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- 2021-05-13 发布
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六、平面向量
一、高考考什么?
[考试说明]
1. 理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。
2. 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义。
3. 理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题。
4. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
5. 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。
6. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义。
7. 掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。
8. 会用坐标表示平面向量的平行与垂直。
9. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
[知识梳理]
1.两非零向量平行(共线)的充要条件:
两个非零向量垂直的充要条件:
2.向量中三终点共线
存在实数使得:且
3.向量的数量积:
,
,
注意:为锐角且不同向
为直角且
为钝角且不反向
4.向量的模:
5.向量的绝对值不等式:
6.向量中一些常用的结论:
(1)中点向量公式:为的中点
(2)中,过边中点
(3)
(4)为的重心
(5)为的重心
(6)为的垂心
(7)所在直线过的内心
(8)极化恒等式:在中,为的中点,则
二、高考怎么考?
[全面解读]
向量具有鲜明的代数特性和几何特性,是数形结合的完美体现,而且向量也是理想的数学工具,是数学的“万金油”,在三角函数、解析几何、立体几何中均有运用。从考试说明和历年高考试题来看,向量需要掌握的是加减运算及其几何意义,平面向量的基本定理,向量的坐标运算及其数量积。从考题来看,知识点较综合,强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识,对向量几何模型的研究比较透彻!
难度系数:★★★★☆
[原题解析]
[2004年]
(14)已知平面上三点A、B、C满足||=3, =4, ||=5,则 的值等于________.
[2005年]
(10)已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则( )
A.⊥ B.⊥(-)
C.⊥(-) D.(+)⊥(-)
[2006年]
(13)设向量满足, , ,若,
则的值是
[2007年]
(7)若非零向量满足,则( )
A. B.
C. D.
[2008年]
(9)已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,
则的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
[2009年]
(7)设向量满足=3,=4, .以的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[2010年]
(16)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则的取值范围是__________________ .
[2011年]
(15)若平面向量满足,且以向量为邻边的平行四边形的面积为,则和的夹角θ的取值范围是 。
[2012年]
(5) 设 是两个非零向量( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则存在实数,使得
D.若存在实数,使得,则
(15)在△ABC中,是的中点,,则
[2013年]
(7)设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则( )
A. B. C. D.
(17)设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________。
[2014年]
(8)记,,设为平面向量,则( )
A.
B.
C. D.
[2015年]
(15)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,
则 , , .
[2016年]
(15)已知向量,,若对任意单位向量,均有,则的最大值是
[2017年]
(15)已知向量满足,则的最小值是 ,最大值是 .
[附:文科试题]
[2004年]
(4)已知向量且∥,则=( )
A. B. C. D.
[2005年]
(8)已知向量,,且,则由的值构成的集合是( )
A. B. C. D.
[2006年]
(5)设向量满足,,则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
[2007年]
(9)若非零向量满足,则( )
A. B. C. D.
[2008年]
(16)已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是 .
[2009年]
(5)已知=(1,2), =(2,-3).若向量满足,,则( )
A.(,) B.(-,-) C.(,) D.(-,-)
[2010年]
(13)已知平面向量则的值是
[2014年]
(9)设为两个非零向量的夹角,已知对任意实数,的最小值为1.
A. 若确定,则 唯一确定 B. 若确定,则 唯一确定
C. 若确定,则 唯一确定 D. 若确定,则 唯一确定
[2015年]
(13)已知,是平面单位向量,且.若平面向量满足
,则 .
[2016年]
(15)已知平面向量,,若为平面单位向量,则的最大值是
三、不妨猜猜题?
平面向量试题是高考命题者颇为得意的部分,十几年高考中研究出不少立意新、有背景的好题。考题既重基础和概念,又充分挖掘平面向量的数形特征,展现丰富多彩的背景知识。综观高考向量试题,数量积、模以及向量的几何运算占据主导地位,难度中等。
A组
1.如图,在直角中,,且,点是线段上任一点,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
2.的外接圆的圆心为O,AB=2,,则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中,,若是的垂心,则的值为( )
A.2 B. C.3 D.
4.设向量满足,,则的最大值为( )
A. 4 B. 2 C. D. 1
5.已知是三角形内部一点,满足,则( )
A. B. 5 C. 2 D.
6.已知坐标平面上的凸四边形满足, ,则凸四边形的面积为 ; 的取值范围是 .
7.若向量满足,则在方向上投影的最大值是 .
8.若 是两个单位向量,,若向量满足,则||的取值范围是 .
9.已知为两个非零向量,且, ,则的最大值
为__________.
B组
1.设是平面中三个向量,下列命题正确的是 ( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2.若均为单位向量,且,则的最小值为 ( )
A. B. 1 C. D.
3.向量,若与的夹角等于,则||的最大值为 ( )
A.4 B.2 C.2 D.
4. 已知共面向量满足,且.若对每一个确定的向量
,记的最小值为,则当变化时,的最大值为 ( )
A. B. 2 C. 4 D. 6
5.设A,B,C是单位圆上互不相同的三点,若,则的最小值是 .
6.已知非零向量的夹角为,且,则的取值范围为 .
7. 在中若对任意的实数,
,则的最小值为 ,此时 .
8.设向量的夹角为,若对任意的,的最小值为1,的最小值是2,则 .
9.已知非零向量满足,向量满足,,,则的最大值为________.
平面向量解答部分
[原题解析]
[2004年](14) -25
[2005年](10) C
[2006年](13) 4
[2007年](7) C
[2008年](9) C
[2009年](7) B
[2010年](16)
[2011年](15)
[2012年](5) C (15) -16
[2013年](7) D (17)2
[2014年](8) D
[2015年](15)
[2016年](16)
[2017年](15)
文科试题
[2004年](4) A
[2005年](8) C
[2006年](5) D
[2007年](9) A
[2008年](16)
[2009年](9) D
[2010年](13)
[2014年](9) B
[2015年](13)
[2016年](16)
不妨猜猜题
A组
BCCAC 6. 7. 8. 9.4
B组
BAAB 5. 6. 7.8; 8. 9.18
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善。在内容的选择上也要符合,儿童特点:如《狐狸和鸡》《小鸭子学游泳》《后悔也来不及》《摘草莓的小姑娘》等,这些内容都有一定的情节,都是一则有趣的小故事,通过生动的讲述,使学生头脑中形成一幅画面,得到感染,并激发了作画的愿望。每个小朋友的想法各异,通过互相描述,可进一步丰富想象,然后提供片段的描绘(指导),给学生以一定的表象,再以补画的形式要求学生创造一幅情境画(可采用故事画,也可采用连环画的形式空缺一张,要求补上),我在启发学生作想象画的时候,启发学生做到:(1)范围往广处想;(2)题材往新处想;(3)构思往妙处想:(4)构图往巧处想。儿童画就本意来说,是为了用自己的画表现自己的意愿。因此,儿童画,也可称为“儿童意愿画”,这种意愿画有很大的创造性,充分展示了儿童扩散性思维的发展程度。