天津市近五年高考数学真题分类汇总65123 44页

天津市近五年高考数学试题分类汇总 选择题1：—复数 ‎[2011·天津卷] 是虚数单位，复数=‎ A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】.‎ ‎【2010】 （1）i 是虚数单位，复数（ ）‎ ‎(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i ‎ ‎【2009,1】i是虚数单位，=（ ）‎ ‎（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i ‎【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。‎ 解析：，故选择D。‎ ‎【2008】1. 是虚数单位，（ ）‎ ‎ (A) (B) 1 (C) (D) ‎ A ‎【2007】1. 是虚数单位 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【分析】，故选C 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。‎ 复数运算技巧：‎ 选择题2：—充要条件与命题 ‎[2011·天津卷] 设则“且”是“”‎ 的 A．充分而不必要条件　　 　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，一定有；反过来当 ‎，不一定有，例如也可以，故选A ‎【2010】（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 ‎ (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 ‎（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 ‎（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 ‎（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B ‎【2009】（3）命题“存在R，‎0”‎的否定是 ‎（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 ‎ ‎（C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, >0‎ ‎【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。‎ 解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。‎ ‎【2008】（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是C ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【2007】3. 是的 ( )‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【分析】可知充分，‎ 当时可知不必要.故选A ‎【2007】6. 设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( )‎ ‎ A.若与所成的角相等，则 B.若，则 ‎ C.若则 D.若则 ‎【答案】D ‎【分析】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D 选择题3—新题型 程序框图题 ‎ [2011·天津卷] 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，；‎ 时，；‎ 时，；‎ 时，，∴输出，故选B.‎ ‎【2010】（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写 ‎(A)i＜3 （B）i＜4‎ ‎（C）i＜5 （D）i＜6 ‎ D ‎【2009】（5）阅读右图的程序框图，则输出的S= ‎ A 26 B ‎35 C 40 D 57‎ ‎【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。‎ 解：当时，；当时，；当时， ；当时，；当时， ；当时，，故选择C。‎ S=0，i=1‎ T=3i-1‎ S=S+T i=i+1‎ i>5‎ 选择题4——数列 ‎4. [2011·天津卷] 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为 A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵，∴，解之得，‎ ‎∴.‎ ‎【2010】（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ 为等比数列，首项为1，公比为1/q。利用得q=2.‎ C ‎【2009】(6）设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。‎ ‎【解析】因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择B ‎【2007】8. 设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则 ( )‎ ‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【答案】B ‎【分析】是与的等比中项可得(*)，由为等差数列可得及代入(*)式可得.故选B 选择题5—二项式展开定理 理数5.J3 [2`011·天津卷] 在的二项展开式中，的系数为 A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由二项式展开式得，，‎ 令，则的系数为.‎ 选择题6—正余弦定理 理数6. C8[2011·天津卷] 如图，在△中，是边上的点，且，则的值为 A．　　　 B． 　 ‎ ‎ C． 　　 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设＝2，则，，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴.‎ 由正弦定理得，即.‎ ‎【2010】（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ A：c=b,cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc.带入已知条件即可得COSA 选择题7—指对数函数 理数7. B6B7[2011·天津卷] 已知则 A．　　B． C．　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，，，在同一坐标系下作出三个函数的图象，‎ 由图象可得 ，‎ o x y y=log2x y=log3x y=log4x 又∵为单调递增函数，‎ ‎∴.‎ ‎【2010】（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ‎（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ‎ ‎（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）‎ C ‎【2007】9. 设均为正数，且则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【分析】由可知，由可知，由可知，‎ 从而.故选A 选择题8—函数 理数8. B5[2011·天津卷] 对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． 　　　B． 　　‎ C． 　　　D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 则的图象如图 ‎-1‎ ‎-2‎ o x y ‎∵的图象与轴恰有两个公共点，‎ ‎∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.‎ ‎【2009】（8）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。‎ 选择题9—零点 ‎【2010】（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 ‎ (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）‎ B ‎【2009】（4）设函数则 A在区间内均有零点。 ‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。‎ 选择题10—圆锥曲线与方程 ‎【2010】(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,‎ 它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ B ‎【2009】（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。‎ 解析：由题知，‎ 又 由A、B、M三点共线有即，故，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴，故选择A。