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  • 2021-05-13 发布

高考数学分类汇编——函数与导数

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1.(安徽)(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) (B) (C) (D) 答案:A 2.(安徽)9、函数 的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( ) (A) , , (B) , , (C) , , (D) , , 3.(安徽) 15. 设 ,其中 均为实数,下列条件中,使得该 三次方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号) ; ; ; ; . 4.(北京)7.如图,函数 的图像为折线 ,则不等式 的解集是 A. B. C. D. 答案 C 5.(北京)8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 A B O x y -1 2 2 C y cos x= y sin x= y nl x= 2 1y x= + ( ) ( )2 ax bf x x c += + 0a > 0b > 0c < 0a < 0b > 0c > 0a < 0b > 0c < 0a < 0b < 0c < 3 0x ax b+ + = ,a b (1) 3, 3a b= − = − (2) 3, 2a b= − = (3) 3, 2a b= − > (4) 0, 2a b= = (5) 1, 2a b= = ( )f x ACB ( ) ( )2log 1f x x +≥ { }| 1 0x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤ B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 6.(福建)2、下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. 答案:D 7.(福建) 10、若定义在 上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是 A. B. C. D. 答案:C 8.(新课标 1)12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的 整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( ) A.[ ,1) B. [ ) C. [ ) D. [ ,1) 答案:D 9.(新课标 1)(13)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= 答案:1 10.(新课标 2)(5)设函数 f(x)= 则 f(-2)+f ( )= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 11.(新课标 2)(12)设函数 f’(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,x f’(x)- f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) (A)( ,-1)∪(0,1) (B)( ,0)∪(1,+ ) (C)( ,-1)∪(-1,0) (D)( ,1)∪(1,+ ) 12.(广东)3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A. B. C. D. y x= siny x= cosy x= x xy e e−= − R ( )f x ( )0 1f = − ( )f x′ ( ) 1f x k′ > > 1 1f k k   <   1 1 1f k k   >  −  1 1 1 1f k k   < − −  1 1 1 kf k k   > − −  3 2e − 3 3,2 4e − 3 3,2 4e 3 2e 2a x+ 21y x= + 1y x x = + 12 2 x xy = + xy x e= + 13. ( 湖 北 ) 6 . 已 知 符 号 函 数 是 上 的 增 函 数 , ,则 A.   B. C. D. 答案:B 14.(湖北)12.函数 的零点个数 为 . 答案:2 15.(湖南)5.设函数 ,则 是( ) A.奇函数,且在 上是增函数 B. 奇函数,且在 上是减函数 C. 偶函数,且在 上是增函数 D. 偶函数,且在 上是减函数 答案:A 16.(湖南)15.已知 ,若存在实数 ,使函数 有两个零 点,则 a 的取值范围是 . 答案:( ) ( ) 17. ( 江 苏 ) 13. 已 知 函 数 , , 则 方 程 实根的个数为 。答案 4 18. (山东)(10)设函数 f(x)= ,则满足 f(f(a))= 的 a 的 取值范围是() (A)[ ,1](B)[0,1] (C)[ (D)[1, + 答案:C 19.(山东)(14)已知函数 的定义域和值域都是 ,则 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0. x x x x > = = − < ( )f x R ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a= − > sgn[ ( )] sgng x x= sgn[ ( )] sgng x x= − sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x= sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x= − 2 π( ) 4cos cos( ) 2sin | ln( 1) |2 2 xf x x x x= − − − + ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x= + − − ( )f x (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) 3 2 ,( ) , x x af x x x a  ≤=  > b ( ) ( )g x f x b= − ,0−∞ ∪ 1,+∞ |ln|)( xxf =    >−− ≤<= 1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg 1|)()(| =+ xgxf ( ) ( 0, 1)xf x a b a a= + > ≠ [ ]1,0− a b+ = 答案: 20. ( 陕 西 ) 9. 