全国高考文科数学试题及答案-湖北卷 14页

‎2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）‎ 数学（文史类）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。‎ ‎1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=‎ A. ‎3a+b B. ‎3a-b C.-a+3b D. a+3b ‎【答案】B ‎2. 函数的反函数是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎3.“sin=”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 ‎【答案】C ‎【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C ‎5. 已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=‎ A.3 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.‎ ‎6. 如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 ‎【答案】B ‎【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故故选B.‎ ‎9. 设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列 ‎10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B‎.1024 ‎‎ C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。‎ ‎11. 已知,则b= . ‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】因为∴ .解得 ‎12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。‎ ‎【答案】0.24 0.96‎ ‎【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为（1-0.8）×（1-0.6）×（1-0.5）=0.04，所以，三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96‎ ‎13. 设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易得A= B= ∴A∩B=.‎ ‎14. 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 ‎15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。 ‎ 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ，数据落在[2，10）内的概率约为 。‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】观察直方图易得两个频率为,频率为 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分） ‎ ‎ 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。‎ 本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法，考查基本运算能力。（满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：由及正弦定理得，‎ 是锐角三角形，‎ ‎（Ⅱ）解法1：由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得 ③‎ 将①代入③得，故 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎ 围建一个面积为‎360m2‎的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元)。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数：‎ ‎（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ ‎17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为m，‎ 则-45x-180(x-2)+180·‎2a=225x+‎360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎.当且仅当225x=时，等号成立.‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面,，点是上的点，且 ‎(Ⅰ)求证：对任意的（0、1]，都有；‎ ‎(Ⅱ)若二面角的大小为600，求的值。‎ ‎18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证法1：连接，由底面是正方形可得ACBD。‎ SD平面，BD是BE在平面上的射影，‎ 由三垂线定理得 ‎(Ⅱ)‎ 解法1：SD平面，平面， SDCD.‎ 又底面是正方形，，又，CD平面 过点D在平面内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。‎ 于是，‎ 在Rt△CDF中，由cot60°=‎ 得，即=3‎ ‎， 解得=‎ ‎(Ⅰ)证法2：以D为原点，的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 即对任意的（0，1]，都有 ‎(Ⅱ)解法2：为平面的一个法向量 设平面的一个法向量为，‎ 则 ‎∴即 取，得 ‎∴‎ 由（0，1]，解得 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知{}是一个公差大于0的等差数列，且满足 ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）若数列{}和数列{}满足等式：＝，求数列{}的前n项和 ‎（Ⅰ）解法一：设等差数列的公差为d，则依题设d>0‎ 由，得 ①‎ 由得 ②‎ 由①得将其代入②得，‎ 即 解法二：由等差数列的性质得：，∴‎ 由韦达定理知，是方程的根，‎ 解方程得或 设公差为，则由，得 ‎∵，∴‎ 故 ‎（Ⅱ）解法一：当时，，∴‎ 当时，‎ 两式相减得，∴‎ 因此 当时，；‎ 当时，‎ ‎∵当时上式也成立，‎ ‎∴当为正整数时都有 解法二：令 两式相减得由（Ⅰ）得 于是 ‎=-4=‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 如图，过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线作垂线，垂足分别为M1、N1 ‎ ‎（Ⅰ）求证：FM1⊥FN1:‎ ‎（Ⅱ）记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论。‎ 本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）‎ ‎（Ⅰ）证法1：由抛物线的定义得 ‎ 2分 如图，设准线与轴的交点为 而 即 故 证法2：依题意，焦点为准线的方程为 设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有 由 得 于是，，‎ ‎，故 ‎（Ⅱ）成立，证明如下：‎ 证法1：设，则由抛物线的定义得 ‎，于是 将与代入上式化简可得 ‎，此式恒成立。‎ 故成立。‎ 证法2：如图，设直线的倾角为，‎ 则由抛物线的定义得 于是 在和中，由余弦定理可得 由（I）的结论，得 即，得证。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知关于x的函数,其导函数为.令,记函数在区间[-1、1]上的最大值为.‎ ‎(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值；‎ ‎（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。‎ ‎21．本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想（满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值；‎ 若，则 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。‎ ‎（Ⅱ）证法1：‎ 当时，函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设，则 将上述两式相加得：‎ ‎，导致矛盾，‎ ‎（Ⅲ）解法1：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，‎ 此时 由有 ‎①若则，‎ 于是 ‎②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。‎ 解法2：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数的对称轴位于区间内，‎ 此时 ‎，即 下同解法1‎