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- 2021-05-13 发布
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理科数学试卷
请注意基础学习
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
(1)设复数 Z 满足
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题
(A) (B) (C) (D)
(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少 2 次命中才能通过测试,已知某同学每次投篮命中的
概率为 0.6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知 是双曲线 C: 上的一点, 两个焦点,
若 ,则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(6)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,
书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,
高五尺,问:积及米几何?”,其意为:“在屋内角处堆放
米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一),米堆底部的
弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的的体积和米堆
放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为 1.62 立方
尺,圆周率约为 3,估算出米堆的米约为
(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛
(7)设 D 为 , ,则
=则=- ZZ
Z ,i1
1+
2 3
=− 0000 10sin160cos10cos20sin
2
3-
2
3
2
1-
2
1
为则 PnNnP n ¬>∈∃ ,2,: 2
nnNn 2, 2 >∈∀ nnNn 2, 2 ≤∈∃ nnNn 2, 2 ≤∈∀
nnNn 2, 2=∈∃
),( 00 yxM 12
2
2
=− yx 的是双曲线CFF 21 ,
021 <⋅MFMF 0y
)3
3,3
3(− )6
3,6
3(− )3
22,3
22(− )3
32,3
32(−
所在平面内一点ABC∆ CDBC 3=
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数 的部分图像如图所示,则 的单调减区间为
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)执行右边的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10) 的展开式中, 的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个
几何休,该几何体的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的
表面积为 16+20π,则 r=
(A)1 (B)2
(C)4 (D)8
(12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整
数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( )
(A)[- - ,1) (B) [- , ) (C) [ , ) (D) [ ,
1)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)若函数 .
(14)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半
轴上,则该圆的标准方程为 。
ACABAD 3
4
3
1 +−= ACABAD 3
4
3
1 -=
ACABAD 3
1
3
4 += ACABAD 3
1
3
4 -=
)cos()( ϕω += xxf )(xf
Zkkk ∈+− ,4
3,4
1 )( ππ
Zkkk ∈+− ,4
32,4
12 )( ππ
Zkkk ∈+− ,4
3,4
1 )(
Zkkk ∈+− ,4
32,4
12 )(
52 )( yxx ++ 25 yx
=++= axaxxxf 为偶函数,则)ln()( 2
1416
22
=+ yx
(15)若 ,则 的最大值为 。
(16)在平面四边形 ABCD 中, ,BC=2,则 AB 的取值范围是 。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分) 是数列 的前 n 项和,已知 ,
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 求数列 的前 n 项和.
(18)(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,
,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,
, ,
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成有的余弦值。
(19)(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费,需了解年宣传
费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润(单位:千元)的影响,对近 8 年的年
宣传费 和对年销售量 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量
的值,
≤−+
≤−
≥−
04
0
01
,
yx
yx
x
yx 满足约束条件
x
y
075=== CBA ∠∠∠
nS { }na 0>na 3422 +=+ nnn Saa
{ }na
,1
1+
=
nn
n aab }{ nb
0120=ABC∠
ABCDBE 平面⊥ ABCDDF 平面⊥
ECAEDFBE ⊥,=2
AFCAEC 平面平面 ⊥
ix )8,,2,1( ⋅⋅⋅=iyi
x y w ∑
=
−
8
1
2)(
i
i xx ∑
=
−
8
1
2)w(
i
i w ∑
=
−−
8
1
))((
i
ii yyxx ∑
=
−−
8
1
))(w(
i
ii yyw
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中
(Ⅰ)根据散点图,判断 哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x
的回归类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 与 x 的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品年利润 z 与 x,y 之间的关系为 z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答问题
(i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值为多少?