设 , 若 , , ,则下列关系式中正确的是 A. B. C. D. 答案:B 21.(陕西)12.对二次函数 (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结 论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 A.-1 是 的零点 B.1 是 的极值点 C.3 是 的极值 D.点 在曲线 上 答案:A 22.(陕西)15.设曲线 在点(0,1)处的切线与曲线 上点 p 处的切线垂直, 则 P 的坐标为 答案:(1,1) 23.(四川)9. 如果函数 在区间 单 调递减,则 mn 的最大值为 (A)16 (B)18 (C)25 (D) 答案:B 24.(四川)13.某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位: )满足函数关 系 ( 为自然对数的底数,k、b 为常数)。若该食品在 0 的保鲜时间 设计 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 小 时。 答案:24 25.(四川)15.已知函数 , (其中 )。对于不相等的实数 ,设 , , 现有如下命题: (1)对于任意不相等的实数 ,都有 ; 3 2 − ( ) ln ,0f x x a b= < < ( )p f ab= ( )2 a bq f += 1 ( ( ) ( ))2r f a f b= + q r p= < q r p= > p r q= < p r q= > 2( )f x ax bx c= + + ( )f x ( )f x ( )f x (2,8) ( )y f x= xy e= 1 ( 0)y xx = > ( ) ( ) ( ) ( )21 2 8 1 0 02f x m x n x m n= − + − + ≥ ≥, 1 22     , 81 2 C bkxey += 718.2=e C C C xxf 2)( = axxxg += 2)( Ra∈ 21, xx 21 21 )()( xx xfxfm − −= 21 21 )()( xx xgxgn − −= 21, xx 0>m (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 ,都有 ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 ,使得 ; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 ,使得 。 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)。 答案:①④ 26.(天津)(7)已知定义在 上的函数 ( 为实数)为偶函数,记 ,则 的大小关系为 (A) (B) (C) (D) 答案:C 27.(天津)(8)已知函数 函数 ,其中 ,若函数 恰有 4 个零点,则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 答案:D 28.(浙江)7.存在函数 满足,对于任意 都有( ) A. B. C. D. 答案:D 29.(安徽)21.设函数 . (1)讨论函数 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (2)记 上的最大值 D; ( )f x x R∈ (sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= + 2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = + 21, xx 0>n 21, xx nm = 21, xx nm −= R ( ) 2 1x mf x −= − m ( ) ( )0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m= = = , ,a b c a b c< < a c b< < c a b< < c b a< < ( ) ( )2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x  − ≤=  − > ( ) ( )2g x b f x= − − b R∈ ( ) ( )y f x g x= − b 7 ,4  +∞   7, 4  −∞   70, 4      7 ,24      2( )f x x ax b= − + (sin ) 2 2f x π π在( - , ) 2 0 0 0 0( ) , (sin ) (sin )f x x a x b f x f x= − + −求函数 在 2 2 π π ( - , ) (3)在(2)中,取 30.(北京)18.(本小题 13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)求证:当 时, ; (Ⅲ)设实数 使得 对 恒成立,求 的最大值. 解:(I)因为 =ln(1+x)-ln(1-x),所以 = , =2. 又因为 =0,所以曲线 y= 在点(0 , )处的切线方程为 y=2x. (Ⅱ)令 = -2(x+ ),则 = -2(1+ )= . 因为 >0(0 =0,x∈(0,1), 即当 x∈(0,1)时, >2(x+ ). (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k《2 时, >k(x+ )对 x∈(0,1)恒成立. 当 k>2 时,令 = - k(x+ ),则 = -k(1+ )= . 所以当 时, <0,因此 在区间(0, )上单调递 减. 当 时, < =0,即 < k(x+ ). 所以当 K>2 时, > k(x+ )并非对 x∈(0,1)恒成立. 综上可知,k 的最大值为 2。 31.(福建)20.已知函数 , (1)证明:当 ; 2 0 0 0, D 14 aa b z b= = = − ≤求 满足 时的最大值。 ( ) 1ln1 xf x x += − ( )y f x= ( )( )0 0f, ( )0 1x∈ , ( ) 3 2 3 xf x x  > +   k ( ) 3 3 xf x k x  > +   ( )0 1x∈ , k ( )f x ( )f x′ 1 1 1 1x x ++ − (0)f ′ (0)f ( )f x (0)f ( )g x ( )f x 3 3 x ( )g x′ ( )f x′ 2x 4 2 2 1 x x− ( )g x′ ( )g x ( )g x (0)g ( )f x 3 3 x ( )f x 3 3 x ( )h x ( )f x 3 3 x ( )h x′ ( )f x′ 2x 4 2 2 1 kx k x + − − 4 20 kx k −< < ( )h x′ ( )h x 4 2k k − 4 20 kx k −< < ( )h x (0)h ( )f x 3 3 x ( )f x 3 3 x f( ) ln(1 )x x= + ( ) ,(k ),g x kx R= Î 0x x x> <时,f ( ) (2)证明:当 时,存在 ,使得对 (3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 ,对任意的 恒有 . 解法一:(1)令 则有 当 ,所以 在 上单调递减, 故当 . (2)令 则有 当 ,所以 在 上单调递增, 故对任意正实数 均满足题意. 当 . 取 , 所 以 在 上 单 调 递 增 , ,即 . 综上,当 时,总存在 ,使得对任意的 . (3)当 时,由(1)知,对于 , , 令 , 则 有 故 当 时 , , 在 上单调递增,故 ,即 ,所以 满足题意的 t 不存在. 当 时,由(2)知存在 ,使得对任意的 . 此时 , 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 , 恒有 f( ) ( )x g x> ; 0t > (0 ),xÎ ,t 2| f( ) ( ) |x g x x- < ( ) f( ) ln(1 ) , [0, ),F x x x x x x= - = + - Î +¥ 1( ) 11+ 1+ xF x x x ¢ = - = - [0, ),xÎ +¥ ( ) 0F x¢ < ( )F x [0, )+¥ 0 ( ) (0) 0, 0x F x F x x x> < = > <时, 即当 时,f ( ) G( ) f( ) ( ) ln(1 ) , [0, ),x x g x x kx x= - = + - Î +¥ 1 (1 k)( ) 1+ 1+ kxG x kx x - + -¢ = - = 0k £ G ( ) 0x¢ > G( )x [0, )+¥ G( ) (0) 0x G> = 0x 1 10 1 ( ) 0, = 1 0kk x x k k -¢< < = = - >时,令G 得 0 0 1= 1 (0, ), G ( ) 0x x x xk ¢- Î >,对任意 恒有 G( )x 0[0,x ) G( ) (0) 0x G> = f( ) ( )x g x> 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 , 恒有 f( ) ( )x g x> 1k > (0, ),x" Î ¥+ ( ) f( ) ( ) f( )g x x x g x x> > >,故 | f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2M( ) k ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - Î ¥,+ 21 -2 +(k-2) 1M ( ) k 2 = ,1 1 x x kx xx x + -¢ = - -+ + 22 (k 2) 8(k 1)0 )4 kx - + - + -Î( , M ( ) 0x¢ > M( )x 22 (k 2) 8(k 1)[0 )4 k - + - + -, M( ) M(0) 0x > = 2| f( ) ( ) |x g x x- > 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 , 恒有 f( ) ( )x g x> | f( ) ( ) | f( ) ( ) ln(1 ) kx g x x g x x x- = - = + - 令 , 则 有 故 当 时 , , 在 上单调递增,故 ,即 ,记 与 中较小的为 , 则当 ,故满足题意的 t 不存在. 当 ,由(1)知, , 令 ,则有 当 时, ,所以 在 上单调递减,故 , 故当 时,恒有 ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上, . 解法二:(1)(2)同解法一. (3)当 时,由(1)知,对于 , 故 , 令 , 从而得到当 时, 恒有 ,所以满足题意的 t 不存在. 当 时,取 由(2)知存在 ,使得 . 此时 , 令 ,此时 , 2N( ) ln(1 ) k , [0 )x x x x x= + - - Î ¥,+ 21 -2 -(k+2) 1M ( ) 2 = ,1 1 x x kx k xx x - +¢ = - -+ + 2( +2 (k +2) 8(1 k)0 )4 kx - + + -Î )( , N ( ) 0x¢ > M( )x 2( 2) (k 2) 8(1 k)[0 )4 k- + + + + -, N( ) (0) 0x N> = 2f( ) ( )x g x x- > 0x 2( 2) (k 2) 8(1 k) 4 k- + + + + - 1x 2 1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >, 时,恒有 =1k (0, ),xÎ ¥当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2H( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - Î ¥,+ 21 -2H ( ) 1 2 = ,1 1 x xx xx x -¢ = - -+ + 0x > H ( ) 0x¢ < H( )x [0 +¥, ) H( ) (0) 0x H< = 0x > 2| f( ) ( ) |x g x x- < =1k 1k > (0, ),x" Î ¥+ ( ) f( )g