 x 吨 3 x 2 x 乙 产 品 y 吨 y 3 y 则有：           1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数 yxz 35  作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当 x ＝3， y ＝5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D 例 35、已知 D 是由不等式组 2 0 3 0 x y x y      ，所确定的平面区域，则圆 2 2 4x y  在区域 D 内[来源:学科网 ZXXK] 的弧长为 [ ]A 4  B 2  C 3 4  D 3 2  （3，4）（0，6） O （ 3 13 ，0） y x9 13 【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中 两 直 线 的 斜 率 分 别 是 1 ,2 1 3  ， 所 以 圆 心 角  即 为 两 直 线 的 所 成 夹 角 ， 所 以 1 1| ( ) |2 3tan 11 11 |2 3        （ ） ，所以 4   ，而圆的半径是 2，所以弧长是 2  ，故选 B 现。 例 36、设 0, 0.a b  若 1 13 3 3a b a b 是 与 的等比中项，则 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。 【解析】因为 333  ba ，所以 1 ba ， 4222)11)((11  b a a b b a a b bababa ，当且仅当 b a a b  即 2 1 ba 时 “=”成立，故选择 C 例 37、 ab  10 ,若关于 x 的不等式 2( )x b ＞ 2( )ax 的解集中的整数恰有 3 个，则 （A） 01  a （B） 10  a （C） 31  a （D） 63  a 【考点定位】本小题考查解一元二次不等式， 解析：由题得不等式 2( )x b ＞ 2( )ax 即 02)1( 222  bbxxa ，它的解应在两根 之间，故有 04)1(44 22222  baabb ，不等式的解集为 11   a bxa b 或 110   a bxa b 。若不等式的解集为 11   a bxa b ，又由 ab  10 得 110  a b ，故 213   a b ，即 312  a b 例 38、在平面直角坐标系中，若不等式组 1 0 1 0 1 0 x y x ax y           （ 为常数）所表示的平面区域 内的面积等于 2，则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解 析 解 析 如 图 可 得 黄 色 即 为 满 足 010101  yaxyxx 的可行域，而与 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点 （0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面 积是 2 3 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 例 39、不等式 23 1 3x x a a     对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A． ( , 1] [4, )   B． ( , 2] [5, )   C．[1,2] D． ( ,1] [2, )  【答案】A 【解析】因为 24 3 1 4 3 1 3x x x x a a          对 对任意 x 恒成立，所以 2 23 4 3 0 4 1a a a a a a      即 ，解得 或 例 40、不等式 0212  xx 的解集为 . 【解析】:原不等式等价于不等式组① 2 2 1 ( 2) 0 x x x       或② 1 22 2 1 ( 2) 0 x x x         或③ 1 2 (2 1) ( 2) 0 x x x        不等式组①无解,由②得 1 12 x  ,由③得 11 2x   ,综上得 1 1x   ,所以原不等式的解集为{ | 1 1}x x   . 答案: { | 1 1}x x   例 1、已知集合 }1|{},102|{},73|{ axxCxxBxxA  ，全集为实数集 R．（1）求 BA  ； （2）如果 aBA 求, 的取值范围． 