高考新课标II全国卷理科数学试卷及答案 15页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）‎ 数 学 试 题 ‎（笔试部分）‎ 注意事项：‎ 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级写在答题卡的规定位置．‎ ‎3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．‎ ‎4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．‎ ‎5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．设复数满足（是虚数单位），则复数的模=__ __．‎ ‎2．已知，则_______．‎ ‎3．抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线 – = 1的渐近线的距离为___ ___．‎ ‎4．阅读下列算法语句:‎ Read S1‎ For I from 1 to 5 step 2‎ ‎ SS+I End for ‎ Print S End 输出的结果是 ．‎ ‎5．设集合，则=___________．‎ ‎6．设等比数列{an}的公比q = ，前n项和为Sn，则 = ___________．‎ ‎7．在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于的不等式的一个解的概率大小为_______．‎ ‎8．已知向量，，则的最大值为 ．‎ ‎9．已知A（2,4），B（–1,2），C（1,0），点P（x,y）在△ABC内部及边界上运动，则z = x – y的最大值与最小值的和为_____ ‎ ‎10．设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：‎ ‎① 若，则； ② 若，则；‎ ‎③ 若，则； ④ 若，则．‎ 其中正确的命题是_________．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎11．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为________．‎ ‎12．函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是 ．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为_________．‎ ‎13．已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则 ． ‎ ‎14．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_ __． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知，设，均为锐角．‎ P A C B ‎ （1）求；‎ ‎ （2）求两条向量的数量积的值．‎ ‎16． （本小题满分14分）‎ 如图，已知AB^平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点．‎ ‎ （1）求证：AF//平面BCE；‎ A B C D E F ‎ （2）求证：平面BCE^平面CDE．‎ ‎17．（本大题满分14分）‎ ‎2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位．第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系： ，‎ 第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系：‎ ‎．‎ ‎ （1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）‎ ‎ （2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 设圆，‎ 动圆，‎ ‎ （1）求证：圆、圆相交于两个定点；‎ ‎ （2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．‎ ‎19． （本小题满分16分）‎ 已知数列{an}的通项公式为an = （nÎN*）．‎ ‎ （1）求数列{an}的最大项；‎ ‎ （2）设bn = ，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；‎ ‎ （3）设，问：数列{an}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．‎ ‎20．（本大题满分16分）‎ 已知函数，‎ ‎ （1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；‎ ‎ （2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关．试求的取值范围．‎ ‎（加试部分）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4 – 1几何证明选讲 B C E D A 如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D．‎ 求证：ED2= EB·EC．‎ B．矩阵与变换 已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．‎ C．选修4 – 4 参数方程与极坐标 若两条曲线的极坐标方程分别为r = 1与r = 2cos（q + ）,它们相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ D．选修4 – 5 不等式证明选讲 设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + ≥2．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22． （本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM^平面PBD．‎ ‎ （1）求PA的长；‎ ‎ （2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．‎ P B C D A M ‎23．（本小题满分10分）‎ 用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同． 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示．记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为．‎ ‎ （1）试用数学归纳法证明：；‎ a b c d n=1‎ a b c d n=2‎ a c d a b d a b c ‎ （2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：．‎ 参考答案 ‎1．2 2．3 3．1 4．10‎ ‎5． 6．15 7．0.7 8．4‎ ‎9．－2 10．④ 11． 12．‎ ‎13．8 14．‎ ‎15．解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以 ‎．所以，…………………………………2分 ‎，，‎ 所以，………………………………………………………………4分 ‎，…………………………6分 又，所以．………………………………………………………8分 ‎ （2）…………………………11分 ‎……………………………………………14分 A B C D E F P ‎16．⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP = DE, …2分 又AB//DE,且AB =DE,所以AB//FP,且AB= FP, ‎ 所以四边形ABPF为平行四边形,所以AF//BP． ………………4分 又因为AF平面BCE,BPÌ平面BCE, 所以AF//平面BCE． ……7分 ‎（该逻辑段缺1个条件扣1分）‎ ‎ ⑵因为△ACD为正三角形,所以AF⊥CD． ‎ ‎ 因为AB⊥平面ACD,DE//AB,所以DE⊥平面ACD, ‎ 又AFÌ平面ACD,所以DE⊥AF． ……………………………………9分 又AF⊥CD，CD∩DE = D，所以AF⊥平面CDE． ‎ 又BP//AF，所以BP⊥平面CDE． ……………………………12分 又因为BPÌ平面BCE，‎ 所以平面BCE⊥平面CDE． ………………………………………14分 ‎17．