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  • 2021-05-13 发布

高考数学之抛物线常见习题及解析版

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高考数学 抛物线常见习题及解析 ‎(经典版)‎ 考点1 抛物线的定义:‎ 平面上与一个定点F和一条直线(F不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。‎ 抛物线的定义中条件“F不在上”不可遗漏,否则,如果F在上,则轨迹为过F且与垂直的直线。‎ 题型: 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例1、(1)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 ‎ ‎(2)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )‎ ‎ A. B. C. D. 0‎ 例2、求平面内到原点与直线距离相等的点的轨迹方程,并指出轨迹所表示的曲线。‎ 例3、求到点A的距离比到直线的距离小1的点的轨迹方程。‎ 巩固练习:‎ ‎1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、、成等差数列, 则有 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知方程的抛物线上有一点M,点M到焦点F的距离为5,求m的值。‎ ‎4、在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为…………( ) ‎ A1‎ B1‎ B A P ‎(A)‎ A1‎ B1‎ B A P ‎(B)‎ A1‎ B1‎ B A P ‎(C)‎ A1‎ B1‎ B A P ‎(D)‎ 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:‎ ‎(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上 巩固练习:‎ ‎1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 ‎ ‎2、 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:‎ ‎①焦点在y轴上;‎ ‎②焦点在x轴上;‎ ‎③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;‎ ‎④抛物线的通径的长为5;‎ ‎⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).‎ 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)‎ ‎3、 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程 考点3 抛物线的几何性质 抛物线的几何性质 ():‎ 标准方程 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎ (0,0)‎ 题型:抛物线中的最值问题:‎ 例5、求抛物线上的点P到直线的距离的最小值,并求出P点的坐标。‎ 例6、给定抛物线,设A,P是抛物线上的一点,且,求的最小值。‎ 例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线上运动,求AB的中点M到y轴的距离的最小值。‎ 题型:抛物线与直线的位置关系问题:‎ 例8、设A、B是抛物线上的点,且满足(O为坐标原点),求证:直线AB过定点,并求出此定点。‎ 例9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线上,另两个顶点C、D在直线上,如图,求此正方形的边长。‎ 例10、已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)但 ‎,线段AB的垂直平分线经过定点Q,求抛物线的方程。‎ 例11、设点O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若,,求的面积。‎ 例12、 如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.‎ 例13、已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.‎ ‎(1)求a的取值范围.‎ ‎(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.‎ ‎.解:(1)设直线l的方程为:y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0‎ ‎∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2‎ 又∵p>0,∴a≤-.‎ ‎(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),‎ 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,‎ 则有x==p.‎ ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而N点坐标为(a+2p,0) 点N到AB的距离为 从而S△NAB=‎ 当a有最大值-时,S有最大值为p2.‎ 基础巩固训练 ‎1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( )                     ‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 ‎2.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为 (  )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎3.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 如果,,…,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,,…,,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=( ).‎ A.5 B.6 C. 7 D.9 ‎ ‎5、抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AB⊥l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6、设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 .‎ 题型、焦点弦问题 例14、已知抛物线,过焦点F的弦AB的直线倾斜角为,求AB的弦长。‎ 例15、若AB是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,,则:,。‎ 例16、已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:为定值。‎ 例17、已知AB是抛物线的过焦点F的弦,求证:(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。‎ B A M N Q P y x O F ‎(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:以MN为直径的圆与直线AB相切。‎ 与准线l相切 例18、若抛物线方程为,过(,0)的直线与之交于A、B两点,则OA⊥OB。‎ 巩固练习:‎ ‎1、若直线经过抛物线的焦点,则实数 ‎ ‎2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 题型、中点弦问题:‎ 例19、过点A,作直线交抛物线于B、C两点,求BC中点P的轨迹方程。‎ 例20、若抛物线上存在两点PQ关于直线对称,求m的取值范围。‎ 巩固练习:‎ ‎1、在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短,求该点的坐标 ‎2、已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为.‎ ‎(1)求的坐标;‎ ‎(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?‎ ‎3、设抛物线()的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于A、B两点.点 C在抛物线的准线上,且BC∥X轴.证明直线AC经过原点O.‎ ‎4、椭圆上有一点M(-4,)在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若点N在抛物线上,过N作准线l的垂线,垂足为Q距离,求|MN|+|NQ|的最小值.‎ ‎5、已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.‎ ‎(1)写出抛物线C的方程;‎ ‎(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求△AOB重心G的轨迹方程;‎ ‎(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.