高考数学大题综合训练 9页

‎2019-2020年高考数学大题综合训练1 ‎ ‎1．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.‎ ‎(1)解　∵数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝22，‎ ‎∴a5＝(a2＋a8)＝11.‎ ‎∵a4，a7，a12成等比数列，‎ ‎∴a＝a4·a12，‎ 即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，‎ 又d≠0，‎ ‎∴d＝2，‎ ‎∴a1＝11－4×2＝3，‎ ‎∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－<.‎ ‎∴Tn<.‎ ‎2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.‎ ‎(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；‎ ‎(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角B－PD－C的余弦值．‎ ‎(1)证明　由ABCD是直角梯形，‎ AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，‎ 从而△BCD是等边三角形，‎ ‎∠BCD＝，BD平分∠ADC，‎ ‎∵E为CD的中点，DE＝AD＝1，‎ ‎∴BD⊥AE.‎ 又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，‎ 又PB，BD⊂平面PBD，‎ ‎∴AE⊥平面PBD.‎ ‎∵AE⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面PBD⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　方法一　作PO⊥BD于点O，连接OC，‎ ‎∵平面PBD⊥平面ABCD，‎ 平面PBD∩平面ABCD＝BD，‎ PO⊂平面PBD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，‎ 又∵PB＝PD，‎ ‎∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，‎ 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，‎ ＝(0，，－)，＝(－1,0，－)．‎ 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 令z＝1，则x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)．‎ 又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)，‎ 设二面角B－PD－C的平面角为θ，‎ 则|cos θ|＝＝＝，‎ 由图可知θ为锐角，‎ ‎∴所求二面角B－PD－C的余弦值是.‎ 方法二　作PO⊥BD于点O，连接OC，‎ ‎∵平面PBD⊥平面ABCD，‎ 平面PBD∩平面ABCD＝BD，‎ PO⊂平面PBD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，‎ 又∵PB＝PD，‎ ‎∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，‎ 作OH⊥PD于点H，连接CH，‎ 则PD⊥平面CHO，‎ 又HC⊂平面CHO，则PD⊥HC，‎ 则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．‎ 由OP＝，得OH＝，‎ ‎∴CH＝，‎ ‎∴cos∠CHO＝＝＝.‎ ‎3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/‎ 千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：‎ 日需求量 ‎140‎ ‎150‎ ‎160‎ ‎170‎ ‎180‎ ‎190‎ ‎200‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎5‎ 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．‎ ‎(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及期望；‎ ‎(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？‎ 解　(1)若A水果日需求量为140千克，‎ 则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)‎ ‎＝680(元)，‎ 且P(X＝680)＝＝0.1.‎ 若A水果日需求量不小于150千克，‎ 则X＝150×(15－10)＝750(元)，‎ 且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.‎ 故X的分布列为 X ‎680‎ ‎750‎ P ‎0.1‎ ‎0.9‎ E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743.‎ ‎(2)设该超市一天购进A水果160千克，‎ 当天的利润为Y(单位：元)，‎ 则Y的可能取值为 ‎140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，‎ 即660,730,800，‎ 则Y的分布列为 Y ‎660‎ ‎730‎ ‎800‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.‎ 因为772>743，所以该超市应购进160千克A水果．‎ 若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，‎ 同理可得X，Y的分布列分别为 X ‎670‎ ‎750‎ P ‎0.1‎ ‎0.9‎ Y ‎640‎ ‎720‎ ‎800‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ 因为670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7，‎ 所以该超市还是应购进160千克A水果．‎ ‎4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B两点作直线l：x＝的垂线，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)由题意得⇒ 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，‎ AB1与A1B的交点是.‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线AB为y＝k(x－2)，‎ 由 得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝，‎ A1，B1，‎ 所以lAB1：y＝＋y2，‎ lA1B：y＝＋y1，‎ 联立解得x＝＝ ‎＝＝，‎ 代入上式可得y＝＋y2‎ ‎＝ ‎＝＝0.‎ 综上，直线AB1与A1B过定点.‎ ‎5．设函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)当θ∈时，试比较ln(tan θ)与tan的大小，并说明理由．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)，‎ f′(x)＝ln x＋，‎ 设g(x)＝ln x＋(x>0)，则g′(x)＝，‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，‎ g(x)min＝g(1)＝1>0，‎ ‎∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，‎ 无单调递减区间．‎ ‎(2)f′(x)＝ln x＋＋1－a＝g(x)＋1－a，‎ 由(1)可知g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，‎ 则g(x)≥g(1)＝1，‎ 即f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝2－a，‎ ‎①当a≤2时，f′(x)≥0，‎ f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f(x)≥f(1)＝0满足条件；‎ ‎②当a>2时，设h(x)＝ln x＋＋1－a(x≥1)，‎ 则h′(x)＝－＝≥0(x≥1)，‎ ‎∴h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，‎ 且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0，‎ ‎∴∃x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，‎ ‎∴当x∈[1，x0)时，h(x)<0，f(x)单调递减，‎ 即当x∈[1，x0)时，f(x)≤f(1)＝0，不满足题意．‎ 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．‎ ‎(3)由(2)可知，取a＝2，‎ 当x>1时，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0，‎ 即ln x>，‎ 当01，‎ ‎∴ln>⇔<，‎ 又∵tan＝，‎ ‎∴当0<θ<时，01，‎ ln(tan θ)>tan.‎ 综上，当θ∈时，ln(tan θ)tan.‎ ‎6．已知直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程的标准形式，并把圆C的方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点M到点P的距离．‎ 解　(1)直线l的参数方程为 即(t为参数，t∈R)．‎ 由ρ＝2cos，‎ 得ρ＝2cos θ＋2sin θ，‎ ‎∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x＋2y，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)把代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得，‎ 2＋2＝2，‎ 整理得t2＋t－1＝0，‎ Δ＝5>0，t1＋t2＝－1，‎ ‎∴|MP|＝＝.‎ ‎7．(2018·宿州模拟)已知函数f(x)＝x2－|x|＋3.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3x的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)－x2≤恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－x＋3≥3x，‎ 即x2－4x＋3≥0，‎ 解得x≥3或x≤1，所以x≥3或0≤x≤1；‎ 当x<0时，f(x)＝x2＋x＋3≥3x，‎ 此不等式x2－2x＋3≥0恒成立，所以x<0.‎ 综上所述，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．‎ ‎(2)f(x)－x2≤恒成立，‎ 即－|x|＋3≤恒成立，‎ 即＋|x|≥3恒成立，‎ ‎∵＋|x|＝＋＋ ‎≥＋＝|a|＋≥|a|，‎ 当且仅当x＝0时，等号成立，‎ ‎∴|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.‎ 故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．‎