高考文科数学知识点总结精编 17页

‎ 高考文科数学知识点总结 集合与简易逻辑 知识回顾：‎ （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.‎ 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.‎ 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. ‎ ‎3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.‎ ‎②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.‎ ‎(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 ‎1.含绝对值不等式的解法 ‎（1）公式法：,与型的不等式的解法.‎ ‎（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.‎ ‎（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.‎ 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；‎ ‎②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数 ‎（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ‎ 无实根 ‎ ‎ ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（三）简易逻辑 ‎1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。‎ ‎2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：‎ ‎“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。‎ 构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 ‎ ‎3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 ‎（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；‎ ‎（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；‎ ‎（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．‎ ‎4、四种命题的形式：‎ 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；‎ 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。‎ ‎6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。‎ 若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.‎ 函数 知识回顾：‎ （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 ‎2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.‎ ‎（二）函数的性质 ‎⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,‎ ‎⑴若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.‎ 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.‎ ‎2.函数的奇偶性 ‎4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：‎ ‎（三）指数函数与对数函数 指数函数的图象和性质 a>1‎ ‎00时，y>1;x<0时，00时，01.‎ ‎（5）在 R上是增函数 ‎（5）在R上是减函数 ‎⑴对数运算 对数函数的图像和性质 ‎.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.‎ ‎.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③换元法；④不等式法；⑤函数的单调性法. ‎ ‎ 数列 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ‎；‎ ‎；‎ 通项公式 ‎（）‎ 前项和 重要性质 看数列是不是等差数列有以下方法：‎ ‎①‎ ‎②2()‎ ‎ ‎ ‎⑶看数列是不是等比数列有以下方法：‎ ‎①‎ ‎②(，)①‎ 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。‎ ‎（三）、数列求和的常用方法 ‎1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。‎ ‎ 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。‎ ‎ 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.‎ ‎5.常用结论 ‎ 三角函数 ‎1. 三角函数的定义域：‎ 三角函数 ‎ 定义域 sinx cosx tanx ‎2、同角三角函数的基本关系式： ‎ ‎3、诱导公式：‎ ‎“奇变偶不变，符号看象限”‎ ‎ 三角函数的公式：（一）基本关系 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：‎ 定义域 R R 值域 R 周期性 ‎ ‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 上为增函数；上为减函数（）‎ ‎；上为增函数 上为减函数 ‎（）‎ 上为增函数（）‎ ‎②或（）的周期.‎ ‎④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.‎ 奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）‎ 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）‎ 奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）‎ ‎⑨不是周期函数；为周期函数（）；‎ 是周期函数（如图）；为周期函数（）；‎ 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： ‎ ‎.‎ 三角函数图象的作法：‎ ‎1）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.‎ ‎2）、利用图象变换作三角函数图象．‎ 平面向量 ‎ 向量的概念 ‎(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；‎ 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. ‎(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. ‎(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O. 单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1. ‎(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）‎ ‎(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0‎ ‎(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b ‎.平行向量也称为共线向量. ‎3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 ‎1.平行四边形法则 ‎2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 ‎,‎ 数 乘 向 量 ‎1.是一个向量,满足:‎ ‎2.>0时, 同向;‎ ‎<0时, 异向;‎ ‎=0时, .‎ 向 量 的 数 量 积 是一个数 ‎1.时，‎ ‎.‎ ‎2. ‎ ‎4.重要定理、公式 ‎(1)平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，‎ λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ‎(2)两个向量平行的充要条件 a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O. ‎(3)两个向量垂直的充要条件 a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O. 中点公式＝（＋）或 正、余弦定理 正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 三角形面积计算公式：‎ 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 不等（等）号的定义：‎ ‎2.不等式的基本性质 ‎（1）（对称性）（2）（传递性）‎ ‎（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）‎ ‎（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）‎ ‎（11）（平方法则）（12）（开方法则）‎ ‎3.几个重要不等式 ‎（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ 极值定理：若则：‎ 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ‎ 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.‎ ‎ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ‎ ‎（当仅当a=b=c时取等号）‎ ‎（当仅当a=b时取等号）‎ 不等式证明的几种常用方法 ‎ 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.‎ 不等式的解法 ‎ 直线和圆的方程 一、直线方程.‎ ‎1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.‎ 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.‎ ‎②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.‎ ‎2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.‎ ‎3. ⑴两条直线平行：‎ ‎∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.‎ ‎（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）‎ 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ‎ ‎⑵两条直线垂直：‎ 两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）‎ ‎. 点到直线的距离：‎ ‎⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.‎ 注：‎ 1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.‎ 特例：点P(x,y)到原点O的距离：‎ 2. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:‎ 3. 过两点. ‎ 当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率 ‎⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.‎ ‎7. 