解：（1）当且时，，当且时，‎ 所以…‎ ‎××；…………………………2分 另一方面，已经离开的游客总人数是：‎ ‎×；…………………4分 ‎ 所以（百人）‎ 故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人． ……………6分 ‎ （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减．‎ ‎ （i）当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………………8分 ‎ ‎ （ii）当时，令，得出，‎ 即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 ‎ ‎ （iii）当时，，进入园区人数多于离开人数，‎ 总人数越来越多；……………………………………………………………………12分 ‎ ‎（Ⅳ）当时， 令时，，‎ 即在下午点整时，园区人数达到最多．‎ 此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整． ………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；‎ ‎ （2）在下午点整时，园区人数达到最多．‎ ‎18．解（1）将方程化为 ‎，‎ 令得或，所以圆过定点和，4分 将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分 ‎（2）设，则，………………………8分， ………………………………10分 即，整理得（*）…………………………………………………12分 存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得 或，………………………………………14分 故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为 ‎．………………16分 ‎19．解 ⑴由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1 = 4． …4分 ‎ ⑵bn = = = ，若{bn}为等比数列，‎ 则b – bnbn+2= 0（nÎN* ）所以 [（2 + p）3n+1 + （ 2 – p）]2 – [{2 + p）3n + （2 – p）][（2 + p）3n+2 + （2 – p）] = 0（nÎN*），‎ 化简得（4 – p2）（2·3n+1 – 3n+2 – 3n ） = 0即– （4 – p2）·3n·4 = 0,解得p = ±2． ……………………………7分 反之,当p = 2时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当p = – 2时,bn = 1,{bn}也是等比数列．所以,当且仅当p = ±2时{bn}为等比数列． ………………………………………………10分 ‎⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分 化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的 左边，‎ 右边，所以（*）式不可能成立，‎ 故数列{an}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列． ………16分 ‎20．解：（1）令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………2分 所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间．………………………6分 ‎ （2）‎ ‎①当时，a）时，，，所以 ，b）时，，所以 ……8分 ‎ ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，‎ 所以 ，综合a） b）有最小值为与a有关，不符10分 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a） b） 有最小值为与a无关，符合要求．………12分 ‎②当时，a） 时，，，所以 ‎ b） 时，，，‎ 所以 ，在上递减，‎ 所以 ，综合a） b） 有最大值为与a有关，不符14分 综上所述，实数a的取值范围是．…………………………16分 数学Ⅱ（附加题）‎ B C E D A ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4 – 1几何证明选讲 证明: 因为EA是圆的切线,AC为过切点A的弦,所以 ÐCAE = ÐCBA．‎ 又因为AD是ÐBAC的平分线,所以ÐBAD = ÐCAD 所以ÐDAE = ÐDAC + ÐEAC = ÐBAD + ÐCBA = ÐADE 所以,△EAD是等腰三角形,所以EA = ED． …………………………6分 又EA2 = EC·EB,‎ 所以ED2 = EB·EC． ……………………………………………………4分 B．矩阵与变换：‎ 解：由题意得，…………………………………………………5分 ‎，………………………………10分 C．选修4 – 4 参数方程与极坐标 ‎ 若两条曲线的极坐标方程分别为r = 1与r = 2cos（q + ）,它们相交于A,B两点,求线段AB的长．‎ 解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x2 + y2 = 1与x2 + y2 – x + y = 0……………………………………………………6分 解方程组 得两交点坐标（1,0）,（–, – ）‎ 所以,线段AB的长为= ‎ 即AB = ．………………………………………………………………………………10分 D．选修4 – 5 不等式证明选讲 设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + ≥2．‎ 证明 因为a,b,c为正实数,所以a3 + b3 + c3≥3 = 3abc>0………………………5分 又3abc + ≥2 = 2．‎ 所以a3 + b3 + c3 + ≥2．………………………………………………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ P B C D A M x y z ‎22．解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系,则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,1,0）,P（0,0,a）．‎ 因为M是PC中点,所以M点的坐标为（,,），所以 = ‎ ‎（,,）， = （–1,1,0）， = （ – 1,0,a）．‎ ‎ ⑴因为^平面PBD,所以· = · = 0．即 ‎ – + = 0,所以a = 1,即PA = 1． ………………………………………4分 ‎ ⑵由 = （0,1,0）, = （,,）,可求得平面AMD的一个法向量n = （ – 1,0,1）．‎ 又 = （ – 1,–1,1）．所以cos = = = ．‎ 所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为．……………………………10分 ‎23．解（1）：证明：‎ ‎ （ⅰ）当时，因为，，所以等式正确．‎ ‎ （ⅱ）假设时，等式正确，即，‎ 那么，时，因为 ‎，‎ 这说明时等式仍正确．‎ 据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确． ……………………5分 ‎ （2）易知，‎ ‎①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；‎ ‎②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以．综上所述，‎ ‎．…………………………………………………………………10分