‎ ‎【2008】（5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 ‎(A) 6 (B) 2 (C) (D) ‎ B ‎【2007】4. 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【分析】由可得故选D 选择题11—集合 ‎【2010】(9)设集合A=若AB,则实数a,b必满足 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ D ‎【2008】（6）设集合，则的取值范围是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) 或 (D) 或 A 选择题12—概率统计 ‎【2010】(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 ‎（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种 B ‎【2008】（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 ‎(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种 B]‎ 选择题13—线性规划 ‎【2009】（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）23‎ ‎【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。‎ 解析：画出不等式表示的可行域，如右图，‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。‎ ‎【2008】（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ‎ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5‎ D ‎【2007】2. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ( )‎ ‎ A.4 B.11 C.12 D.14‎ ‎【答案】B ‎【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为、、，将代入得到最大值为故选B 选择题14—三角函数 ‎【2009】（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 ‎ 的图象，只要将的图象 ‎ ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 ‎ ‎ C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。‎ 解析：由题知，所以 ‎，故选择A。‎ ‎【2008】（3）设函数，则是 ‎ (A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数 ‎ ‎(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数 B 选择题15—不等式 ‎【2009】（10）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，‎ 解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即.C ‎【2008】（8）已知函数，则不等式的解集是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ C 选择题16—反函数 ‎【2008】（7）设函数的反函数为，则 ‎(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1 ‎ ‎(B) 在其定义域上是减函数且最小值为0 ‎ ‎(C) 在其定义域上是减函数且最大值为1‎ ‎(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0 ‎ D ‎【2007】5. 函数的反函数是 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】C 选择题17—奇偶函数 ‎【2008】（9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ‎，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ A ‎【2007】7. 在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )‎ ‎ A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 ‎ B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 ‎ C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 ‎ D.在区间上是减函数，在区间上是增函数 ‎【答案】B ‎【分析】由可知图象关于对称，又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B 选择题18—向量 ‎【2007】10. 设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【分析】由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.故选A 填空1—分层抽样 理数9. I1[2011·天津卷] 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设抽取男运动员人数为，则，解之得.‎ ‎【2009】（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ ‎【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。‎ 解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。‎ 填空2—排列组合 ‎【2007】16. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种(用数字作答).‎ ‎【标准答案】‎ ‎【分析】 用2色涂格子有种方法，用3色涂格子有种方法，故总共有种方法.‎ ‎【2009】（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）‎ ‎【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。‎ 解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。‎ 填空3—三视图 理数10.G2 [2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体 的体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，.‎ ‎【2010】（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ‎ ‎【2009】（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 ‎_______‎ ‎【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。‎ 解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。‎ 填空4—圆锥曲线 ‎【2008】（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .‎ 填空5—圆 理数12.N1 [2011·天津卷] 如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则的长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，，由得，即.‎ ‎∴，‎ 由切割定理得，‎ ‎∴.‎ ‎【2010】（13）已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为 ‎ ‎【2009】(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则___________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。‎ ‎【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。‎ 解析：由知的半径为，由图可知解之得 ‎【2007】14. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】两圆方程作差得 填空6—集合 理数13. A1[2011·天津卷] 已知集合，则集合 ‎=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【2008】（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .‎ 填空7—空间向量 理数14. F2[2011·天津卷] 已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】建立如图所示的坐标系，设，则，设 则，∴.‎ A B C D o x y ‎【2010】（15）如图，在中，,,‎ ‎,则 .‎ ‎【2009】(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎ ‎【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。‎ 解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。‎ ‎【2008】（14）如图，在平行四边形中，，‎ 则 . ‎ B A C D ‎【2007】15. 如图，在中，是边上一点，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由余弦定理得可得，‎ 又夹角大小为，，‎ 所以.‎ 填空8—平均数 ‎【2010】（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。‎ 填空9—四边形与圆结合 ‎【2010】（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ‎,则的值为 。‎ 填空10—函数 ‎【2010】（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 填空11—直线距离 ‎【2009】(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。‎ 解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。‎ 填空12—二项展开式系数 ‎【2008】（11）的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.‎ ‎【2007】11. 若的二项展开式中的系数为则.(用数字作答)‎ ‎【答案】2‎ ‎【分析】，当时得到项的系数 填空13—正方体与球 ‎【2008】（12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为 ‎，则该正方体的表面积为 .‎ ‎【2007】12. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积为.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由 填空14—数列 ‎【2008】（15）已知数列中，，则 .‎ ‎【2007】13. 设等差数列的公差是2，前项的和为则.‎ ‎【答案】3‎ ‎【分析】根据题意知代入极限式得 解答题1‎ ‎【2011】15．（本小题满分13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）设，若求的大小．‎ ‎【2010】（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【2009】（17）（本小题满分12分）‎ 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(I) 求AB的值：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II) 求sin的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=‎ ‎ 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎【2008】（17）（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【2007】17. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数R.‎ ‎ (I)求函数的最小正周期；‎ ‎ (II)求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【分析】.‎ 因此，函数的最小正周期为.‎ ‎(II)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ ‎ 又 ‎ ‎ 故函数在区间上的最大值为最小值为.‎ ‎ 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：‎ ‎ 由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.‎ ‎【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.‎ 解答题2—随机变量分布列与期望 ‎ ‎【2011】16．（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在一次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 ‎【2010】（18）.（本小题满分12分）‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 ‎（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。‎ ‎【2009】（18）（本小题满分12分）‎ 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=‎ ‎【2008】（18）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【2007】18. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.‎ ‎ (I)求取出的4个球均为黑色球的概率；‎ ‎ (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎ (III)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且.‎ ‎ 故取出的4个球均为黑球的概率为.‎ ‎(II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且.‎ ‎ 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为.‎ ‎(III)解：可能的取值为.由(I)，(II)得 又 从而.‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望.‎ ‎【考点】本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ 解答题3 —立体几何 ‎【2011】17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，‎ 是正方形的中心，，平面，‎ 且 ‎（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．‎ ‎【2010】（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，、分别是棱,‎ 上的点，,‎ （1） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ （2） 证明平面 （3） 求二面角的正弦值。‎ ‎【2009】（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，‎ AF=AB=BC=FE=AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）证明：因为 ‎（III）‎ 由（I）可得，‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明： ，‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（III） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【2008】（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形.‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎【2007】19. (本小题满分12分)‎ A P E B C D ‎ 如图，在四棱锥中，底面是的中点.‎ ‎ (I)证明：；‎ ‎ (II)证明：平面；‎ ‎ (III)求二面角的大小.‎ ‎【分析】(I)证明：在四棱锥中，‎ 因底面平面故.‎ ‎ 平面.‎ ‎ 而平面.‎ ‎(II)证明：由可得.是的中点，.‎ ‎ 由(I)知，且所以平面.而平面.‎ ‎ 底面在底面内射影是.‎ ‎ 又综上得平面.‎ ‎(III)解法一：过点作垂足为连结.由(II)知，平面在平面内的射影是则.因此是二面角的平面角.‎ ‎ 由已知，得.设可得 M A P E B C D ‎ ‎ ‎ 在中，.则 ‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎ 所以二面角的大小是 解法二：由题设底面平面则平面平面交线为 ‎ 过点作垂足为故平面过点作垂足为连结故因此是二面角的平面角.‎ A P E B C D M F ‎ 由已知，可得.