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  • 2021-05-13 发布

1991全国高考理科数学试题

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‎1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学 ‎(理工农医类)‎ 考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分 一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.‎ ‎(1) 已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tgα的值等于 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )‎ ‎(A) y2=8(x+1)‎ ‎(B) y2=-8(x+1)‎ ‎(C) y2=8(x-1) ‎ ‎(D) y2=-8(x-1)‎ ‎(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) π ‎(C) 2π ‎(D) 4π ‎(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 ( )‎ ‎(A) 12对 ‎(B) 24对 ‎(C) 36对 ‎(D) 48对 ‎(5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( )‎ ‎(A) x=-‎ ‎(B) x=-‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(6) 如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 ( )‎ ‎(A) 垂心 ‎(B) 重心 ‎(C) 外心 ‎(D) 内心 ‎(7) 已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 ( )‎ ‎(A) 5‎ ‎(B) 10‎ ‎(C) 15‎ ‎(D) 20‎ ‎(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=,那么它的焦点的极坐标为 ( )‎ ‎(A) (0,0),(6,π)‎ ‎(B) (-3,0),(3,0)‎ ‎(C) (0,0),(3,0)‎ ‎(D) (0,0),(6,0)‎ ‎(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 ( )‎ ‎(A) 140种 ‎(B) 84种 ‎(C) 70种 ‎(D) 35种 ‎(10) 如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )‎ ‎(A) 第一象限 ‎(B) 第二象限 ‎(C) 第三象限 ‎(D) 第四象限 ‎(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )‎ ‎(A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 ‎(B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 ‎(C) 丙是甲的充要条件 ‎(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 ‎(12) …(1-)]的值等于 ( )‎ ‎(A) 0‎ ‎(B) 1‎ ‎(C) 2‎ ‎(D) 3‎ ‎(13) 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x)在区间[-7,-3]上是 ( )‎ ‎(A) 增函数且最小值为-5‎ ‎(B) 增函数且最大值为-5‎ ‎(C) 减函数且最小值为-5‎ ‎(D) 减函数且最大值为-5‎ ‎(14) 圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( )‎ ‎(A) 1个 ‎(B) 2个 ‎(C) 3个 ‎(D) 4个 ‎(15) 设全集为R,f (x)=sinx,g (x)=cosx,M={x|f (x)≠0},N={x|g (x)≠0},那么集合 ‎{x|f (x)g (x)=0}等于 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.‎ ‎(16) arctg+arctg的值是____________‎ ‎(17) 不等式<1的解集是___________‎ ‎(18) 已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,‎ 那么这个正三棱台的体积等于 ‎ ‎(19) (ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1,那么a= ‎ ‎(20) 在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a.那么这个球面的面积是 ‎ 三、解答题:本大题共6小题;共60分.‎ ‎(21) (本小题满分8分)‎ 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.‎ ‎(22) (本小题满分8分)‎ 已知复数z=1+i, 求复数的模和辐角的主值.‎ ‎(23) (本小题满分10分)‎ 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2.求点B到平面EFG的距离.‎ ‎(24) (本小题满分10分)‎ 根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ‎ ‎(25) (本小题满分12分)‎ 已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式 logax-logx+12logx+…+n (n-2)logx>log(x2-a)‎ ‎(26) (本小题满分12分)‎ 双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.‎ ‎1991年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 说明:‎ 一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.‎ 二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.‎ 三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.‎ 四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 五、只给整数分数.‎ 一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.‎ ‎(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D ‎ ‎(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.‎ ‎(16) (17) {x|-20; ——6分 当x1x2≥0时,有>0;‎ ‎∴ f (x2)-f (x1)= (x1-x2)()<0. ——8分 即 f (x2) < f (x1)‎ 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分 证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x10.‎ 又 ∵ x+x>(x+x)≥|x1x2|≥-x1x2‎ ‎ ∴ >0,‎ ‎ ∴ f (x2)-f (x1) = (x1-x2) ()<0. ——8分 即 f (x2) < f (x1).‎ 所以,函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分 ‎(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.‎ 解:利用对数换底公式,原不等式左端化为 logax-4·+12·+…+n(-2)n-1 ·‎ ‎ =[1-2+4+…+(-2)n-1] logax ‎ =logax 故原不等式可化为logax>loga(x2-a). ①‎ 当n为奇数时,>0,不等式①等价于 ‎ logax>loga(x2-a). ②‎ 因为a>1,②式等价于 ‎ ——6分 因为<0, >=,‎ 所以,不等式②的解集为{x|loga(x2-a). ③‎ 因为a>1,③式等价于 ‎ 或 ——10分 因为 ——12分 所以,不等式③的解集为{x|x>}.‎ 综合得:当n为奇数时,原不等式的解集是{x|};‎ 当n为偶数时,原不等式的解集是{x|}‎ ‎(26) 本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.‎ 解法一:设双曲线的方程为=1.‎ 依题意知,点P,Q的坐标满足方程组 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将②式代入①式,整理得 ‎(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ ——3分 设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则=,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0.‎ 根据根与系数的关系,有 ‎ ④‎ ‎ ⑤ ——6分 由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为 P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)).‎ 由OP⊥OQ得·=-1,‎ 整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥‎ 将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 ‎3a4+8a2b2-3b4=0,‎ ‎(a2+3b2)(3a2-b2)=0.‎ 因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,‎ 所以 c==2a. ——8分 由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[(x2-c)-(x1-c)]2=42.‎ 整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦‎ 将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. ——10分 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.‎ 故所求双曲线方程为x2-=1. ——12分 解法二:④式以上同解法一. ——4分 解方程③得x1=,x2= ④ ——6分 由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)).‎ 由OP⊥OQ,得x1 x2+(x1-c)·(x2-c)=0. ⑤‎ 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,‎ 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.‎ 因a2+3b2≠0,解得b2=3a2. ——8分 由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[(x2-c)-(x1-c)]2=42.‎ 即 (x2-x1)2=10. ⑥‎ 将④式代入⑥式并整理得 ‎(5b2-3a2)2-16a2b4=0. ——10分 将b2=3a2代入上式,得a2=1,‎ 将a2=1代入b2=3a2得b2=3.‎ 故所求双曲线方程为 x2-=1. ——12分