高考数学压轴题大集合 38页

‎2017备战 高考数 学压轴题 集合 1．（本小题满分14分） 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛 物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨 迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A、B坐标分别为， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB 的重心G的坐标为 ， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方 法1：因为 由于P点在 抛物线外，则 ∴ 同理 有 ∴∠AFP=∠PFB. ‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到 直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当时，直线 AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分） 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ① 设是方程①的两个不同的根，‎ ‎ ∴ ② 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意， ∵N（1，3）是AB的中点， ∴ 又由N（1，3）在椭圆内，∴ ∴的取值范围是（12，+∞）. 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程③的两根， ∴ 于是由弦长公式可得 ④ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ ∵当时， 假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心. ‎ 点M到直线AB的距离为 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|， 即 ⑧ 由⑥式知，⑧式左边 由④和⑦知，⑧式右边 ∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 ③ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得 ⑤ 解③和⑤式可得 不妨设 ∴ 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD） 3．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （Ⅰ）证明 （Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n≥3时有， ∵ 证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立. （ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即 ‎ 则 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）、（ii）知， 又由已知不等式得 （Ⅱ）有极限，且 （Ⅲ）∵ 则有 故取N=1024，可使当n>N时，都有 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值． 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则 (Ⅱ) ‎ ‎ 5．已知函数和的图象关于原点对称，且． (Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式； (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围． 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 ∵点在函数的图象上 ∴ (Ⅱ)由 当时，，此时不等式无解. 当时，，解得. 因此，原不等式的解集为. （Ⅲ） ① ‎ ‎ ② ⅰ） ⅱ） 6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg g(x) 当xDf且x∈Dg 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式; 求问题(1)中函数h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. [解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+sin2x, α=, g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x. 7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN 的对称点. (1)求向量的坐标; (2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标. [解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴={2,4}. (2) ∵={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4, 若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1). ∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3) =, 由于,得 =2()=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}‎ ‎1． ‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ ‎，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎2．（本小题满分12分）‎ ‎ 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.‎ ‎ （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.‎ ‎ （此题不要求在答题卡上画图）‎ 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.‎ ‎ （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ①‎ ‎ 设是方程①的两个不同的根，‎ ‎ ∴ ②‎ ‎ 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 ‎ ‎ ‎ 解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.‎ ‎ 于是，直线AB的方程为 ‎ 解法2：设则有 ‎ ‎ ‎ 依题意，‎ ‎∵N（1，3）是AB的中点， ∴‎ 又由N（1，3）在椭圆内，∴‎ ‎∴的取值范围是（12，+∞）.‎ 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.‎ ‎ （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，‎ 代入椭圆方程，整理得 ‎ 又设CD的中点为是方程③的两根，‎ ‎∴‎ 于是由弦长公式可得 ④‎ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤‎ 同理可得 ⑥‎ ‎∵当时，‎ 假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.‎ 点M到直线AB的距离为 ⑦‎ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.‎ ‎ （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）‎ A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，‎ 即 ⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边 由④和⑦知，⑧式右边 ‎∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.‎ 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,‎ ‎∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ 将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得 ‎ ⑤‎ 解③和⑤式可得 ‎ 不妨设 ‎∴‎ 计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.‎ 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.‎ ‎（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）‎ ‎3．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 ‎ （Ⅰ）证明 ‎（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；‎ ‎（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.‎ ‎ （Ⅰ）证法1：∵当 即 ‎ 于是有 ‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知，当n≥3时有，‎ ‎∵‎ 证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 ‎ （i）当n=3时， 由 ‎ 知不等式成立.‎ ‎（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即 则 即当n=k+1时，不等式也成立.