关于点对称和关于某直线对称：‎ ‎⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.‎ ‎⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.‎ 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.‎ ‎⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.‎ 二、圆的方程.‎ 如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 ‎ ‎2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.‎ 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.‎ ‎3. 圆的一般方程： .‎ 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.‎ 当时，方程表示一个点.‎ 当时，方程无图形（称虚圆）.‎ ‎4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.‎ ‎①在圆内 ‎②在圆上 ‎③在圆外 ‎5. 直线和圆的位置关系：‎ ‎ 设圆圆：； 直线：；‎ ‎ 圆心到直线的距离.‎ ‎①时，与相切；‎ 附：若两圆相切，则相减为公切线方程.‎ ‎②时，与相交；‎ 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为.‎ ‎③时，与相离. ‎ 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：‎ 与相切；‎ 与相交；‎ 与相离.‎ 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.‎ 圆锥曲线方程 一、椭圆方程.‎ ‎1. 椭圆方程的第一定义：‎ ‎⑴①椭圆的标准方程：‎ i. 中心在原点，焦点在x轴上：.‎ ii. ‎ ii. 中心在原点，焦点在轴上：. ‎ ‎②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.‎ ‎⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 二、双曲线方程.‎ ‎1. 双曲线的第一定义：‎ ‎⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.‎ ‎⑵①i. 焦点在x轴上： ‎ 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或 ‎②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）‎ ‎⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.‎ 三、抛物线方程.‎ ‎3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：‎ 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎ （0，0）‎ 离心率 焦点 注：通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.‎ ‎ 四、圆锥曲线的统一定义..‎ ‎：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 ‎1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 ‎1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 ‎2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）‎ 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.‎ 图形 方 程 标准方程 ‎(>0)‎ ‎(a>0,b>0)‎ y2=2px 范围 ‎─a£x£a，─b£y£b ‎|x| ³ a，yÎR x³0‎ 中心 原点O（0，0）‎ 原点O（0，0）‎ 顶点 ‎(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)‎ ‎(a,0), (─a,0)‎ ‎(0,0)‎ 对称轴 x轴，y轴；‎ 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;‎ 实轴长2a, 虚轴长2b.‎ x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0)‎ F1(c,0), F2(─c,0)‎ 焦距 ‎2c （c=）‎ ‎2c （c=）‎ 离心率 e=1‎ 准线 x=‎ x=‎ 渐近线 y=±x 焦半径 通径 ‎2p 数学探索©版权所有www.delve.cn立体几何 平面.‎ ‎1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.‎ 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.‎ ‎2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）‎ ‎3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）‎ 一、 空间直线.‎ ‎1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 ‎2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）‎ ‎3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ‎ ‎4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围）‎ ‎ （直线与直线所成角）‎ ‎ （斜线与平面成角）‎ ‎ （直线与平面所成角）‎ ‎（向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.‎ 二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.‎ ‎1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.‎ ‎2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）‎ ‎[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）‎ ‎②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）‎ ‎③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）‎ ‎④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）‎ ‎⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）‎ ‎⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）‎ ‎⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）‎ ‎3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）‎ 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.‎ 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.‎ ‎[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）‎ ‎②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）‎ ‎③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）‎ 一、 平面平行与平面垂直.‎ ‎1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.‎ ‎2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）‎ 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.‎ ‎[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.‎ ‎3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）‎ ‎4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.‎ 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）‎ 四． 空间几何体 ‎.异面直线所成角的求法：‎ ‎（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；‎ ‎（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；‎ ‎.直线与平面所成的角 ‎.二面角的求法 ‎.空间距离的求法（求点到直线的距离）‎ 转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；‎ 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；‎ ‎ 概率 知识要点 ‎ 1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.‎ ‎2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.‎ ‎3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.‎ ‎②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.‎ 注意：i.对立事件的概率和等于1：. ‎ ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.‎ ‎③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). ‎ 回归分析和独立性检验 第一步：提出假设检验问题　　H：吸烟与患肺癌没有关系 H：吸烟与患肺癌有关系 第二步：选择检验的指标　　（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.‎ 回归直线方程的求法：‎ ‎ ‎ ‎ 导 数 ‎1. 导数的几何意义：‎ 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为 ‎2. 求导数的四则运算法则：‎ ‎（为常数）‎ 注： 必须是可导函数.‎ ‎4. 函数单调性：‎ ‎⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则 为增函数；如果＜0，则为减函数.‎ ‎⑵常数的判定方法；‎ 如果函数在区间内恒有=0，则为常数.‎ 零点定理 ‎ ‎⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.‎ 注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.‎ ‎②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.‎ ‎6. 极值的判别方法：‎ 注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.‎ 例如：函数，使=0，但不是极值点.‎ ‎②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.‎ ‎8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.‎ 注：函数的极值点一定有意义.‎ ‎9. 几种常见的函数导数：‎ 复数 ‎1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.‎ ‎⑵常用的结论：‎ ‎ ‎