解：（1） }102|{},73|{  xxBxxA ， }102|{  xxBA  ． （2）如图 当 a>3 时，A C 例 2、电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为 20 分钟，广 告时间为 1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每片播放时间为 10 分钟，广告时间为 1 分钟， 收视观众为 20 万，广告公司规定每周至少有 6 分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供 不多于 86 分钟的节目时间（含广告时间），（1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才 能使收视观众最多，（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分为给广告公司 带来的 a 和 b（万元）的效益，若广告公司本周共获得 1 万元的效益，记 baS 11  为效益 调和指数，求效益调和指数的最小值．（取 41.12  ） 解：（1）设片集甲、乙分别播放 x、y 集设片集甲、乙分别播放 x、y 集 则有       Zyx yx yx , 861121 6 ，要使收视观众最多，则只要 Z=60x+20y 最大即可. 如图作出可行域，[来源:学科网] 易知满足题意的最优解为 （2，4）， ,200420260max Z 故电视台每周片集甲播出 2 集，片集乙播出 4 集，其收视人观众最多，……………7 分 （2）由题意得：2a+4b=1[来源:学科网 ZXXK] 246426)42)(11(11  a b b abababas =11.64． 所以效益调和指数的最小值为 11.64． 点评：以线性规划形式出现的不等式，重在考查数形结合的解题能力．这种题目解题时 要注意根据已知不等式组作出图形分析求解． 例 3、设 2 2 1: 20 0, : 0| | 2 xp x x q x     ，则 p 是q 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 解： 由题设可得： 2 2 : 20 0, : 5, 4. 1: 0, 1, 2, 2.| | 2 p x x p x x xq x x xx               即 即 1 或 故选 A． 点评：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力． 例 4、已知函数 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x    .（1）求 f (x)的单调区间；（2）若当 1[ 1, 1]x ee    时，不等式 f (x)0；由 / ( ) 0f x  ，得 1 0x   . ∴ f (x)的递增区间是(0, ) ，递减区间是（-1, 0）. （2）∵ 由 / 2 ( 2)( ) 01 x xf x x   ，得 x=0,x=-2（舍去） 由（Ⅰ）知 f (x)在 1[ 1, 0]e  上递减，在[0, 1]e  上递增. 又 2 1 1( 1) 2f e e    ， 2( 1) 2f e e   , 且 2 2 12 2e e    . ∴ 当 1[ 1, 1]x ee    时，f (x)的最大值为 2 2e  . 故当 2 2m e  时，不等式 f (x)1 或 x<-1（舍去）. 由 / ( ) 0g x  , 得 1 1x   . ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. 为使方程 2( )f x x x a   在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根， C(0,2 )2 M( )2,2 B(2 )0,2 O(x,y) A(0,0) y x 只须 g(x)=0 在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有 (0) 0, (1) 0, (2) 0. g g g      ∵ 2 2ln 2 3 2ln3   , ∴ 实数 a 的取值范围是 2 2ln 2 3 2ln3a    . 点评：与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识，通过推 理来解决问题． 例 5、在△ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM＝2，则 OA(OB+ OC) 的最小值 是 . 解法一：如图, OMOAOMOAOMOAOCOBOA  222)( = .2)2(2 2    OAOA 即 )( OCOBOA  的最小值为:－2. 解法二：选取如图等腰直角三角形 ABC，由斜边上的中线AM=2， 则 A(0,0) ,B(2 2 ,0), C(0,2 )2 , M( )2,2 , 设 O(x,y), (且 x=y, x ]2,0[ )，则 )( OCOBOA  =( )]22,(),22)[(, yxyxyx  = )222,222)(,( yxyx  = ）yxyyxx 得由  (222222 22 xx 244 2  . 