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  • 2021-05-13 发布

高考复习——变量的相关性

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一、选择题 ‎1.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程=+x中,回归系数(  )‎ A.不能小于0B.不能大于0‎ C.不能等于0D.只能小于0‎ 解析:选C.∵=0时,相关系数r=0,这时不具有线性相关关系,但能大于0也能小于0.‎ ‎2.(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(  )‎ A.63.6万元B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元 解析:选B.样本中心点是(3.5,42),则=-x=42-9.4×3.5=9.1,所以回归直线方程是=9.4x+9.1,把x=6代入得=65.5.‎ ‎3.下列说法中正确的有(  )‎ ‎①若r>0,则x增大时,y也相应增大;‎ ‎②若r<0,则x增大时,y也相应增大;‎ ‎③若r=1或r=-1,则x与y的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个点均在一条直线上.‎ A.①②B.②③‎ C.①③D.①②③‎ 解析:选C.r>0,表示两个相关变量正相关,x增大时,y也相应增大,故①正确.r<0,表示两个变量负相关,x增大时,y相应减小,故②错误.|r|越接近1,表示两个变量相关性越高,|r|=1表示两个变量有确定的关系(即函数关系),故③正确.‎ ‎4.‎ ‎(2011·高考陕西卷)设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是(  )‎ A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间 C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l过点(,)‎ 解析:选D.回归直线过样本中心点(,).‎ ‎5.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表:‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计 ‎105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是(  )‎ 参考公式:χ2= 附表:‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A.列联表中c的值为30,b的值为35‎ B.列联表中c的值为15,b的值为50‎ C.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”‎ D.根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”‎ 解析:选C.由题意知,成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75,所以c=20,b=45,选项A、B错误.根据列联表中的数据,得到χ2=≈6.109>3.841,因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”,选项C正确.‎ 二、填空题 ‎6.已知x、y的取值如下表:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从所得的散点图分析,y与x线性相关,且=0.95x+,‎ 则=________.‎ 解析:因为回归方程必过样本点的中心(,),解得=2,=4.5,将(2,4.5)代入=0.95x+a可得=2.6.‎ 答案:2.6‎ ‎7.下面是一个2×2列联表:‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a ‎21‎ ‎73‎ x2‎ ‎2‎ ‎25‎ ‎27‎ 总计 b ‎46‎ 则表中a、b处的值分别为________.‎ 解析:∵a+21=73,∴a=52.‎ 又∵a+2=b,∴b=54.‎ 答案:52、54‎ ‎8.如图所示,有5组(x,y)数据,去掉__________组数据后,剩下的4组数据的线性相关性最大.‎ 解析:因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D点离得远.‎ 答案:D 三、解答题 ‎9.(2013·丹东调研)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动.‎ ‎(1)根据以上数据建立一个2×2列联表;‎ ‎(2)判断性别与休闲方式是否有关系.‎ 解:(1)2×2列联表如下:‎ 休闲方式 性别 看电视 运动 总计 女 ‎43‎ ‎27‎ ‎70‎ 男 ‎21‎ ‎33‎ ‎54‎ 总计 ‎64‎ ‎60‎ ‎124‎ ‎(2)假设“休闲方式与性别无关”,‎ 计算χ2=≈6.201,‎ 因为χ2≥5.024,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.‎ ‎10.某个体服装店经营某种服装,一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ y ‎66‎ ‎69‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ 已知:x=280,y=45309,xiyi=3487,此时r0.05=0.754.‎ ‎(1)求,;‎ ‎(2)判断纯利润y与每天销售件数x之间是否线性相关.‎ 解:(1)=×(3+4+5+6+7+8+9)=6,‎ =×(66+69+73+81+89+90+91)≈79.86,‎ ‎(2)根据已知x=280,y=45309,xiyi=3487,‎ 得相关系数r=≈0.973.‎ 由于0.973>0.754,所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系.‎ 一、选择题 ‎1.(2011·高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:‎ 父亲身高x(cm)‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的线性回归方程为(  )‎ A.y=x-1B.y=x+1‎ C.y=88+xD.y=176‎ 解析:选C.因为==176,‎ ==176,又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(,),所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.‎ ‎2.(2012·高考湖南卷)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)‎ 具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是(  )‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(,)‎ C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg 解析:选D.当x=170时,=0.85×170-85.71=58.79,体重的估计值为58.79kg,故D不正确.‎ 二、填空题 ‎3.某市居民2008~2012年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是   ,家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系.(第二个空填“正”或“负”)‎ 解析:居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为:11.5、12.1、13、13.3、15,由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图(图略),由图可知家庭年平均收入与年平均支出具有正线性相关关系.‎ 答案:13正 ‎4.下列说法中:‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;‎ ‎②回归方程=x+必过点(,);‎ ‎③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;‎ ‎④在一个2×2列联表中,由计算得χ2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.‎ 其中错误的是________.‎ 解析:①正确.由回归方程的定义及最小二乘法思想,知②正确.③④不正确.‎ 答案:③④‎ 三、解答题 ‎5.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:‎ 年份 ‎2004‎ ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ ‎2012‎ 需求量(万吨)‎ ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a;‎ ‎(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量.‎ 解:(1)由所给数据可以看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程.为此对数据预处理如下:‎ 年份-2008‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 需求量-257‎ ‎-21‎ ‎-11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2,‎ = ‎==6.5,‎ =-=3.2.‎ 由上述计算结果,知所求回归直线方程为-257=b(x-2008)+a=6.5(x-2008)+3.2,‎ 即=6.5(x-2008)+260.2.①‎ ‎(2)利用直线方程①,可预测2014年的粮食需求量为 ‎6.5×(2014-2008)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).‎