x x x> > , | f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 ) k (k 1)x g x g x f x x x x x x- = - = - + > - = - 2(k 1) , 0 1x x x k- > < < -解得 1k > (0, 1)x kÎ -对于 2| f( ) ( ) |x g x x- > 1k < 1 1 k+1= 12k k k< <,从而 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 , 恒有 1f( ) ( )x k x kx g x> > = 1 1| f( ) ( ) | f( ) ( ) ( k) 2 kx g x x g x k x x-- = - > - = 21 k 1 k, 02 2x x x- -> < <解得 2f( ) ( )x g x x- > 记 与 中较小的为 ,则当 , 故满足题意的 t 不存在. 当 ,由(1)知, , 令 ,则有 当 时, ,所以 在 上单调递减,故 , 故当 时,恒有 ,此时,任意实数 t 满足题意. 综上, . 32.(新课标 1)(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 的切线; (Ⅱ)用 表示 m,n 中的最小值,设函数 , 讨论 h(x)零点的个数 解析:(21)解: (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 因此,当 (II)当 是 的零点 0x 1-k 2 1x 2 1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >, 时,恒有 =1k (0, ),xÎ ¥当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + 2M( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x= − + − ∈ ∞,+ 21 2M ( ) 1 2 ,1 1 x xx xx x − −′ = − − =+ + 0x > M ( ) 0x¢ < M( )x [0 +∞, ) M( ) M(0) 0x < = 0x > 2| f( ) ( ) |x g x x- < =1k 3 1 , ( ) ln4x ax g x x+ + = − ( )y f x= min { },m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= > 0 0 0 3 0 0 2 0 0 ( ,0) ( ) 0, ( ) 0 1 04 3 0 1 3,2 4 x f x f x x ax x a a = =  + + =    + =  = − 则 即 解得x 3 x y ( )4a f x= − =时, 轴为曲线 的切线 { }x (1, ) ( ) 1 0, ( ), ( ) ( ) 0, h( ) (1, )g x nx f x g x g x x∈ +∞ = − < ≤ < +∞时, 从而h( x) =mi n 故 在 无零点 { }5 5x 1 (1) 0, (1) min (1), (1) (1) 0, x4 4a f a h f g g= ≥ − = + ≥ = = = =当 时,若 则 故 { }5( ) a , (1), (1) (1) 0, 1 (4h x f g f x h x< − = < =的零点;若 则f ( 1) <0, h( 1) =mi n 故 不是 x (0,1) g( ) 1 0. fx nx∈ = − >当 时, 所以只需考虑 ( x) 在(0, 1)的零点个数 2i a a f′≤ ≥( )若 - 3或 0, 则 (x)=3x +a在(1, 0)无零点,故f ( x) 在(0, 1)单调 综上,当 33.(广东)19. (本小题满分 14 分) 设 ,函数 (1) 求 的单调区间; (2) 证明 在 上仅有一个零点; (3) 若曲线 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 处的切线与直线 OP 平 行,(O 是坐标原点),证明: . (湖北)22.(本小题满分 14 分) 已知数列 的各项均为正数, ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 的单调区间,并比较 与 e 的大小; 1 5f (0) , (1) , f a f4 4f a= + ≤ ≥所以当a - 3时, ( x) 在(0, 1)有一个零点;当 0时 ( x) 在(1, 0)没有零点 a a( ) 3 0, f ( ) 0 ) ,13 3ii a x− < < − −若 则 在( , 单调递减,在( )单调递增,故在(0, 1)中 3 2 1( ) f ( )3 3 3 4 a a a ax f x= − − = − +当 时, 取得最小值,最小值为 3( ) 0. 0, ( )3 4 3f a f ( ) (0,1)3 4 3 1 5 3( ) 0, 3 , (0) , (1)3 4 4 4 4 af a f x a x af a f f a a − > − < < − − < − < < − = = + < < − ①若 即 在(0, 1)无零点; ②若 ( ) =0, 即 =- 则 在 有唯一零点 ③若 即 由于 5( ) f ( ) (0,1) .4f x x≤时, 在(0, 1)有两个零点;当- 3 − = − = −或 时, 有一个零点;当 或 时, 有两个零点 5 3 h( ) .4 4a x− < < −当 时, 有三个零点 1a > 2( ) (1 ) xf x x e a= + − ( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )y f x= M(m, n) 3 2 1m a e ≤ − − { }na 1(1 ) ( )n n nb n a nn += + ∈N ( ) 1 exf x x= + − 1(1 )n n + (Ⅱ)计算 , , ,由此推测计算 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令 ,数列 , 的前 项和分别记为 , , 证明: . 解析:(Ⅰ) 的定义域为 , . 当 ,即 时, 单调递增; 当 ,即 时, 单调递减. 