设 f(x)=4x2-4 x2 , ]2,0[x ,结合二次函数图像知:当 x= 2 2 时, f(x)min=4 .2422 2242 1  例 6、已知函数 xaxxf ln)( 2  在 ]2,1( 是增函数, xaxxg )( 在(0,1)为减函 数．（I）求 )(xf 、 )(xg 的表达式；（II）求证:当 0x 时,方程 2)()(  xgxf 有唯一 解；(III）当 1b 时,若 2 12)( x bxxf  在 x∈ ]1,0( 内恒成立,求 b的取值范围． 解：（I） 22( ) 2 a x af x x x x     ，依题意 ( ) 0f x  在 ]2,1(x 上恒成立 即 22xa  在 ]2,1(x 上恒成立，∵ 22 2x  （ ]2,1(x ，∴ 2a ① 又 2( ) 1 2 2 a x ag x x x     依题意 ( ) 0g x  在 )1,0(x 时恒成立, 即 xa 2 , )1,0(x 恒成立 ∵ 2 2x  （ )1,0(x ），∴ 2a  ②，由①、②得 2a ∴ 2( ) 2ln , ( ) 2f x x x g x x x    （II）由(1)可知,方程 2)()(  xgxf , 2 2ln 2 2 0x x x x    即 设 22ln2)( 2  xxxxxh , 2 1( ) 2 1h x x x x     则 令 0)(  xh ,并由 ,0x 得 ( 1)(2 2 2) 0x x x x x     解得 1x  令 ,0)(  xh 由 0, 0 1x x  解得 列表分析: x  0,1 1  1, )(xh - 0 + )(xh 递减 0 递增 知 )(xh 在 1x 处有一个最小值 0，当 10  xx 且 时, )(xh ＞0 ∴ 0)( xh 在(0,+)上只有一个解 即当 x＞0 时,方程 2)()(  xgxf 有唯一解． [来源:Zxxk.Com] （III）设 2 2 1( ) 2ln 2x x x bx x      则 3 2 2( ) 2 2 0x x bx x       ∴ ( )x 在 (0,1]上为减函数，∴ min( ) (1) 1 2 1 0x b      又 1b   所以 11  b 为所求范围． 例 7、数列 na 的首项 1a =1，前 n 项和为 nS 满足 n 2S k n+1（a -1）（常数 0k  ， *Nn ）．（1）求证：数列 na 是等比数列.（2）设数列 na 的公比为 ( )f k ，作数列 nb ， 使 1 3b  ， 1 1( )n n b f b   （ n  2，3，4，…），求数列 nb 的通项公式；（3）设 2n nc b  ， 若存在 *Nm ，且 m n ； 使 limn （ 1 1 2m m m mc c c c    … 1n nc c  ） 1< 2007 ，试求 m 的最小值．[来源:学科网] 解：（1） n 2S k n+1（a -1）①，当 2n  时， n-1 2S k n（a -1） ② ①—②得， 12 ( )n n na k a a  即 12 1n nka k a  （2 ） 由①， 1 11 2a k   ，∴ 1 2 1 112 2 na k a k k     ,又 2 1 11 2 a a k   符合上式， ∴ na 是以 1 为首项， 11 2k  为公比的等比数列． （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ( )f k  11 2k  ， ∴ 1 1 1( ) 11 2n n n b f bb    （ 2n  ）， ∴ 1 12 ( 2)2n nb b    .又 1 3b  ，即 1 2 1b   ， 1 1 2 2 n n b b   ，∴数列 2nb  是为 1 首项， 1 2 为公比的等比数列．∴ 112 ( )2 n nb   ，∴ 112 ( )2 n nb   ． （3）由（2）知 112 ( )2 n n nc b    ，则 2 1 1 1( )2 n n nc c    . ∴ 1 1 2lim( m m m mn c c c c     … 1n nc c  ）= 1 1 11 1 1lim ...2 2 2 m m n           2 2 2n（ ） （ ） （ ） = 1 1 1 1 1 4 1 12 2lim 1 3 2 20071 4 m m x        2 2n+ 2 （ ） （ ） （ ） ∴ 31 1 2 669 m 2（ ） ，∴ 9 669m 22 . ∵512 669 1024  ，∴ 2 3 10m   ， 6.5m  . 又∵ *Nm ，∴ m 的最小值为 7． 例 8、在 Rt ABC 中， 04 3 90AC BC C   ， ， ， D E， 分别为 AC AB， 边上的 点，且 //DE BC 。