2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数 20页

‎2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数 ‎ ‎ 一、选择题 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数,下列结论中错误的是 （　　）‎ A．R, B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点,则在区间上单调递减 D．若是的极值点,则 ‎【答案】C ‎ ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年高考福建卷（文））设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是（　　）‎ A． B．是的极小值点 ‎ C．是的极小值点 D．是的极小值点 ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考安徽（文））已知函数有两个极值点,若,则关于的方程 的不同实根个数为（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎ ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是 D C B A ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线在点处的切线平行于轴,则____________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考江西卷（文））若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.‎ ‎【答案】2 ‎ 三、解答题 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax ‎(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|‎2a|]上的最小值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)当时,,所以,所以在处的切线方程是:; ‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎ ‎①当时,时,递增,时,递减,所以当 ‎ 时,且,时,递增,时,递减,所以最小值是; ‎ ‎②当时,且,在时,时,递减,时,递增,所以最小值是; ‎ 综上所述:当时,函数最小值是;当时,函数最小值是; ‎ ．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)‎ 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).‎ ‎(Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域;zhangwlx ‎(Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考陕西卷（文））已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. ‎ ‎(Ⅲ) 设a, , ‎ 所以存在,,使得. ‎ 由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点. ‎ 综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. ‎ ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)‎ 已知函数,曲线在点处切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎(II) 由(I)知, ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 从而当<0. ‎ 故. ‎ 当. ‎ ．（2013年高考天津卷（文））设, 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ) 证明在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; ‎ ‎(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考福建卷（文））已知函数(,为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;‎ ‎(2)求函数的极值;‎ ‎(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由,得. ‎ 又曲线在点处的切线平行于轴, ‎ 得,即,解得. ‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ‎ ‎②当时,令,得,. ‎ ‎,;,. ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增, ‎ 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ‎ 综上,当时,函数无极小值; ‎ 当,在处取得极小值,无极大值. ‎ ‎(Ⅲ)当时, ‎ 令, ‎ 则直线:与曲线没有公共点, ‎ 等价于方程在上没有实数解. ‎ 假设,此时,, ‎ 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. ‎ 又时,,知方程在上没有实数解. ‎ 所以的最大值为. ‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. ‎ ‎(Ⅲ)当时,. ‎ 直线:与曲线没有公共点, ‎ 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: ‎ ‎ (*) ‎ 在上没有实数解. ‎ ‎①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. ‎ ‎②当时,方程(*)化为. ‎ 令,则有. ‎ 令,得, ‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ 当时,,同时当趋于时,趋于, ‎ 从而的取值范围为. ‎ 所以当时,方程(*)无实数解, ‎ 解得的取值范围是. ‎ 综上,得的最大值为. ‎ ．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 所以,. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考广东卷（文））设函数 .‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值,‎ ‎【答案】(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增. ‎ ‎(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎(i)当,即时,,在上单调递增, ‎ 从而当时, 取得最小值 , ‎ 当时, 取得最大值. ‎ ‎(ii)当,即时,令 ‎ 解得:,注意到, ‎ ‎(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断) ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值, ‎ ‎ ‎ 的最大值 ‎ 综上所述,当时,的最小值,最大值 ‎ 解法2(2)当时,对,‎ 都有,故 ‎ 故,而 , ‎ 所以 , ‎ ‎(1) 解法3:因为,; ‎ ‎① 当时,即时,,在上单调递增,此时无最小值和最大值; ‎ ② 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得;‎ ③ 因为, ‎ 作的最值表如下:‎ 极大值 极小值 则,; ‎ 因为 ‎ ‎; ‎ ‎ ‎ ‎,所以; ‎ 因为 ‎ ‎; ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ 所以; ‎ 综上所述,所以,. ‎ ．（2013年高考山东卷（文））已知函数 ‎(Ⅰ)设,求的单调区间 ‎(Ⅱ) 设,且对于任意,.试比较与的大小 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时函数的单调递减区间是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考湖北卷（文））设,,已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,称为、关于的加权平均数.‎ ‎(i)判断, ,是否成等比数列,并证明;‎ ‎(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数,记为H. 若,求的取值范围. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)的定义域为, ‎ ‎. ‎ 当时,,函数在,上单调递增; ‎ 当时,,函数在,上单调递减. ‎ ‎(Ⅱ)(i)计算得,,. ‎ 故, 即 ‎ ‎. ① ‎ 所以成等比数列. ‎ 因,即. 由①得. ‎ ‎(ii)由(i)知,.故由,得 ‎ ‎. ② ‎ 当时,. ‎ 这时,的取值范围为; ‎ 当时,,从而,由在上单调递增与②式, ‎ 得,即的取值范围为; ‎ 当时,,从而,由在上单调递减与②式, ‎ 得,即的取值范围为. ‎