故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 当 时, ,即 . 令 ,得 ,即 . ① (Ⅱ) ; ; . 由此推测: ② 下面用数学归纳法证明②. (1)当 时,左边 右边 ,②成立. (2)假设当 时,②成立,即 . 当 时, ,由归纳假设可得 . 所以当 时,②也成立. 根据(1)(2),可知②对一切正整数 n 都成立. (Ⅲ)由 的定义,②,算术-几何平均不等式, 的定义及①得 1 1 b a 1 2 1 2 b b a a 1 2 3 1 2 3 b b b a a a 1 2 1 2 n n b b b a a a   1 1 2( )n n nc a a a=  { }na { }nc n nS nT en nT S< ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) 1 exf x′ = − ( ) 0f x′ > 0x < ( )f x ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0f x f< = 1 exx+ < 1x n = 111 en n + < 1(1 ) en n + < 11 1 11 (1 ) 1 1 21 b a = ⋅ + = + = 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 12 2(1 ) (2 1) 32 b b b b a a a a = ⋅ = ⋅ + = + = 2 3 3 31 2 3 31 2 1 2 3 1 2 3 13 3(1 ) (3 1) 43 b b b bb b a a a a a a = ⋅ = ⋅ + = + = 1 2 1 2 ( 1) .nn n b b b na a a = +  1n = = 2= n k= 1 2 1 2 ( 1)kk k b b b ka a a = +  1n k= + 1 1 1 1( 1)(1 )1 k k kb k ak + + += + + + 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1( 1) ( 1)(1 ) ( 2)1 k k kk k k k k k k k b b b b b b b b k k ka a a a a a a a k + ++ + + + = ⋅ = + + + = ++     1n k= + nc nb 1 2 3n nT c c c c= + + + + = 1 11 1 31 2 1 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )n na a a a a a a a a+ + + +  1 11 1 31 2 1 2 3 1 21 1 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 3 4 1 n nb b b b b bb b b n = + + + + +  1 2 3 1 21 1 2 1 2 2 3 3 4 ( 1) nb b b b b bb b b n n + + + + ++≤ + + + +× × × +  1 2 1 1 1 1 1 1 1[ ] [ ]1 2 2 3 ( 1) 2 3 3 4 ( 1) ( 1)nb b bn n n n n n = + + + + + + + + + ⋅× × + × × + +   1 2 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )1 2 1 1nb b bn n n n = − + − + + −+ + + 1 2 1 2 nbb b n < + + + 1 2 1 2 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )1 2 n na a an = + + + + + + . 即 . 34.(湖南)21.已知 ,函数 . 记 为 的从小到大的 第 n 个极值点,证明: (1)数列 是等比数列 (2)若 ,则对一切 , 恒成立. 解析:21、证明:(I) 其中 tan = ,0< < . 令 =0,由 x 得 x+ =mx, 即 x= - ,m . 对 k N,若 2k 0; 若(2k+1) ( ) sin ( [0, ))axf x e x x= ∈ +∞ nx ( )f x *( )n N∈ { ( )}nf x 2 1 1 a e ≥ − *n N∈ | ( ) |n nx f x< ' ( ) sin cosax axf x ae x e x= + ( sin cos )axe a x x= + 2 1 sin( )axa e x ρ= + + ρ 1 a ρ 2 π ' ( )f x 0≥ ρ mπ ρ ∈ *N ∈ π ρ π π ρ π ρ ' ( )f x π ρ π π ρ π ρ ' ( )f x π π ρ π ρ π ' ( )f x π ρ *N∈ ( )f x *( )nx n n Nπ ρ ∈= − ( ) ( )1 sin( )( ) ( 1) sin .a n a nn nx e nf eπ ρ π ρπ ρ ρ− −+= − = − ( )nf x ≠ ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1 s n in) i s an ax n n n a n n f ef x e x e π ρ π ρ ρ ρ + −  −+  + +−= = − − { }( )nf x 1( )f x ( ) sina ne π ρ ρ− axe− sin ρ 2 1 1a + *n N∈ nx ( )nf x ( ) 2 1 1 a n a n e π ρπ ρ − + − < ( ) 恒成立(因为 a>0) 设 g(t)= (t)0),则 .令 =0 得 t=1 当 01 时, ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递增. 从而当 t=1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)=e 因此,要是( )式恒成立,只需 ,即只需 . 而当 a= 时,tan = = 且 .于是 ,且当 n 时, .因此对一切 , ,所以 g( ) .故( )式亦恒成立. 综上所述,若 a ,则对一切 , 恒成立. 35.(江苏)19.