‎ 当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.‎ 课后作业:‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为 ( )‎ A.(1, 0) B.(2, 0) C.(3, 0) D.(-1, 0)‎ ‎2.圆心在抛物线y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )‎ A.x2+ y 2-x-2 y -=0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 ‎ C.x2+ y 2-x-2 y +1=0 D.x2+ y 2-x-2 y +=0‎ ‎3.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 ( )‎ ‎ A.(1,1) B.() C. D.(2,4)‎ ‎4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为( )‎ A.m B. 2m C.4.5m D.9m ‎5.平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( )‎ A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x ‎6.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是 ( )‎ A. y 2=-2x B. y 2=-4x ‎ C. y 2=2x D. y 2=-4x或y 2=-36x ‎7.过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|= ( )‎ A.8 B.10 C.6 D.4‎ ‎8.把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移,所得的曲线的方程是( )‎ ‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎9.过点M(2,4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 ( )‎ ‎ A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 ‎10.过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ 的长分别是p、q,则等于 ( )‎ A.2a B. C.4a D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎11.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为 .‎ ‎12.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 .‎ ‎13.P是抛物线y 2=4x上一动点,以P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q,点Q的坐标是 .‎ ‎14.抛物线的焦点为椭圆的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共76分)‎ ‎15.已知动圆M与直线y =2相切,且与定圆C:外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(12分)‎ ‎16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.(12分)‎ ‎17.动直线y =a,与抛物线相交于A点,动点B的坐标是,求线段AB中点M的轨迹的方程.(12分)‎ ‎18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(12分)‎ ‎19.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分)‎ ‎20.已知抛物线.过动点M(,0)且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B,.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交轴于点N,求面积的最大值.(14分)‎ 参考答案 一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A D A B C B A C C C 二.填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎11.2 12. 13.(1,0) 14. ‎ 三、解答题(本大题共6题,共76分)‎ ‎15.(12分)[解析]:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为.‎ ‎16. (12分)[解析]:设抛物线方程为,则焦点F(),由题意可得 ‎ ,解之得或,‎ ‎ 故所求的抛物线方程为,‎ ‎17.(12分)[解析]:设M的坐标为(x,y),A(,),又B得 ‎ ‎ 消去,得轨迹方程为,即 ‎18.(12分)[解析]:如图建立直角坐标系,‎ 设桥拱抛物线方程为,由题意可知,‎ B(4,-5)在抛物线上,所以,得,‎ ‎ 当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA’,则A(),由 得,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以=2米 ‎19.(14分) [解析]:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.由题意可知:曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.‎ 设曲线段C的方程为,‎ ‎ 其中分别为A、B的横坐标,.‎ ‎ 所以,. 由,得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 联立①②解得.将其代入①式并由p>0解得,或.‎ 因为△AMN为锐角三角形,所以,故舍去. ∴p=4,.‎ 由点B在曲线段C上,得.综上得曲线段C的方程为.‎ ‎20.(14分) [解析]:(Ⅰ)直线的方程为,将,‎ 得 . 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、,‎ 则 又,‎ ‎∴ . ∵, ∴ . 解得 . ‎ ‎(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为,则由中点坐标公式,得 ‎, . ‎ ‎∴ . 又 为等腰直角三角形,‎ ‎∴ , ∴ ‎ 即面积最大值为 ‎1、抛物线的准线方程是 。‎ ‎2、已知是抛物线上的动点,是抛物线的焦点,则线段的中点轨迹方程是 。‎ ‎3抛物线关于直线对称的抛物线方程是 。‎ ‎4、顶点在原点,以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为____________. ‎ ‎5、25、如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为‎12米,镜深‎2米,若把盛水和食物的容器近似地看作点,则每根铁筋的长度为________米. 6.5米 ‎ ‎6、设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若则|FA|+|FB|+|FC|=(  B )‎ ‎(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3‎ ‎7、已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则 的最大值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8已知:点P与点F(2,0)的距离比它到直线+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C。(1)求曲线C的方程。‎ ‎(2)若直线L与曲线C相交于A、B两点,且OA⊥OB。求证:直线L过定点,并求出该定点的坐标。‎ 解:‎ ‎(1)解法(A):点P与点F(2,0)的距离比它到直线+4=0的距离小2,所以点P与点F(2,0)的距离与它到直线+2=0的距离相等。 ---‎ 由抛物线定义得:点在以为焦点直线+2=0为准线的抛物线上, ‎ 抛物线方程为。 ---) ‎ 解法(B):设动点,则。当时,‎ ‎,化简得:,显然,而,此时曲线不存在。当时,,化简得:。‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎, ----(1分)‎ ‎,‎ ‎,即,, ----分)‎ 直线为,所以 ----(分)‎ ‎ ----(分)‎ 由(a)(b)得:直线恒过定点。‎ ‎9、已知抛物线,椭圆经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的点,设T的坐标为(是已知正实数),求P与T之间的最短距离。‎ 解:(1)抛物线的焦点为(1,0),设椭圆方程为,则 所以椭圆方程为。‎ ‎(2)设,则 ‎ 。‎ ① 当时,,即时,;‎ ② 当时,,即时,;‎ 综上,。‎ 备注:‎ 本资料由呆哥数学亲自整理,如果需要更多的初中、高中、高考、中考干货资料,请按住CTRL并点击 www.daigemath.com 进行下载学习。‎