高考数学复习立体几何学习策略更多资料关注微博高中学习资料库 5页

‎2015浙江高考数学复习立体几何学习策略 浙江省衢州高级中学何数思维工作室 何豪明 324006‎ 浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳 311100‎ 策略，百度文库给出的语义解释是：计策；谋略．因此，策略是一种法则，是发现问题，解决问题的一种方法和规则。‎ 立体几何学习策略有二。其一是数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）相互转化的学习策略；其二是寻找母体（大家都熟悉的几何体，如正方体，长方体等）的学习策略。因为几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，所以在立体几何学习策略的应用过程中，我们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．‎ ‎1. 数学语言相互转化的学习策略 数学学习，事实上就是数学语言的学习，就是（按照语言形式的外表特征分类）数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习．这种相互转化，有助于学生数学思维的训练，有助于学生实用知识的获取，有助于学生文化素养的提升，学生在数学语言相互转化的过程中学习对立统一的辩证思维，从而学会数学地阅读，数学地理解，数学地交流．‎ 文字语言：文字语言是用自然语言来表达数学知识的语言，这种语言必须做到严谨、精确。‎ 符号语言：符号语言是用一些数学概念、定理、运算法则的缩写、代码组成来表达数学知识的语言，它避免了日常语言的繁复、冗长或含混不清，“具有无可比拟的更大的万能性”。‎ 图形语言：图形语言是用数学图表来表达数学事实的语言，是进行抽象思维的重要工具，是数学形象思维的载体和中介，是数学思维的重要材料和结果。‎ ‎ 1. （2014广东文）若空间中四条两两不同的直线、、、，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）‎ ‎ A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定 ‎【解析】如图，在正方体中，取为，为，取为，为，‎ ‎ ‎ 则；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此、的位置关系不确定。选D.‎ ‎2 ．（2013年新课标2理）已知为异面直线,平面,平面.直 线满足,则（　　）‎ A．,且 B．,且 C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于 ‎【解析】 在母体（正方体或长方体）中直观感知，操作确认。选D。 ‎ ‎3． （2013年浙江理）在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记 ‎.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则（　　）‎ A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为 C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为 ‎ ‎【解析】 设，根据题意，得,点是垂足。因为，所以,点是垂足。同理，若,得点是垂足，因此表示，点是垂足，因为对任意的点，恒有，所以点与重合，因此，四边形是矩形，且是二面角的平面角，因为是直角，所以（图形语言在草稿纸上完成）。选。‎ ‎ 评析：这种类型的高考立体几何试题，常用的解题策略是把题目中的符号语言（或文字语言）转化为文字语言（或符号语言）和图形语言，然后在母体中直观感知，操作确认，思辨论证。‎ ‎2. 寻找母体的学习策略 高考对立体几何的考查，每年的题目各不相同，但在“大家都熟悉的几何体”中考查的理念始终没有改变，我们把“大家都熟悉的几何体”称作“母体”，此处的“母体”是指正方体和长方体．因此，求解立体几何问题，必须寻找“母体”．在此基础上，通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．下面选择典型的高考立体几何试题，让我们在解题过程中一起感悟寻找“母体”的解题策略．‎ ‎4. (2012辽宁理)已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为________。‎ ‎【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图，因为正方体内接于球，所以正方体的体对角线为球的直径且垂直平面，球心在正方体对角线的中点。故球心到截面的距离为球的半径（）减去正三棱锥的高。故球心到截面的距离为。‎ ‎ 5. （2014新课标1理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ ‎【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图，正方体的棱长为4，符合条件的三棱锥为，因此最长的棱的长度为＝。选B。‎ ‎6. （2014辽宁理）如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【解析】由条件可知，三棱锥可以看成是长方体中的一部分，如图，由长方体的性质可知，，又∥，所以。‎ 寻找长方体为母体，只要作于，再作于，连结，得到为二面角的平面角，易得，，在直角中，求得＝，在直角中，，求得。‎ ‎7. （2014新课标2理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.‎ ‎（1）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.‎ ‎【解析】 如图，在长方体中直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。‎ ‎（1） 证明：略。‎ ‎（2） 由条件可知，四棱锥可以看作是长方体中的一部分，过点作 于，连结，则，所以，又因为，所以，因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积 ‎。‎ ‎【评析】通过解题体验，我们可以感悟到：一般几何体都可以寻找到它的母体，关键是你的感悟是否深刻，比如已知条件中有共顶点的三条棱两两互相垂直，线面垂直，两个平面互相垂直等，在这些已知条件中寻找母体，则相对要简单些，如例4,例6,例7。有些题目，已知条件中只给出对称关系等位置关系，在这些已知条件中寻找母体，则难度相对大些，如例5，例6.但是，不管怎么样，寻找母体的解题策略肯定是行之有效的好方法，解题时常常会收到意想不到的效果。‎ 事实上，寻找母体的过程也就是建立空间直角坐标系的过程（例6（2）和例7（2）的空间向量法略）。寻找母体的解题策略有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和推理论证能力。而建立空间直角坐标系，利用向量法，将几何问题代数化，则是几何机械化的开端。‎ 在立体几何的学习过程中，我们应该遵循直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算的认识方法把握几何体的特征，同时把数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习策略贯穿其中，这样，可以极大地提高学生数学语言的应用能力，提高学生的数学素养。‎