北京延庆县高考数学模拟题 10页

延庆县2011年高考第一次模拟试题 高 三 数 学（理科）2011.‎ 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上做答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，‎ 选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合，，若，则实数的值是 A. B. C. D. ‎ ‎2. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎3. 是数列的前项和，， 则 A. B. C. D. ‎ 侧视图 ‎1‎ 俯视图 主视图 ‎4. 极坐标系中，直线的方程是，则点到直线的距离为 直观图 A. B. C. D. ‎ ‎5. 右图是一个三棱锥的直观图和三视图，‎ 其三视图均为直角△，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 是坐标原点, 向量，，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一一个，使得 ‎（为常数）成立，则称函数在上“与常数关联”，现有函数 ① ，② ，③ ，④ ，⑤，则其中满足在其定义域上与常数关联的所有函数是 A. ① ② ⑤ B. ① ③ C. ② ④ ⑤ D. ② ④‎ 开始 S=S+i2‎ i是奇数 i<5‎ S=0, i=1‎ S=S-i2‎ 是 否 结束 是 否 i=i+1‎ 输出S 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9. 已知为实数，且，则 . ‎ ‎10. 点的坐标满足，‎ 是坐标原点，则的最大值为 ，‎ A P O B C D 最小值为 .‎ ‎11. 右图所示程序框图执行后输出的值为 .‎ ‎12. 如图所示，从圆外一点作圆的割线、‎ ‎,是圆的直径，，‎ 则 . ‎ A E D C B ‎13. 如图，为了测量塔的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点 ‎、、，测得仰角分别为、、，，‎ ‎，则 ，塔高 .‎ ‎14. 椭圆的方程为，、分别为的左、右焦点，点的坐标为，是上的任意一点，给出下列结论：‎ ① 有最大值，② 有最大值，③ 有最大值，④ 有最小值，其中正确结论的序号是 .‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15. (本小题13分)‎ 已知 ‎（Ⅰ）如果，求的值; ‎ ‎（Ⅱ）如果，设，求的最大值和最小值 ‎16. (本小题14分)‎ P D M B C A 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且 ,侧面底面，且三角形为等腰直角三角形，,是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证; ‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值.‎ ‎17. (本小题13分)‎ 上海世博会期间，某校组织了共有名学生参加的志愿者团队，其中女生人，男生人，女生中共有人带了学生证，男生中共有人带了学生证.‎ ‎（Ⅰ）在该团队中随机采访名学生，求恰有名女生持有学生证且至多有名男生持有学生证的概率；‎ ‎（Ⅱ）在该团队中随机采访名女生，设其中持有学生证的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎18. (本小题14分) ‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若且，求函数的单调区间.‎ ‎ ‎ ‎19. (本小题13分)‎ o y F x N B M 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线与椭圆交于、两点，‎ 且椭圆的右焦点恰为的垂心（三条 高所在直线的交点），若存在，求出直线的方程，‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎20. (本小题13分)‎ 对于数列，如果存在一个数列，使得对于任意的，都有，则把叫做的“基数列”.‎ ‎（Ⅰ）设, 求证：数列没有等差基数列；‎ ‎（Ⅱ）设，，, 且是的基数列，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，，，求证是的基数列.‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ 延庆县2011年高考第一次模拟试卷 高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A D B C A B D 一、选择题：‎ 二、填空题：9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 米 14. ② ④‎ 三、解答题：‎ ‎15. 解：（Ⅰ）∵ ∴ …………… 2分 ‎∴ …………………… 4分 ‎ …………………………… 6分 ‎ ……………………………… 7分 ‎（Ⅱ） ……………………………… 8分 ‎ ∵ ， ∴ ，‎ ‎∴ ……………………………… 10分 ‎∴ ∴ ………… 12分 ‎ ∴ ， ………………………… 13分 ‎16. （Ⅰ） 连结, ∵ 是菱形 ，且 ‎ ‎ ∴ 是等边三角形 ………………………………………… 1分 设是的中点，连结，，则，‎ ‎∵ 是等腰直角三角形 ‎∴ ………………………………………… 2分 ‎∵ ………………………………………… 3分 ‎∴ 平面，∴ ……………………………… 4分 ‎（Ⅱ）∵ 平面平面 ∴平面 以为坐标原点，分别为轴 建立空间直角坐标系如图 ………………………… 5分 则 ‎∴ ……………………………7分 ‎∴ ………………………… 9分 ‎（Ⅲ）∵ 平面 ‎ ‎∴ 平面的法向量为 ………………………… 10分 设平面的法向量为 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ， ∴ ，‎ 令 可得： ……………………… 12分 ‎∴ ‎ 由图形可知，二面角为锐角，‎ ‎∴ 二面角的余弦值为 ………………………… 14分 ‎17. 解：（Ⅰ）从名学生中随机采访三名学生，方法总数为 ‎ …………………………………… 2分 设恰有一名女生持有学生证至多有一名男生持有学生证为事件， ‎ 恰有一名女生持有学生证，且名男生持有学生证为事件，‎ 则 …………………………… 3分 ‎ ……………………………… 4分 ‎∴ 为所求 ……………………………… 6分 ‎（Ⅱ）由题意可知 ………………………………… 7分 ‎， ‎ ‎， … 11分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 因此的分布列为：‎ ‎……………………13分 ‎ ‎18. （Ⅰ）∵ ， ∴‎ ‎∴ ， ∴ ……………………2分 ‎∵ ， ………………………………………3分 ‎∴ 切线方程为，‎ 即： ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）……………7分 令 ，解得，或 …………………………8分 令 ，解得， 令 ，解得 ……………10分 ‎（1）当时，，此时 在区间上增，在区间上减，在区间上增，‎ ‎…………………………………………………………11分 ‎（2）当时，，此时在区间上增， …………12分 ‎（3）当时，，此时 在区间上增，在区间上减，在区间上增，‎ ‎…………………………………………………………13分 ‎（4）当时，，此时 在区间上减，在区间上增， ………………………14分 ‎19．（Ⅰ）设椭圆方程为 ， …………… 1分 ‎∵ 抛物线的焦点坐标为 ∴ ……………… 2分 由已知得， ∴ ，………………………… 3分 解得 …………………………………… 4分 ‎∴ 椭圆方程为 …………………………………… 5分 ‎（Ⅱ）设，∴ ‎ ‎∵是垂心，∴ ‎ ‎∴ 设的方程为， ……………………………… 7分 代入椭圆方程后整理得： ……………………8分 ‎∴ ……………………………… 9分 将代入椭圆方程后整理得：‎ ‎∴ …………………………………… 10分 ‎∵ 是垂心，∴ ， ‎ ‎∴ ， ………………………………… 11分 整理得：‎ ‎∴ ∴ ………… 12分 ‎∴ 或（舍）‎ ‎∴存在直线 ，其方程为使题设成立。 ………………… 13分 ‎20．（Ⅰ）假设数列（）存在等差基数列，且，（是实常数），则对于任意的均成立，即对于任意的均成立，与二次函数的图像和性质相矛盾，所以，假设不成立，所以不存在等差基数列。 …………………………………… 3分 ‎（Ⅱ），‎ ‎∵ 是的基数列， ∴ 任意的均成立，‎ 令 ‎ ‎（1）当时，即：时，题设成立，‎ ‎（2）当时，即：时，，即二次函数的对称轴在的左端，此时，题设成立的等价条件是 即：，‎ 即， 解得或， ∴ ，‎ 由（1）（2）可知，的取值范围是。 ……………… 8分 ‎（Ⅲ）设，，，求证是的基数列.‎ 是的基数列 ‎ ‎ …①‎ ‎① 式的证明可采用以下方法（步骤略）：‎ 法一：做差法； 法二：导数法； 法三：二项式法； 法四：数学归纳法。‎ ‎……………………………………… 13分