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- 2021-05-13 发布
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推理与证明
第一节 合情推理与演绎推理
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)
证明
2、类比推理
由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
检验猜想。
3、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
演绎推理是由一般到特殊的推理;
“三段论”是演绎推理的一般模式,
包括
大前提---已知的一般原理;
小前提---所研究的特殊情况;
结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
题型一 用归纳推理发现规律
例1: 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。
;;;.
解析:猜想:
证明:左边=
==右边
注;注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性”
(1)先猜后证是一种常见题型
(2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性)
题型二 用类比推理猜想新的命题
例2:已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______.
解析:原问题的解法为等面积法,即,类比问题的解法应为等体积法, 即正四面体的内切球的半径是高
注:(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比
(2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;圆锥曲线间的类比等
(3)在平面和空间的类比中,三角形对应三棱锥(即四面体),长度对应面积;面积对应体积; 点对应线;线对应面;圆对应球;梯形对应棱台等。
(4)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等
题型三 利用“三段论”进行推理
例3 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样
来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 .(填入
中的某个字母)
解析:因都为正数,故分子越大或分母越小时, S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多,,所以c增大1个单位会使得S的值增加最多
注:从分式的性质中寻找S值的变化规律 ;此题的大前提是隐含的,需要经过思考才能得到
1.下列说法正确的是 ( )
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
答案: C
2. 命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”,但大前提错误
D.使用了“三段论”,但小前提错误
答案:C
填空题
3.已知 ,考察下列式子:;;
. 我们可以归纳出,对也成立的类似不等式为
答案:
4.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
[解析] (见高三复习 步步高)
解法的类比(特殊化)
易得两个正方体重叠部分的体积为
5.已知的三边长为,内切圆半径为(用),则;类比这一结论有:若三棱锥的内切球半径为,则三棱锥体积
[解析]
6.在平面直角坐标系中,直线一般方程为,圆心在的圆的一般方程为;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.
答案;;
7.(1)已知等差数列的定义为:在一个数列中,从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义: ;
(2) 已知数列是等和数列,且,公和为,那么的值为____________.
答案:(1)在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和;
(2);
8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:
根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为
答案:
解答题
9.(1)已知等差数列,(),
求证:仍为等差数列;
(2)已知等比数列,(),类比上述性质,写出一个真命题并加以证明.
[解析](1),,
为等差数列为常数,所以仍为等差数列;
(2)类比命题:若为等比数列,(),,则为等比数列
证明:,为常数,为等比数列
10.将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数,对任意均满足,当且仅当时等号成立。
(1)若定义在(0,+∞)上的函数∈M,试比较与大小.
(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.
解析:(1)对于,令得<
(2) ,所以g(x)∈M
2、直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤:
1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法 是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。
3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立
题型一:用综合法证明数学命题
例1 :对于定义域为的函数,如果同时满足以下三条:①对任意的,总有;②;③若,都有成立,则称函数为理想函数.
(1) 若函数为理想函数,求的值;
(2)判断函数()是否为理想函数,并予以证明;
解析:(1)取可得.
又由条件①,故.
(2)显然在[0,1]满足条件①;
也满足条件②.若,,,则
,即满足条件③,
故理想函数.
注:紧扣定义,证明函数()满足三个条件
题型二:用分析法证明数学命题
例2:已知:,求证:.
证明:∵ ∴ 要证 ,
去分母后需要证:(1-a)+4a≥9a(1—a),
移项合并同类项,即需要证:9—6a+1≥0,
即要证;…………(1)
而(1)式显然成立, ∴ 原不等式成立。
题型三:用反证法证明数学命题或判断命题的真假
例3 :已知,证明方程没有负数根
解析:假设是的负数根,则且且
,解得,这与矛盾,
故方程没有负数根
注:(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难,适宜用反证法。即 “正难则反”;(2)反证法步骤:假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。
选择题
1.用反证法证明命题:若整系数方程有有理根,那么中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( ).
A、假设都是偶数 B、假设都不是偶数
C、假设中至多有一个偶数 D、假设中至多有两个偶数
A
B
C
x
y
P
O
F
E
答案;B
2.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.
钝角三角形 D. 不能确定
答案: B
3.已知,则使得都成立的取值范围是( B )
A.(0,) B(0,) C. (0,) D. (0,)
提示;x∈(0,),由得出结论。
填空题
4.若,则=____________.
答案:500
5. 如图,在平面直角坐标系中,设三角形的顶点分别为,点在线段AO上的一点(异于端点),这里均为非零实数,设直线分别与边交于点,某同学已正确求得直线的方程为,请你完成直线的方程: ( )。
答案:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
6.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第行()从左向右的第3个数为
答案:。
解答题
7. 若且,求证:
[解析]要证,只需证
即,因,只需证
即,
设,则
成立,从而成立
8.在锐角三角形中,求证:
[解析]为锐角三角形,,
在上是增函数,
同理可得,
9. 设为非零向量,且不平行,求证,不平行
[解析]假设,则,
不平行,,因方程组无解,故假设不成立,即原命题成立
10. 已知a、b、c成等差数列且公差,求证:、、不可能成等差数列
[解析] a、b、c成等差数列,
假设、、成等差数列,则,从而与矛盾,、、不可能成等差数列
11. 已知证明:
[解析] 即证:
设.
当x∈(-1,0)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(0,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=0为k(x)的极大值点,
∴k(x)≤k(0)=0.
即
12. 已知函数,, 的最小值恰好是方程的三个根,其中.求证:;
[解析] 三个函数的最小值依次为,,,
由,得
∴
,
故方程的两根是,.
故,. ,即
∴ .