高考数学复习好题精选 正弦定理和余弦定理 6页

正弦定理和余弦定理 题组一 正、余弦定理的简单应用 ‎1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ (　　)‎ A．2 B．4＋‎2‎ C．4－2 D.－ 解析：如图所示．‎ 在△ABC中，由正弦定理得 ‎=4，‎ ‎∴b=2.‎ 答案：A ‎2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝‎2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．‎ 解析：由正弦定理得＝.‎ 即＝.∴＝2.‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴0＜A＜，0＜‎2A＜，0＜π－‎3A＜，解得＜A＜.‎ 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．‎ 答案：2　(，)‎ ‎3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.‎ 解：由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccosA.‎ 又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①‎ 又sinAcosC＝3cosAsinC，‎ sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，‎ sin(A＋C)＝4cosAsinC，‎ sinB＝4sinCcosA.‎ 由正弦定理得sinB＝sinC，‎ 故b＝4ccosA.②‎ 由①、②解得b＝4.‎ 题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 ‎4.(2010·天津模拟)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 (　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴a2＋c2－b2＝‎2a2，即a2＋b2＝c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 答案：B ‎5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 (　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．‎ 由2sinAcosB＝sinC，‎ 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，‎ 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.‎ 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.‎ 所以△ABC是等腰三角形．‎ 法二：利用正弦定理和余弦定理 ‎2sinAcosB＝sinC可化为 ‎2a‎·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，‎ 即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．‎ 答案：B 题组三 三角形面积公式的应用 ‎6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 (　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，‎ ‎∴C＝或，A＝或，∴S＝或.‎ 答案：D ‎7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝ (　　)‎ A. B. C. D. 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos‎2A＝1，∴cosA＝.‎ 答案：B ‎8．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)若c＝1，求a的值．‎ 解：(1)因为cos＝，‎ 所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.‎ 又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.‎ 因此S△ABC＝bcsinA＝2.‎ ‎(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，‎ 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.‎ 题组四 正、余弦定理的综合应用 ‎9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是 (　　)‎ A．5 B．‎6 ‎‎ C．7 D．8‎ 解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，‎ 得10＝bcsin60°，得bc＝40.‎ 又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，‎ 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°‎ ‎＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，‎ 故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.‎ 答案：C ‎10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 (　　)‎ A．60° B．75° C．90° D．115°‎ 解析：不妨设a为最大边．由题意，‎ ＝＝，‎ 即＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎(3－)sinA＝(3＋)cosA，‎ ‎∴tanA＝2＋，∴A＝75°.‎ 答案：B ‎(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 (　　)‎ A．(1,2) B．(1，) C．(，2) D．(，)‎ 解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，‎ ‎∴∴＜B＜，‎ ‎∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，‎ ＝＝2cosB∈(，)．‎ 答案：D ‎11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.‎ 解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，‎ ‎∴tanA＝，∴A＝.‎ ‎∵acosB＋bcosA＝csinC，‎ ‎∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin‎2C，∴sinC＝sin‎2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.‎ ‎∴C＝，∴B＝.‎ 答案： ‎12．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝ ‎(1)判断△ABC的性状；‎ ‎(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．‎ 解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin‎2C，‎ ‎∴B＝‎2C，且B＋‎2C＝π，‎ 若B＝‎2C，＜C＜，‎ ‎∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；‎ ‎∴B＋‎2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋‎2ac·cosB＝4，‎ ‎∴cosB＝(∵a＝c)，‎ 而cosB＝－cos‎2C，＜C＜，‎ ‎∴＜cosB＜1，‎ ‎∴1＜a2＜，‎ 又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．‎ ‎(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.‎ ‎(1)求C的大小；‎ ‎(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．‎ 解：(1)m·n＝cos2－sin2＝cosC，‎ 又m·n＝|m||n|cos＝，‎ 故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.‎ ‎(2)S＝absinC＝absin＝ab，‎ 又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.‎ ‎∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，‎ ‎∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab.‎ ‎∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝，‎ ‎∴a＋b＝.‎