‎ 由（i）、（ii）知，‎ 又由已知不等式得 ‎ ‎ （Ⅱ）有极限，且 ‎ （Ⅲ）∵‎ 则有 故取N=1024，可使当n>N时，都有 ‎4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.‎ 解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则 ‎(Ⅱ)‎ ‎5．已知函数和的图象关于原点对称，且．‎ ‎ (Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎ (Ⅱ)解不等式；‎ ‎ (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．‎ 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.‎ 解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 ‎∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时，，此时不等式无解.‎ 当时，，解得.‎ 因此，原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎①‎ ‎②‎ ⅰ）‎ ⅱ）‎ ‎6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),‎ ‎ f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg ‎ 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg ‎ g(x) 当xDf且x∈Dg (1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;‎ (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;‎ ‎(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.‎ ‎ [解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)‎ ‎ 1 x=1‎ ‎ (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,‎ ‎ 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ‎∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)‎ ‎(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=‎ 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,‎ 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.‎ 另解令f(x)=1+sin2x, α=,‎ g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,‎ 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.‎ ‎7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点.‎ ‎ (1)求向量的坐标;‎ ‎ (2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;‎ ‎ (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.‎ ‎[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),‎ ‎ A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),‎ ‎ ∴={2,4}.‎ ‎ (2) ∵={2,4},‎ ‎∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.‎ 因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.‎ 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,‎ 若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).‎ 当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1).‎ ‎∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.‎ ‎(3) =,‎ 由于,得 ‎ =2()=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{,}={n,}‎ ‎1. (本小题满分12分)‎ 已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.‎ ‎(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.‎ ‎(2) 对任意n ³ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)‎ 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,‎ ‎ ∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 ‎（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,‎ ‎ ∴ 当n ³ a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n £ n n – ( n + a)n. 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,‎ ‎∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ‎( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ‎∵( n + a ) > n ,‎ ‎∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 ‎2. (本小题满分12分)‎ 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .‎ ‎(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？‎ ‎(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？‎ 解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，‎ 取u = Î[–1，1]，v = Î[–1，1], ‎ 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，‎ 所以p( x)不满足题设条件.‎ ‎（2）分三种情况讨论：‎ ‎10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；‎ ‎20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；‎ ‎30. 若uÎ[–1，0]，vÎ[0，1]，则：‎ ‎ |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;‎ ‎40 若uÎ[0，1]，vÎ[–1，0], 同理可证满足题设条件.‎ 综合上述得g(x)满足条件.‎ ‎3. (本小题满分14分)‎ 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).‎ ‎(1) 求证：| ac | ³ 4;‎ ‎(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.‎ ‎(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.‎ 证：(1) ∵ tÎR, t ¹ –1,‎ ‎ ∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ³ 0 ，‎ ‎ ∵ c ¹ 0, ∴c2a2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4.‎ ‎ (2) 由 f ( x ) = 1 – ,‎ 法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .‎ ‎∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,‎ ‎∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增.‎ ‎ 法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ¹ –1, ‎ ‎ ∴x > –1时，f ( x )单调递增.‎ ‎（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³ > 0 , ‎ ‎ ∴f (| c | ) ³ f () = = ‎ f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.‎ ‎ 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.‎ ‎4．（本小题满分15分）‎ 设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．‎ （1） 求f (x)的表达式；‎ （2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；‎ （3） 若，求证：‎ 解：（1）…………………………5分 ‎ （2）或…………10分 ‎ （3）用导数求最值，可证得……15分 ‎5．（本小题满分13分）‎ 设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．