设可得 ‎ ‎ ‎ ∽‎ ‎ 于是，‎ ‎ 在中，‎ ‎ 所以二面角的大小是 ‎【考点】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ 解答题4—圆锥曲线 ‎【2011】18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ ‎【2010】（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值 ‎【2009】（21）（本小题满分14分）‎ ‎ 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ （1） 求椭圆的离心率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） 求直线AB的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在 的外接圆上，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I） 解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由已知设，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得.‎ 依题意，‎ 而 ①‎ ‎ ②w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ 联立①③解得，‎ 将代入②中，解得.‎ ‎(III)解法一：由（II）可知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时同理可得 ‎ ‎【2008】（21）（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ ‎【2007】22. (本小题满分14分)‎ ‎ 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.‎ ‎ (I)证明：；‎ ‎ (II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程.‎ ‎【分析】(I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即 解得从而得到 直线的方程为整理得 ‎ 由题设，原点到直线的距离为即 ‎ 将代入上式并化简得即 ‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为 ‎ 过点作垂足为易知～故 ‎ 由椭圆定义得又所以 ‎ 解得而而得即 ‎（II）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线 的斜率为 所以直线的方程为或其中 ‎ 点的坐标满足方程组 ‎ 将①式代入②式，得 ‎ 整理得于是 ‎ 　　　　③‎ ‎ 由①式得 ‎ ‎ 　　　　④‎ ‎ 由知将③式和④式代入得 ‎ 将代入上式，整理得 ‎ 当时，直线的方程为点的坐标满足方程组 ‎ 所以 ‎ 由知即解得 ‎ 这时，点的坐标仍满足 ‎ 综上，点的轨迹方程为 解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为记（显然点的坐标满足方程组 ‎ 由①式得　　　　　　　③‎ ‎ 由②式得　　　④ 将③式代入④式得 ‎ 整理得于是　　　　⑤‎ ‎ 由①式得 　　　　　　⑥‎ ‎ 由②式得 　　　　⑦‎ ‎ 将⑥式代入⑦式得 ‎ 整理得于是　　　　　⑧‎ ‎ 由知将⑤式和⑧式代入得 ‎ 将代入上式，得 ‎ 所以，点的轨迹方程为 ‎【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.‎ ‎ ‎ 解答题5—函数 ‎【2011】19．（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：存在，使；‎ ‎（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明 ‎．‎ ‎【2010】（21）（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明 ‎【2009】（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 （1） 当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解：‎ ‎（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【2008】（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【2007】20. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数R)，其中R.‎ ‎ (I)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (II)当时，求函数的单调区间与极值.‎ ‎【分析】(I)解：当时，又 所以，曲线在点处的切线方程为 即 ‎ ‎(II)解：‎ ‎ 由于以下分两种情况讨论.‎ ‎ (1)当时，令得到当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 ‎ 所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.‎ ‎ 函数在处取得极小值且.‎ ‎ 函数在处取得极大值且.‎ ‎ (2)当时，令得到.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 ‎ 所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.‎ ‎ 函数在处取得极大值且.‎ ‎ 函数在处取得极小值且.‎ ‎【考点】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎ ‎ 解答题6—数列 ‎【2011】20．（本小题满分14分）已知数列与满足：‎ ‎， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设证明：．‎ ‎【2010】（22）（本小题满分14分）‎ 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。‎ ‎（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）‎ ‎（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。‎ ‎【2009】（22）（本小题满分14分）‎ 已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ‎ ‎， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① 式减去②式，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ① 式加上②式，得 ‎ ③‎ ② 式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅲ)证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ （1） 若，取i=n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ‎ ‎ ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 ② 当同理可得，因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 综上，‎ ‎【2008】（22）（本小题满分14分）‎ 在数列与中，，数列的前项和满足 ‎,为与的等比中项，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设. 证明：.‎ ‎【2007】21. (本小题满分14分)‎ ‎ 在数列中N其中.‎ ‎ (I)求数列的通项公式；‎ ‎ (II)求数列的前项和；‎ ‎ (III)证明存在N使得对任意N均成立.‎ ‎【分析】(I)解法一：，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ 由此可猜想出数列的通项公式为.‎ ‎ 以下用数学归纳法证明.‎ ‎ (1)当时等式成立.‎ ‎ (2)假设当时等式成立，即 那么，‎ 这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.‎ 解法二：由N可得 ‎ 所以为等数列，其公差为1，首项为0.故 所以数列的通项公式为 ‎(II)解：设 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 当时，①式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这时数列的前项和 ‎ 当 时，这时数列的前项和 ‎(III)证明：通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明： ③‎ ‎ 由知要使③式成立，只要因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以③式成立. 因此，存在使得对任意N均成立.‎ ‎【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.‎ ‎ ‎