(本小题满分 16 分) 已知函数 。 (1)试讨论 的单调性; (2)若 (实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 有三个不同的零点时,a 的取 值范围恰好是 ,求 c 的值。 解:(1) ,令 ,解得 , . 当 时,因为 ( ),所以函数 在 上单调递增; 当 时, 时, , 时, , ( ) ( ) 2 1 a na e a a n π ρ π ρ − < − + • te t 2 ' ( 1)t g t e t t −( )= 'g t( ) 'g t( )<0 'g t( )>0 • 2 ( )1 1ga ea <+ = 2 1 1 a e > − 2 1 1e − ρ 1 a 2 1e − 3> 0 2 πρ< < 22 13 e ππ ρ− < < − 2≥ 22 13 2 en ππ ρ π ρ− ≥ − ≥ −> *n N∈ 2 1 1n nax e π ρ − −= ≠ nax 2 1(1) ag e a +> = = • ≥ 2 1 1e − *n N∈ ( ) ||n nx xf< ),()( 23 Rbabaxxxf ∈++= )(xf acb −= )(xf ),2 3()2 3,1()3,( +∞−−∞  ( ) 23 2f x x ax′ = + ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 2 3 ax = − 0a = ( ) 23 0f x x′ = > 0x ≠ ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a > ( )2, 0,3 ax  ∈ −∞ − +∞   ( ) 0f x′ > 2 ,03 ax  ∈ −   ( ) 0f x′ < 所以函数 在 , 上单调递增,在 上单调递减; 当 时, 时, , 时, , 所以函数 在 , 上单调递增,在 上单调递减. (2)由(1)知,函数 的两个极值为 , ,则函数 有三个 零点等价于 ,从而 或 . 又 ,所以当 时, 或当 时, . 设 ,因为函数 有三个零点时, 的取值范围恰好是 ,则在 上 ,且在 上 均恒成立, 从而 ,且 ,因此 . 此时, , 因函数有三个零点,则 有两个异于 的不等实根, 所以 ,且 , 解得 . ( )f x 2, 3 a −∞ −   ( )0,+∞ 2 ,03 a −   0a < ( ) 2,0 ,3 ax  ∈ −∞ − +∞   ( ) 0f x′ > 20, 3 ax  ∈ −   ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),0−∞ 2 ,3 a − +∞   20, 3 a −   ( )f x ( )0f b= 32 4 3 27 af a b − = +   ( )f x ( ) 32 40 03 27 af f b a b   ⋅ − = + <       3 0 4 027 a a b >− < < 3 0 40 27 a b a < < < − b c a= − 0a > 34 027 a a c− + > 0a < 34 027 a a c− + < ( ) 34 27g a a a c= − + ( )f x a ( ) 3 3, 3 1, ,2 2    −∞ − +∞        ( ), 3−∞ − ( ) 0g a < 3 31, ,2 2    +∞       ( ) 0g a > ( )3 1 0g c− = − ≤ 3 1 02g c  = − ≥   1c = ( ) ( ) ( )3 2 21 1 1 1f x x ax a x x a x a = + + − = + + − + −  ( )2 1 1 0x a x a+ − + − = 1− ( ) ( )2 21 4 1 2 3 0a a a a∆ = − − − = + − > ( ) ( )21 1 1 0a a− − − + − ≠ ( ) 3 3, 3 1, ,2 2a    ∈ −∞ − +∞        综上 . 36.(山东)(21)(本小题满分 14 分) 设函数 ,其中 。 (Ⅰ)讨论函数 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 >0, 成立,求 的取值范围。 解:(Ⅰ)由题意知 函数 的定义域为 , , 令 , (1)当 时, , 此时 ,函数 在 单调递增,无极值点; (2)当 时, , ①当 时, , , ,函数 在 单调递增,无极值点; ②当 时, , 设方程 的两根为 , 因为 , 所以 , 由 ,可得 , 所以 当 时, ,函数 单调递增; 当 时, ,函数 单调递减; 当 时, ,函数 单调递增; 因此 函数有两个极值点。 (3)当 时, , 1c = 2( )= ( +1)+ ( - )f x In x x xα Rα ∈ ( )f x χ∀ ( )χf 0≥ α )(xf ),1( +∞ 1 12)12(1 1)( 2 + +−+=−++=′ x aaxaxxaxxf ),1(,12)( 2 +∞−∈+−+= xaaxaxxg 0=a 1)( =xg 0)( >′ xf )(xf ),1( +∞− 0>a )89()1(82 −=−−=∆ aaaaa 9 80 ≤< a 0≤∆ 0)( ≥xg 0)( ≥′ xf )(xf ),1( +∞− 9 8>a 0>∆ 012 2 =+−+ aaxax )(, 2121 xxxx < 2 1 21 −=+ xx 4 1,4 1 21 −>−< xx 01)1( >=−g 4 11 1 −<<− x ),1( 1xx −∈ 0)(,0)( >′> xfxg )(xf ),( 21 xxx ∈ 0)(,0),( <′< xfxg )(xf )( 2 ∞+∈ xx 0)(,0)( >′> xfxg )(xf 0∆ 由 ,可得 , 当 时, ,函数 单调递增; 当 时, ,函数 单调递减; 所以函数有一个极值点。 综上所述: 当 时,函数 有一个极值点; 当 时,函数 无极值点; 当 时,函数 有两个极值点。 (II)由(I)知, (1)当 时,函数 在 上单调递增, 因为 , 所以 时, ,符合题意; (2)当 时,由 ,得 , 所以 函数 在 上单调递增, 又 ,所以 时, ,符合题意; (3)当 时,由 ,可得 , 所以 时,函数 单调递减; 因为 , 所以 时, ,不合题意; (4)当 时,设 , 因为 时, 所以 在 上单调递增。 