‎ 解：设点的坐标 则……1分 ‎ ………………………………………………………3分 ‎ 由（1）－（2）可得………………………………6分 ‎ 又MN⊥MQ，所以 ‎ 直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分 ‎ 从而得所以 ‎ 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.………………13分 ‎6．（本小题满分12分）‎ 过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ 解法（一）：（1）设 由得：‎ ‎………………………………3分 直线PA的方程是：即 ① ‎ 同理，直线PB的方程是： ②‎ 由①②得：‎ ‎∴点P的轨迹方程是……………………………………6分 ‎（2）由（1）得：‎ ‎ …………………………10分 所以 故存在=1使得…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且 ‎∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且 设PA的直线方程是 由得：‎ 即…………………………3分 即直线PA的方程是：‎ 同理可得直线PB的方程是：‎ 由得：‎ 故点P的轨迹方程是……………………………………6分 ‎（2）由（1）得：‎ ‎………………………………10分 故存在=1使得…………………………………………12分 ‎7．（本小题满分14分）‎ 设函数在上是增函数.‎ （1） 求正实数的取值范围；‎ （2） 设，求证：‎ 解：（1）对恒成立，‎ 对恒成立 又 为所求.…………………………4分 ‎（2）取，，‎ 一方面，由（1）知在上是增函数，‎ 即……………………………………8分 另一方面，设函数 ‎∴在上是增函数且在处连续，又 ‎∴当时，‎ ‎∴ 即 综上所述，………………………………………………14分 ‎8．(本小题满分12分)‎ 如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1) 设双曲线的方程为，‎ 则．‎ 由，得，即．‎ ‎∴ （3分）‎ 解之得，∴．‎ ‎∴双曲线的方程为． （5分）‎ ‎(2) 设在轴上存在定点，使．‎ 设直线的方程为，．‎ 由，得．‎ 即 ① （6分）‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 即． ② （8分）‎ 把①代入②，得 ‎ ③ （9分）‎ 把代入并整理得 其中且，即且．‎ ‎ ． （10分）‎ 代入③，得 ‎ ，‎ 化简得 ．‎ 当时，上式恒成立．‎ 因此，在轴上存在定点，使． （12分）‎ ‎9．(本小题满分14分)‎ 已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．‎ ‎(1) 求；‎ ‎(2) 试比较与的大小（）；‎ ‎(3) 求证：，（）．‎ 解：(1) ∵， ①‎ ‎∴． ②‎ ‎②－①，得 ‎，‎ 即． （3分）‎ 在①中令，可得．‎ ‎∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）‎ ‎(2) 由(1)可得．‎ ‎．‎ ‎∴， （5分）‎ ‎．‎ 而，且，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，（）． （8分）‎ ‎(3) 由(2)知 ，，（）．‎ ‎∴当时，．‎ ‎∴‎ ‎， （10分）‎ ‎（当且仅当时取等号）．‎ 另一方面，当，时，‎ ‎．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，（当且仅当时取等号）．（13分）‎ ‎∴．（当且仅当时取等号）．‎ 综上所述，，（）．（14分）‎ ‎1．（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.‎ ‎ （I）求证：；‎ ‎ （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；‎ ‎ （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.‎ 解：（I）右准线，渐近线 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ……3分 ‎ （II）‎ ‎ ‎ 双曲线C的方程为： ……7分 ‎ （III）由题意可得 ……8分 ‎ 证明：设，点 ‎ 由得 ‎ 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ‎ ‎ ‎ ……11分 ‎ ，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的取值范围是（0，1） ……13分 ‎2．（本小题满分13分）‎ 已知函数，‎ 数列满足 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；‎ ‎ （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.‎ ‎ （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.‎ 解：（I）‎ ‎ ‎ ‎ ……1分 ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 将这n个式子相加，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……3分 ‎ （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 ‎ （III）设满足条件的正整数N存在，则 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 均满足条件 ‎ 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.‎ ‎ 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 ‎ 中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分 ‎ （IV）设，即 ‎ 则 ‎ 显然，其极限存在，并且 ……10分 ‎ 注：（c为非零常数），等都能使存在.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.‎ ‎ （I）求此双曲线的渐近线的方程；‎ ‎ （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；‎ ‎（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（I）‎ ‎ ‎ ‎ ，渐近线方程为 4分 ‎ （II）设，AB的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）‎ ‎ （III）假设存在满足条件的直线 ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由（i）（ii）得 ‎ ∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 14分 ‎3. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.‎ ‎ （I）求证数列是等比数列；‎ ‎ （II）设数列的公比，数列满足：‎ ‎，试问当m为何值时，‎ 成立？‎ 解：（I）由已知 ‎ （2）‎ ‎ 由得：，即对任意都成立 ‎ ‎ ‎ （II）当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意知， 13分 ‎4．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．‎ 解：（1）设点其中．‎ 由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分 ‎∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分 而，‎ ‎∴．．②，　　　　　　　　　　　5分 由①②知．‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 ‎（2）满足条件的圆心为，‎ ‎，　　　　　　　　　　　　　　8分 圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 由圆与直线：相切得，，‎ 又．∴椭圆方程为．　　　　　　　　12分 ‎5．（本小题满分14分）‎ ‎（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎（理）解：设公差为，则．　　3分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 ‎．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 又．‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ‎∴．　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，，‎ ‎∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分 ‎（文）解：设公差为，则．　　　3分 ‎，　　　　　　　　　　　6分 又．‎ ‎∴．‎ 当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ‎∴．　　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，．‎ ‎∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分 ‎6．（本小题满分12分）‎ 垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.‎ 解（Ⅰ）证明：‎ ‎　　　　①‎ 直线A2N的方程为 ②……4分 ‎①×②，得 ‎（Ⅱ）‎ ‎……10分 当……12分 ‎7．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）若 ‎ （Ⅱ）若 ‎ （Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎……6分 ‎（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时 当k为奇数时……14分