沿 DE 将 ADE 折起（记为 1A DE ），使二面角 1A DE B  为直二面 角．⑴当 E 点在何处时， 1A B 的长度最小，并求出最小值；⑵当 1A B 的长度最小时，求直 线 BE 与平面 1A BC 所成的角 的大小；⑶当 1A B 的长度最小时，求三棱锥 1A BCA 的内 切球的半径 r ． 解法一：⑴连接 BD ，设  0 4CD x x   ，则 1 4A D AD x   。因为 //DE BC ， 所 以 AD DE ， 故 1AD DE ， 从 而 1AD BCDE 平面 ， 故 1AD BD 。 又 因 为 2 2 9BD x  ，所以    2 22 1 9 4 2 2 17 17A B x x x        ，当且仅当 2x  取 等号。此时 D 为 AC 边的中点， E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 边的中点时， 1A B 的长 度最小，其值为 17 ； ⑵ 连 接 1A A ， 因 为 此 时 D E， 分 别 为 AC AB， 的 中 点 ， 故 1 1 1 1,2 2A E AB A D AC  ， 所 以 1 1AA B AAC ， 均 为 直 角 三 角 形 ， 从 而 1 1AA A BC 平面 ， 所 以 1A BA 即 为 直 线 BE 与 平 面 1A BC 所 成 的 角 。 因 为 1 1 17cos 5 A BA BA AB   ，所以 1 17arccos 5A BA  即为所求； ⑶因 1AD BCDE 平面 ，又CD BC ，所以 1BC AC ．又 1 1 2 2AC A A  ，故 三 棱 锥 1A BCA 的 表 面 积 为 1 1 1 13 2 2 4 2 17 2 2 3 4 10 3 2 342 2 2 2S                。因为三棱锥 1A BCA 的体积 1 1 3 4 2 43 2V       ，所以 3 12 10 3 2 34 Vr S     。 法二：⑴因 1AED BCDE平面 平面 ，故 1 1 9cos cos cos 25A EB A ED BED    ． 设 BE x ，则 5AE x  ． 所以     2 22 1 9 32 55 2 5 17 1725 25 2A B x x x x x               ，当且仅当 5 2x  取等号。此时 E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 的中点 时， 1A B 的长度最小，其值为 17 ； ⑵ 因 1AD BCDE 平面 ， 又 CD BC ， 所 以 1BC AC 。 记 E 点 到 平 面 1A BC 的 距 离 为 d ， 因 1 1 2 2AC A A  ， 故 1 1 1 13 2 2 3 2 23 2 3 2d         ，解得 2d  。因 2 2sin 5 d BE    ，故 2 2sin 5arc  ； ⑶同“法一”． 法 三： ⑴ 如 图， 以 C 为 原点 建 立空 间 直角 坐 标系 ， 设  0 4CD x x   ， 则    1 0, ,4 3,0,0A x x B ， ，所以    2 22 1 9 4 2 2 17 17A B x x x        ，当 且仅当 2x  取等号。此时 D 为 AC 边的中点，E 为 AB 边的中点。故当 E 为 AB 边的中点 时， 1A B 的长度最小，其值为 17 ； ⑵ 设  1 , ,n x y z 为 面 1A BC 的 法 向 量 ， 因    1 0,2,2 , 3,0,0A B ， 故 3 0 0 2 2 0 x x y z y z         ．取 1z  ，得  1 0, 1,1n   。又因 1 3 ,2,02 2BE BA         ，故 5| | | | 2, 22BE n BE n       ， 。 因 此 2 2cos , 5| | | | BE nBE n BE n          ， 从 而 2 2sin cos , 5BE n     ，所以 2 2sin 5arc  ； ⑶由题意可设  1 , ,O r y r 为三棱锥 1A BCA 的内切球球心，则 1 1 1 | | | | | | 2 CO n r yr n       ， 可 得  2 1y r  。 与 ⑵ 同 法 可 得 平 面 1A AB 的 一 个 法 向 量  2 4,3,3n  ， 又   1 3, 2 1 ,BO r r r   ， 故  1 2 2 3 2 10 12 | | | | | | 34 rBO nr n       ， 解 得 12 10 3 2 34 r    ．