因此 当 时, , 即 , 01)1( >=−g 11 −′> xfxg )(xf )( 2 ∞+∈ xx 0)(,0)( <′< xfxg )(xf 0a )(xf 9 80 ≤≤ a )(xf ),0( +∞ 0)0( =f ),0( +∞∈x 0)( >xf 19 8 ≤< a 0)0( >g 02 ≤x )(xf ),0( +∞ 0)0( =f ),0( +∞∈x 0)( >xf 1>a 0)0( x 2(0, )x x∈ )(xf 0)0( =f ),0( 2xx ∈ 0)( +=+−=′ x x xxh )(xh ),0( +∞ ),0( +∞∈x ( ) (0) 0h x h> = xx <+ )1ln( 可得 , 当 时, , 此时 ,不合题意, 综上所述, 的取值范围是 37.(四川)21.已知函数 (1)设 (2)证明:存在 解析: (I)由已知,函数 的定义域为 , , 所以 . 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减; 当 时, 在区间 上单调递增. (II)由 ,解得 . 令 . 则 ,. 故存在 ,使得 . 令 ,. xaaxxxaxxf )1()()( 22 −+=−+< ax 11−> 0)1(2 <−+ xaax 0)( 其中 ( ) ( ) ( )g x f x g x是 的导函数,讨论 的单调性; (0,1), ( ) 0 ( ) 0 .a f x f x∈ ≥ ∞ = ∞使得 在区间( 1, + ) 内恒成立,且 在( 1, + ) 内有唯一解 ( )f x (0, )+∞ ( ) ( ) 2 2 2ln 2(1 )ag x f x x a x x ′= = − − − + 2 2 2 1 12( ) 2( )2 2 2 4( ) 2 x aag x x x x − + − ′ = − + = 10 4a< < ( )g x 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − 1 4a ≥ ( )g x (0, )+∞ ( ) 2 2 2ln 2(1 ) 0af x x a x x ′ = − − − + = 1 1 ln 1 x xa x− − −= + 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln( ) 2( )ln 2( ) 2( )1 1 1 1 x x x x x x x xx x x x xx x x x ϕ − − − − − − − − − − − −= − + + − − ++ + + + 2 1 1 ( 2) 2(1) 1 0, ( ) ) 2( ) 01 1 e e ee e e ϕ ϕ − − − −= > = − − <+ + 0 (1, )x e∈ 0( ) 0xϕ = 0 0 0 1 0 1 ln , ( ) 1 ln ( 1)1 x xa u x x x xx − − −= = − − ≥+ 由 知,函数 在区间 上单调递增. 所以 . 即 . 当 时,有 ,. 由(1)知,函数 在区间 上单调递增. 故当 时,有 ,从而 ; 当 时,有 ,从而 ; 所以,当 时, . 综上所述,存在 ,使得 在区间 内恒成立,且 在 内有唯一解. 38.(天津)20. (本小题满分 14 分) 已知函数 ,其中 . (I)讨论 的单调性; (II)设曲线 与 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 , 求证:对于任意的正实数 ,都有 ; (III) 若 关 于 的 方 程 有 两 个 正 实 根 , 求 证 : . 解析: (I)解:由 = ,可得 = = ,其中 , 且 . 下面分两种情况讨论: (1)当 为奇数时. 令 =0,解得 ,或 . 当 变化时, , 的变化情况如下表: 1( ) 1 0u x x ′ = − ≥ ( )u x (1, )+∞ 0 01 1 1 0 ( )(1) ( ) 20 11 1 1 1 1 u xu u e eax e e− − − −= < = < = <+ + + + 0 (0,1)a ∈ 0a a= 0 0 0( ) 0, ( ) ( ) 0f x f x xϕ′ = = = ( )f x′ (1, )+∞ 0(1, )x x∈ 0( ) 0f x′ < 0( ) ( ) 0f x f x> = 0( , )x x∈ +∞ 0( ) 0f x′ > 0( ) ( ) 0f x f x> = (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ (0,1)a∈ ( ) 0f x ≥ ∞( 1, + ) ( ) 0f x = ∞( 1, + ) ( ) n ,nf x x x x R= − ∈ *n ,n 2N∈ ≥ ( )f x ( )y f x= x ( )y g x= x ( ) ( )f x g x≤ x ( )=a(a )f x 为实数 1 2x x, 2 1| - | 21 ax x n< +- ( )f x nnx x− ' ( )f x 1nn nx −− ( )11 nn x −− n N ∗∈ 2n ≥ n ' ( )f x 1x = 1x = − x ' ( )f x ( )f x x ( ), 1−∞ − ( )1,1− ( )1,+∞ - + - 所以, 在 , 上单调递减,在 内单调递增。 (2)当 为偶数时. 当 ,即 时,函数 单调递增; 当 ,即 时,函数 单调递减. 所以, 在 上单调递增,在 上单调递减. (II)证明:设点 的坐标为 ,则 , .曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .令 ,即 ,则 . 由于 在 上单调递减,故 在 上单调递 减.又因为 ,所以当 时, ,当 时, ,所以 在 内单调递增,在 上单调递减,所以对于任 意的正实数 ,都有 ,即对于任意的正实数 ,都有 . (III)证明:不妨设 .由(II)知 .设方程 的根为 ,可得 ,当 时,在 上单调递减. 又由(II)知 ,可得 . 类似地,设曲线 在原点处的切线方程为 ,可得 , 当 , , 即 对 于 任 意 的 , . 设方程 的根为 ,可得 .