(ii)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v= u
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: 与直线
交于 M,N 两点。
(Ⅰ)当 时,分别求 C 在 M 点和 N 点处的切线方程;
(Ⅱ) ,使得当 变动时,总有 ?说明理由。
(21)(本小题满分 12 分)已知函数
(Ⅰ)当 为何值时, 轴为曲线 的切线;
(Ⅱ)用 表示 中的最小值,设函数 讨论函数
零点的个数。
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答
时请写清题号。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
∑
=
==
8
18
1
i
iii wwxw ,
xdcybxay +=+= 与
α β+
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
u u v v
v u
u u
β α β=
=
− −
= = −
−
∑
∑
4
2xy =
)( 0: >+= aakxyl
0=k
Py轴上是否存在点 k OPNOPM ∠∠ =
.ln)(,4
1)( 3 xxgaxxxf −=++=
a x )(xfy =
{ }nm,min nm, { } )0()(),(min)( >= xxgxfxh
)(xh
如图,AB 是圆为的直径,AC 是圆 O 的切线,BC 交圆 O 与点 E,
(Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是圆 O 的切线;
(Ⅱ)若 ,求 的大小。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 , ,以坐标原点
为极点, 轴的正半轴为级轴建立极坐标系
(Ⅰ)求 的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线 ,设 ,求
的面积。
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 , 。
(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 的取值范围。
CEOA 3= ACB∠
2−=x 1)2()1(: 22
2 =−+− yxC圆
x
21,CC
)(=的极坐标方程为 RC ∈ρπθ
43 NMCC ,的交点为与 32
MNC2∆
axxxf −−+= 21)( 0a >
1a = 1)( >xf
)(xf a
答案
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
(1) 设复数 z 满足 =i,则|z|=
(A)1 (B) (C) (D)2
【答案】A
(2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ,故选 D.
(3)设命题 P: n N, > ,则 P 为
(A) n N, > (B) n N, ≤
(C) n N, ≤ (D) n N, =
【答案】C
【解析】 : ,故选 C.
(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次
投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概
率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 =0.648,
故选 A.
(5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 上的一点,F1、F2 是 C 上的两
个焦点,若 <0,则 y0 的取值范围是
(A)(- , ) (B)(- , )
1+z
1 z−
2 3
3
2
− 3
2
1
2
− 1
2
1
2
∃ ∈ 2n 2n ¬
∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n
∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n
p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤
2 2 3
3 0.6 0.4 0.6C × +
2 2 12
x y− =
1MF • 2MF
3
3
3
3
3
6
3
6
(C)( , ) (D)( , )
【答案】A
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今
有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙
角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),
米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”
已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有
A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
【答案】B
【解析】学科网
设圆锥底面半径为 r,则 = ,所以米堆的体积为 =
,故 堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B.
(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ,则
(A) = + (B) =
(C) = + (D) =
[来源:学科网 ZXXK]
【答案】A
2 2
3
− 2 2
3
2 3
3
− 2 3
3
1 2 3 84 r× × = 16
3r = 21 1 163 ( ) 54 3 3
× × × ×
320
9
320
9
【解析】由题知 = ,
故选 A.
[来源:学,科,网]
(8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为
(A)( ),k (b)( ),k
(C)( ),k (D)( ),k
【答案】D
(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB= + = + = + − = 1 4
3 3AB AC− +
【答案】C
(10) 的展开式中, y²的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
【答案】A
【解析】在 的 5 个因式中,2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ,其
余因式取 y,故 的系数为 =30,故选 A.
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ,则 r=[来源:Z。xx。k.Com]
2 5( )x x y+ + 2x x
5 2x y 2 1 2
5 3 2C C C
π
(A)1(B)2(C)4(D)8
【答案】B
【解析】学科网
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为
r,圆柱的高为 2r,其表面积为 = =16 + 20 ,
解得 r=2,故选 B.
12.设函数 = ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得
0,则 的取值范围是( )
A.[- ,1) B. [- , ) C. [ , ) D. [ ,1)
【答案】D
2 21 4 2 2 22 r r r r r rπ π π× + × + + × 2 25 4r rπ + π
( )f x (2 1)xe x ax a− − + 0( )f x
a
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a=
【答案】1[来源:Zxxk.Com]
【 解 析 】 由 题 知 是 奇 函 数 , 所 以
= ,解得 =1.
(14)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准
方程为 。
【答案】
【解析】设圆心为( ,0),则半径为 ,则 ,解得
,故圆的方程为 .
(15)若 x,y 满足约束条件 则 的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, 是可行域内一点
与原点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最
大值为 3.
2a x+
2ln( )y x a x= + +
2 2ln( ) ln( )x a x x a x+ + + − + +
2 2ln( ) ln 0a x x a+ − = = a
2 23 25( )2 4x y± + =
a 4 | |a− 2 2 2(4 | |) | | 2a a− = +
3
2a = ± 2 23 25( )2 4x y± + =
y
x
y
x
y
x