显然 1r  ，故 12 10 3 2 34 r    例 9、为宣传 2008 年北京奥运会，某校准备成立由 4 名同学组成的奥运宣传队，经过 初选确定 5 男 4 女共 9 名同学成为候选人，每位候选人当选奥运会宣传队队员的机会是相同 的.（1）记ξ为女同学当选人数，求ξ的分布列并求 Eξ；（2）设至少有 n 名男同学当选的 概率为 2 1, nn PP 求 时 n 的最大值. 解：（1）ξ的取值为 0、1、2、3、4. ;126 1)4( ;63 10 126 20)3(;21 10 126 60)2( ;63 20 126 40)1(;126 5)0( 4 9 4 4 4 9 3 4 1 5 4 9 2 4 2 5 4 9 1 4 3 5 4 9 4 5    C CP C CCP C CCP C CCP C CP    ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 126 5 63 20 21 10 63 10 126 1 ∴Eξ= 63 20 + 21 10 ×2+ 63 10 ×3+ 126 1 ×4= .9 16 （2） ;2 1 126 5)0(4  PP ;2 1 14 5 63 20 126 5)1()0(3   PPP .2 1 6 5 21 10 14 5)2()1()0(2   PPPP nPn ,2 1要使 的最大值为 2． 例 10、设函数 f(x)=ax 满足条件 当 x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当 x∈(0，1 ] 时， 不等式 f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数 m 的取值范围 解 由已知得 0＜a＜1，由 f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1 ] 恒成立      21 113 2 2 mxmx xmxmx 在 x∈(0，1]恒成立 整理，当 x∈(0，1)时，      1)1( 12 2 2 xxm xx 恒成立， 即当 x∈(0，1 ]时，          1 1 2 1 2 2 x xm x xm 恒成立， 且 x=1 时，      1)1( 12 2 2 xxm xmx 恒成立， ∵ 2 1 2 1 2 1 2  xx x 在 x∈(0，1]上为减函数，∴ x x 2 1 2 ＜－1， ∴m＜ x x 2 1 2 恒成立  m＜0 又∵ 21 12)1(1 12   xxx x ，在 x∈(0，1 ]上是减函数，∴ 1 12   x x ＜－1 ∴m＞ 1 12   x x 恒成立  m＞－1 当 x∈(0，1)时，          1 1 2 1 2 2 x xm x xm 恒成立  m∈(－1，0) ① 当 x=1 时，      1)1( 12 2 2 xxm xmx ，即是      10 0m ∴m＜0 ② ∴①、②两式求交集 m∈(－1，0）,使 x∈(0，1]时， f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0) 例 11、奇函数 )0[)( ，，且在的定义域为Rxf 上是增函数，当 20   时，是否 存在实数 m，使 )0()cos24()32(cos fmmff   对所有的 ]20[  ， 均成 立？若存在，求出适合条件的所有实数 m；若不存在，说明理由。 解：易知 0)0()( fRxf 上递增，且在 ， 0)2cos24()32(cos   mmff 022coscos 4cos232cos )4cos2()32(cos )cos24()32(cos 2     mm mm mmff mmff     。故 或或 恒成立，从而 上，不等式，。由题设，在，则令 224 0221 12 022 020)22(4 022 ]10[10cos 2 2              m mm m m m mm mmtt tt 因此，满足条件的实数 m 存在，它可取 )224(  ， 内的一切值。 例 12、已知函数 1 3)(   x xxf ,数列 na 满足: 11 a , ),3,2,1(),(1  nafa nn (1)设 3 nn ab 证明: nn bb 1 （2）证明： nbbb  21  13  证明：（1）因为 1 3)(   x xxf ,数列 na 满足: 11 a , ),3,2,1(),(1  nafa nn 所以 1 )3)(13(31 3311     n n n n nn a a a aab = 31 13   n n aa 33)13(  nn aa nb （ )0na 所以 ： nn bb 1 （2）由（1）得  3nn ab n nn bb )13()13()13( 21    所以 n nbbb )13()13()13( 2 21   32 13 )13(1 ])13(1)[13(     n 13  即 nbbb  21  13 