因为 在 上单 ' ( )f x ( )f x    ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )1,1− n ' ( ) 0f x  1x  ( )f x ' ( ) 0f x  1x  ( )f x ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ P ( )0 ,0x 0 1 1 nx n −= ' 2 0( )f x n n= − y = ( )f x P ( )' 0 0( )y f x x x= − ' 0 0( ) ( )( )g x f x x x= − ( )( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( )F x f x= ' 0 0( )( )f x x x− − ' '( ) ( )F x f x= ' 0( )f x− ' 1( ) nf x nx n−= − + ( )0,+∞ ' ( )F x ( )0,+∞ ' 0( ) 0F x = ( )00,x x∈ ' ( ) 0F x  ( )0 ,x x∈ +∞ ' ( ) 0F x  ( )F x ( )00, x ( )0 ,x +∞ x 0( ) ( ) 0F x F x≤ = x ( )f x ( )g x≤ 1 2x x≤ ( ) ( )( )2 0g x n n x x= − − ( )g x a= ' 2x ' 2 02 ax xn n = +− 2n ≥ ( ),−∞ +∞ ( ) ( ) ( )' 2 2 2g x f x a g x≥ = = ' 1 2x x≤ ( )y f x= ( )y h x= ( )h x nx= ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 0nf x h x x− = −  ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x h x ( )h x a= ' 1x ' 1 ax n = ( )h x nx= ( ),−∞ +∞ 调递增,且 ,因此 . 由此可得 . 因为 ,所以 ,故 . 所以, . 39.(浙江)18.(本题满分 15 分) 已知函数 f(x)= +ax+b(a,b R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。 (1)证明:当|a| 2 时,M(a,b) 2; (2)当 a,b 满足 M(a,b) 2 时,求|a|+|b|的最大值. 解析:(1)由 ,得对称轴为直线 , 由 ,得 , 故 在 上单调, ∴ , 当 时,由 , 得 ,即 , 当 时,由 , 得 ,即 , 综上,当 时, ; (2)由 得 , , 2x ∈ ≥ ≥ ≤ ( ) ( ) ( )' 1 1 1h x a f x h x= =  ' 1 1x x ' ' 2 1 2 1 01 ax x x x xn − − = +− 2n ≥ ( ) 11 1 12 1 1 1 1 1nn nC n n−− −= + ≥ + = + − = 01 12 n xn −≥ = 2 1 21 ax x n − +− 2 2( ) ( )2 4 a af x x b= + + − 2 ax = − | | 2a ≥ | | 12 a− ≥ ( )f x [ 1,1]− ( , ) max{| (1) |,| ( 1) |}M a b f f= − 2a ≥ (1) ( 1) 2 4f f a− − = ≥ max{ (1), ( 1)} 2f f − ≥ ( , ) 2M a b ≥ 2a ≤ − ( 1) (1) 2 4f f a− − = − ≥ max{ ( 1), (1)} 2f f− − ≥ ( , ) 2M a b ≥ | | 2a ≥ ( , ) 2M a b ≥ ( , ) 2M a b ≤ |1 | | (1) | 2a b f+ + = ≤ |1 | | ( 1) | 2a b f− + = − ≤ 故 , , 由 ,得 , 当 , 时, ,且 在 上的最大值为 ,即 , ∴ 的最大值为 . (重庆)(20)(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 5 分) 设函数 。 (Ⅰ)若 在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 在点 处 的切线方程; (Ⅱ)若 在 上为减函数,求 a 的取值范围。 解:(Ⅰ)对 求导得 因为 在 处取得极值,所以 即 . 当 时, = 故 从而 在点 (1, )处的切线方程为 化简得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 令 由 解得 当 时, ,即 ,故 为减函数; 当 时, ,即 ,故 为增函数; | | 3a b+ ≤ | | 3a b− ≤ | |, 0| | | | | |, 0 a b aba b a b ab + ≥+ =  − < | | | | 3a b+ ≤ 2a = 1b = − | | | | 3a b+ = 2| 2 1|x x+ − [ 1,1]− 2 (2, 1) 2M − = | | | |a b+ 3 23( ) ( )x x axf x a Re += ∈ ( )f x ( )y f x= (1, (1))f ( )f x [ ]3,+∞ ( )f x 2 2 2 (6 ) (3 ) 3 (6 )'( ) ,( ) x x x x x a e x ax e x a x af x e e + − + − + − += = ( )f x 0x = '(0) 0f = 0a = 0a = ( )f x 2 23 3 6, '( ) ,x x x x xf xe e − += 3 3(1) , '(1) ,f fe e = = ( )f x (1)f 3 3 ( 1),y xe e − = − 3 0.x ey− = 23 (6 )'( ) .x x a x af x e − + − += 2( ) 3 (6 ) ,g x x a x a= − + − + ( ) 0g x = 2 2 1 2 6 36 6 36, .6 6 a a a ax x − − + − + += = 1x x< ( ) 0g x < '( ) 0f x < ( )f x 1 2x x x< < ( ) 0g x > '( ) 0f x > ( )f x 当 时, ,即 ,故 为减函数; 由 在 上为减函数,知 解得 故 的取值范围为 2x x> ( ) 0g x < '( ) 0f x < ( )f x ( )f x [ )3,+∞ 2 2 6 36 3,6 a ax − + += ≤ 9 ,2a ≥ − a 9 , .2  − +∞ 