高考立体几何解析版 14页

‎2014年高考真题立体几何汇编解析版 ‎16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．‎ ‎（1）求证：直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，‎ 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.‎ ‎（1）∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF，DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎（2）∵为中点 ∴‎ ‎∵为中点 ∴‎ ‎∴ ∴，∴DE⊥EF ‎∵，∴‎ ‎∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎17.（2014山东）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点. ‎ ‎（I）求证：； ‎ ‎（II）若垂直于平面且，求 平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.‎ 解：（Ⅰ）连接 为四棱柱， ‎ 又为的中点，‎ ‎,‎ ‎,‎ 为平行四边形 又 ‎ ‎（Ⅱ）方法一： ‎ ‎ 作,连接 则即为所求二面角 在中， ‎ 在中，, ‎ 方法二：作于点 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ 显然平面的法向量为 显然二面角为锐角，‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为 ‎18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。‎ ‎（1）证明：为线段的中点；‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ 解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：‎ 平面平面，‎ 设为的中点，连接， ‎ 于是， 所以平面 因为，分别为线段，的中点，所以，又，故 假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线 从而平面，这与矛盾 所以为线段的中点 ‎（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 于是，，‎ 设平面和平面的法向量分别为和 由，设，则 由，设，则 所以二面角的余弦值 ‎17.（本小题满分12分）‎ 在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.‎ （1） 求证：；‎ （2） 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎（17）（2014天津）（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明 ；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若为棱上一点，满足，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.‎ 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.‎ ‎（Ⅰ）证明：向量，，故. 所以，.‎ ‎（Ⅱ）解：向量，.‎ 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有 ‎.‎ ‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：向量，，，.‎ 由点在棱上，设，.‎ 故.‎ 由，得，‎ 因此，，解得.即.‎ 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量.‎ 取平面的法向量，则 ‎.‎ 易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.‎ ‎19． （2014湖南）（本小题满分12分）‎ 如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．‎ （I） 证明：‎ （II） 若的余弦值．‎ ‎19、（本小题满分12份）‎ 解：（I）如图（a），因为四边形为矩形，所以.同理。因为∥，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，∥。故底面ABCD。‎ ‎（Ⅱ）解法I如图（a），过作于H，连接.‎ 由（I）知，底面ABCD，所以底面，于是.‎ 又因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而，所以，于是，进而。故是二面角的平面角。‎ 不妨设AB=2。因为，所以，。‎ 在中，易知。而，‎ 于是。‎ 故。‎ 即二面角的余弦值为。‎ 解法2 因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC, 两两垂直。‎ 如图（b），以O为坐标原点，OB,OC, 所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，，.‎ 易知，是平面的一个法向量。‎ 设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。‎ 设二面角的大小为，易知是锐角，于是。‎ 故二面角的余弦值为 ‎18．（2014广东）（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.‎ ‎（1）证明：‎ A B C D E F P ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎18.（１）平面，‎ ‎，又，，‎ 平面，‎ ‎，又，‎ 平面，即；‎ ‎（２）设，则中，，又，‎ A B C D E F P x y z ‎，，由（１）知 ‎，，‎ ‎，又，‎ ‎，，同理，‎ 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，，，，‎ 设是平面的法向量，则，又，‎ 所以，令，得，，‎ 由（１）知平面的一个法向量，‎ 设二面角的平面角为，可知为锐角，‎ ‎，即所求．‎ ‎20．（2014安徽）(本题满分13分)如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为。（Ⅰ）证明：为的中点；‎ ‎（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；‎ ‎（Ⅲ）若，，梯形的面积为6，求 平面与底面所成二面角大小。‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ （Ⅰ）证：∵‎ ‎∴‎ 从而平面与这两个平面的交线相互平行，即 故与的对应边相互平行，于是 ‎∴，即为的中点。‎ ‎（Ⅱ）解：如图，连接QA，QD。设，梯形ABCD的高为，‎ ‎ 四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，‎ ‎ ，则。‎ ‎ ，‎ 图1‎ ‎ ∴‎ ‎ 又，∴‎ ‎ 故 ‎（Ⅲ）解法1：如图1，在中，作，垂足为E，连接 ‎ 又，且 ‎ ∴，∴‎ ‎∴为平面和平面ABCD所成二面角的平面角。‎ ‎∵，， ∴‎ 又∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴，‎ 于是，,‎ 故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。‎ 解法2：如图2，以D为原点，，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系。‎ 设 因为，所以，从而，‎ 设平面的法向量为 由得 所以又平面ABCD的法向量 所以 故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。‎ ‎17.（2014北京）（本小题14分）‎ ‎ 如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 ‎ 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 ‎ 求线段的长.‎ ‎（17）（共14分）‎ 解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。‎ 又因为平面PDE，‎ 所以∥平面PDE，‎ 因为平面ABF，且平面平面，‎ 所以∥。‎ ‎（Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，,,,, ‎ ‎ .‎ 设平面ABF的法向量为，则 即 令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。‎ 设点H的坐标为。‎ 因为点H在棱PC上，所以可设，‎ 即。所以。‎ 因为是平面ABF的法向量，所以，即。‎ 解得，所以点H的坐标为。‎ 所以 ‎19、（2014上海）（本题满分12分）‎ 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.‎ ‎19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥 ‎∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形 ‎∴由题得，，‎ 又∵三点恰好在构成的的三条边上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，三棱锥是边长为2的正四面体 ‎∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ‎∴为中点，为的重心，底面 ‎∴，，‎ ‎19（2014湖北）(本小题满分12分)‎ 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.‎ （1） 当时，证明：直线平面;‎ （2） 是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎19（2014江西）(本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.‎ （1） 求证：‎ （2） 若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.‎ ‎19. （2014辽宁）（本小题满分12分）‎ 如图，和所在平面互相垂直，且，‎ ‎，E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 17. ‎（2014陕西）（本小题满分12分）‎ 四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分 别交四面体的棱于点.‎ ‎（I）证明：四边形是矩形；‎ ‎（II）求直线与平面夹角的正弦值.‎ 20. ‎ （2014浙江）（本题满分15分）如图，在四棱锥中， 平面平面.‎ （1） 证明：平面;‎ （2） 求二面角的大小 ‎19.（2014重庆）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，‎ ‎ ，为上一点，且.‎ ‎ （1）求的长；‎ ‎ （2）求二面角的正弦值。‎