高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选含答案 6页

向 量 ‎1.向量的概念 ‎(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；‎ 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. ‎(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. ‎(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O. 单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1. ‎(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）‎ ‎(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0‎ ‎(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. ‎2..向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 ‎1.平行四边形法则 ‎2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 ‎,‎ 数 乘 向 量 ‎1.是一个向量,满足:‎ ‎2.>0时, 同向;‎ ‎<0时, 异向;‎ ‎=0时, .‎ 向 量 的 数 量 积 是一个数 ‎1.时，‎ ‎.‎ ‎2. ‎ ‎3.向量加法运算：‎ ⑴三角形法则的特点：首尾相连．‎ ⑵平行四边形法则的特点：共起点．‎ ⑶三角形不等式：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ⑷运算性质：①交换律：；‎ ②结合律：；③．‎ ⑸坐标运算：设，，则．‎ ‎4.向量减法运算：‎ ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．‎ ⑵坐标运算：设，，则．‎ 设、两点的坐标分别为，，则．‎ ‎5.向量数乘运算：‎ ⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．‎ ①；‎ ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．‎ ⑵运算律：①；②；③．‎ ⑶坐标运算：设，则．‎ ‎6.向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．‎ 设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．‎ ‎7.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）‎ ‎8.分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当 时，点的坐标是．（当 ‎9.平面向量的数量积：‎ ⑴．零向量与任一向量的数量积为．‎ ⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．‎ ⑶运算律：①；②；③．‎ ⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．‎ 若，则，或． 设，，则．‎ 设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．‎ ⑤线段的定比分点公式：（和）‎ 设 =（或=），且的坐标分别是，则 推广1：当时，得线段的中点公式：‎ 推广2：则（对应终点向量）．‎ 三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：‎ 注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件．‎ ⑥平移公式：若点P按向量=平移到P‘，则 ‎4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则．‎ ‎ （2）余弦定理： （3）正切定理：‎ ‎ （4）三角形面积计算公式：‎ ‎ 设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．‎ ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ‎ ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式]‎ ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb ‎[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．‎ 如图：图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 附：三角形的五个“心”；‎ 重心：三角形三条中线交点．‎ 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．‎ 内心：三角形三内角的平分线相交于一点．‎ 垂心：三角形三边上的高相交于一点．‎ 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．‎ （5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]，则：①AE==1/2（b+c-a）‎ ②BN==1/2（a+c-b）‎ ③FC==1/2（a+b-c）‎ 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．‎ 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）． ‎ （6）在△ABC中，有下列等式成立．‎ 证明：因为所以，所以，结论！‎ （7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则．‎ 证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①‎ 在△ABC中，由余弦定理有②，‎ ‎②代入①，化简可得，（斯德瓦定理）‎ ①若AD是BC上的中线，；‎ ②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；‎ ③若AD是BC上的高，，其中为半周长．‎ （8）△ABC的判定：‎ ‎△ABC为直角△∠A + ∠B =‎ ‎＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜‎ ‎＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞‎ 附：证明：，得在钝角△ABC中，‎ （9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．‎ ‎09-13高考真题 ‎09.7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=‎ A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b ‎【答案】B ‎10.8. 已知和点M满足.若存在实使得成立，则=B A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎11.2． 若向量，，则与的夹角等于 A． B． C． D． ‎ ‎【详细解析】 分别求出与的坐标，再求出，，带入公式求夹角。‎ ‎【考点定位】 考查向量的夹角公式cosθ=,属于简单题.‎ ‎12.13 .已知向量,则 ‎(1)与同向的单位向量的坐标表示为___；‎ ‎(2)向量与向量夹角的余弦值为____‎