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- 2021-05-13 发布
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D C
AE B
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合 , ,则 ( )
A、 B、 C、 D、
2、 的展开式中 的系数是( )
A、21 B、28 C、35 D、42
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、
乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 ,其中甲社
区 有 驾 驶 员 96 人 。 若 在 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 社 区 抽 取 驾 驶 员 的 人 数 分 别 为
12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 为( )
A、101 B、808 C、1212 D、2012
4、函数 的图象可能是( )
5、如图,正方形 的边长为 ,延长 至 ,使 ,连接 、 则
( )
A、 B、 C、 D、
6、下列命题正确的是( )
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
{ , }A a b= { , , }B b c d= A B =
{ }b { , , }b c d { , , }a c d { , , , }a b c d
7(1 )x+ 2x
N
N
( 0, 1)xy a a a a= − > ≠
ABCD 1 BA E 1AE = EC ED sin CED∠ =
3 10
10
10
10
5
10
5
15
7、设 、 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( )
A、 且 B、 C、 D、
8、若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是( )
A、12 B、26 C、28 D、33
9、已知抛物线关于 轴对称,它的顶点在坐标原点 ,并且经过点 。若点 到
该抛物线焦点的距离为 ,则 ( )
A、 B、 C、 D、
10、如图,半径为 的半球 的底面圆 在平面 内 ,
过点 作平面 的垂线交半球面于点 ,过圆 的 直 径
作平面 成 角的平面与半球面相交,所得交 线 上
到平面 的距离最大的点为 ,该交线上的一点 满足 ,则 、 两点间的球
面距离为( )
A、 B、 C、 D、
11、方程 中的 ,且 互不相同,在所有这些方程所表示
的曲线中,不同的抛物线共有( )
A、28 条 B、32 条 C、36 条 D、48 条
12、设函数 , 是公差不为 0 的等差数列, ,
则 ( )
A、0 B、7 C、14 D、21
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸的相应位
置上。)
a b
| | | |
a b
a b
=
| | | |a b= //a b a b= − //a b 2a b=
,x y
3,
2 12,
2 12
0
0
x y
x y
x y
x
y
− ≥ −
+ ≤ + ≤
≥
≥
3 4z x y= +
x O 0(2, )M y M
3 | |OM =
2 2 2 3 4 2 5
R O O α
O α A O
CD α 45
α B P 60BOP∠ = A P
2arccos 4R 4
Rπ 3arccos 3R 3
Rπ
2 2ay b x c= + , , { 2,0,1,2,3}a b c∈ − , ,a b c
3( ) ( 3) 1f x x x= − + − { }na 1 2 7( ) ( ) ( ) 14f a f a f a+ +⋅⋅⋅+ =
1 2 7a a a+ +⋅⋅⋅+ =
α C
A
O
D
B
P
13、函数 的定义域是____________。(用区间 表示)
14、如图,在正方体 中, 、 分别是 、 的
中点,则异面直线 与 所成的角的大小是____________。
15、椭圆 为定值,且 的的左焦点为 ,直 线
与椭圆相交于点 、 , 的周长的最大值是 12,则该椭 圆的离
心率是______。
16、设 为正实数,现有下列命题:
①若 ,则 ;
②若 ,则 ;
③若 ,则 ;
④若 ,则 。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或
演算步骤。)
17、(本小题满分 12 分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) 和 ,系统 和系统
在任意时刻发生故障的概率分别为 和 。
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 的值;
(Ⅱ)求系统 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概
率。
18、(本小题满分 12 分)
已知函数 。
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值。
19、(本小题满分 12 分)
如图,在三棱锥 中, , , ,点 在平面
内的射影 在 上。
(Ⅰ)求直线 与平面 所成的角的大小;
(Ⅱ)求二面角 的大小。
1( )
1 2
f x
x
=
−
1 1 1 1ABCD A B C D− M N CD 1CC
1A M DN
2 2
2 1(5
x y aa
+ = 5)a > F x m=
A B FAB∆
,a b
2 2 1a b− = 1a b− <
1 1 1b a
− = 1a b− <
| | 1a b− = | | 1a b− <
3 3| | 1a b− = | | 1a b− <
A B A B
1
10 p
49
50 p
A
2 1( ) cos sin cos2 2 2 2
x x xf x = − −
( )f x
3 2( ) 10f α = sin 2α
P ABC− 90APB∠ = 60PAB∠ = AB BC CA= = P ABC
O AB
PC ABC
B AP C− −
N
M
B1A1
C1D1
B
D C
A
A B
C
P
20、(本小题满分 12 分)
已知数列 的前 项和为 ,常数 ,且 对一切正整数 都成立。
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 , ,当 为何值时,数列 的前 项和最大?
21、(本小题满分 12 分)
如图,动点 与两定点 、 构成 ,且直线 的斜率之积为 4,
设动点 的轨迹为 。
(Ⅰ)求轨迹 的方程;
(Ⅱ)设直线 与 轴交于点 ,与轨迹 相交于点 ,且 ,求
的取值范围。
{ }na n nS 0λ > 1 1n na a S Sλ = + n
{ }na
1 0a > 100λ = n 1{lg }
na n
M ( 1,0)A − (1,0)B MAB∆ MA MB、
M C
C
( 0)y x m m= + > y P C Q R、 | | | |PQ PR<
| |
| |
PR
PQ y
xBA O
M
22、(本小题满分 14 分)
已知 为正实数, 为自然数,抛物线 与 轴正半轴相交于点 ,设
为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。
(Ⅰ)用 和 表示 ;
(Ⅱ)求对所有 都有 成立的 的最小值;
(Ⅲ)当 时,比较 与
的大小,并说明理由。
a n 2
2
nay x= − + x A ( )f n
A y
a n ( )f n
n ( ) 1
( ) 1 1
f n n
f n n
− ≥+ + a
0 1a< < 1 1 1
(1) (2) (2) (4) ( ) (2 )f f f f f n f n
+ +⋅⋅⋅+− − −
(1) ( 1)6 (0) (1)
f f n
f f
− +
−