专题03 玩转曲线运动，再探万有引力-高考物理必备知识一本通 17页

1 专题三：玩转曲线运动，再探万有引力 必备知识 1．曲线运动 (1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 (2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 (3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方 向不在同一条直线上。 (4)合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨 迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。 2. 运动的合成与分解 (1)分解原则：一般根据运动的实际效果进行分解。 (2) 遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 (3)合运动与分运动的关系： ○1等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 ○2独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。 ○3等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。 (4)合运动的性质和轨迹的判断 ○1 若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度改变，则为非匀变速运动。 ○2若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。 3.小船渡河模型 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 (2)三种速度：船在静水中的速度 v1、水的流速 v2、船的实际速度 v。 (3)三种情况 ○1渡河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，tmin＝d v1 (d 为河宽)。 ○2渡河路径最短(v2＜v1 时)：合速度垂直于河岸，航程最短，xmin＝d。 ○3渡河路径最短(v2＞v1 时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图所示，以 2 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向 航程最短。由图可知 sin θ＝v1 v2 ，最短航程 xmin＝ d sin θ ＝v2 v1 d。 (4)解决小船渡河问题的四个基本观点 ○1解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动， 船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线。 ○2运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。 ○3渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。 ○4 求最短渡河位移时，根据船速 v 船与水流速度 v 水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理。 4.关联速度问题 (1)把物体的实际速度分解为沿绳(杆)和垂直于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。 常见的模型如图所示。 (2)绳(杆)关联问题的解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 (3)基本思路 ①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。 ②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动。 ③确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直绳(杆)方向的分速度，而沿绳(杆)方向的分速度大 小相同。 关键能力 （2018•北京高考真题）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上， 赤道上方 200m 处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约 6cm 处，这一现象可解释为，除重力外，由 于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从 赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球（ ） A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零 B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零 3 C．落地点在抛出点东侧 D．落地点在抛出点西侧 【答案】D 【解析】AB、上升过程水平方向向西加速，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速度， 且有竖直向下的加速度，故 AB 错； CD、下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为 0，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出 点的西侧，故 C 错，D 正确；故选 D 点睛：本题的运动可以分解为竖直方向上的匀变速和水平方向上的变加速运动，利用运动的合成与分解来 求解。 必备知识 1.平抛运动 （1）定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。 （2）条件：①物体具有水平方向的初速度；②运动过程中只受 G。 （3）处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方 向的自由落体运动。 （4）规律：以抛出点为坐标原点，以初速度 v0 方向为 x 正方向，竖直向下为 y 正方向，如图所示。 ○1 分速度 vx＝v0，vy＝gt；合速度 v＝ 222 0 tgv  ，tanθ＝ 0v gt ○2 分位移 x＝v0·t，y＝ 2 1 gt2；合位移 s＝ 22 yx  ，tanφ＝ 00 2 22 1 v gt tv gt x y  ○3 轨迹：设物体平抛至某点（x，y），则轨迹方程为：x＝v0t，y＝ 2 1 gt2；消去参数 t，得 y＝ 2 02v g x2（抛物线）。 （5）对平抛运动基本规律的理解 ○1 飞行时间：由 t＝ 2h g 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关。 ○2 水平射程：x＝v0t＝v0 2h g ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关。 4 ○3 落地速度：vt＝ v 2x ＋v 2y ＝ v 20 ＋2gh，以θ表示落地速度与 x 轴正方向的夹角，有 tan θ＝vy vx ＝ 2gh v0 ，所以 落地速度也只与初速度 v0 和下落高度 h 有关。 ○4 速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。 ○5 连续相等的时间 △ t内，竖直方向上的位移差不变，即 △ y=g( △ t)2。 （6）平抛运动的两个重要推论 推论 1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位 移与水平方向的夹角为φ，则 tanθ＝2tanφ。 推论 2：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点， 如图中 A 点和 B 点所示。 2.类平抛运动 （1）类平抛运动的受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 （2）类平抛运动的运动特点：在初速度 v0 方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速 直线运动，加速度 a＝ m F合 。 （3）类平抛运动的求解方法 ○1 常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合外力的方向） 的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 ○2 特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 a 分解为 ax、ay，初速度 v0 分解为 vx、vy，然后分别在 x、y 方向列方程求解。 3.落在斜面上的平抛运动 5 模型 解题方法 基本规律 运动时间 分 解 速 度 , 构 建 速 度 矢 量 三 角 形 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 由 tan θ= gt v v v y 00  得 tan 0 g vt  分 解 位 移 , 构 建 位 移 矢 量 三 角 形 水平方向:x=v0t 竖直方向:y= gt2 合位移:s= 方向:tan θ= 由 02tan v gt x y  得 g vt tan2 0 4.平抛运动中的临界问题 （1）平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高 度两种。 （2）题型特点： ○1 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 ○2 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起 止点往往就是临界点。 ○3 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往 是临界点。 （3）解题技巧： ○1 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问 题突现出来，找到产生临界的条件。 ○2 求解平抛运动中的临界问题的关键 确定临界状态：确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出 来。 确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图．画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些 隐藏于问题深处的条件暴露出来。 关键能力 6 1.（2015·全国高考真题）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为 L1 和 L2，中 间球网高度为 h ．发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射 点距台面高度为 3h．不计空气的作用，重力加速度大小为 g ．若乒乓球的发射速率为 v 在某范围内，通过 选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是（ ） A． 1 22 6 6 g gvh h L L  B． 2 2 1 1 2(4 ) 4 6 gg vh h L L L  C． 2 2 1 1 2(4 )1 2 6 2 6 gg vh h L L L  D． 2 2 1 1 2(4 )1 4 2 6 gg vh h L L L  【答案】D 【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都是平抛运动，竖直高度决定了运动的时间 2 3 6h ht g g   ，水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发 球点到球网，下降高度为3 2h h h  ，水平位移大小为 1 2 L ，可得运动时间 2 2 4h ht g g   对应的最小 初速度 1 2 4 L gv h  ．水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 2 2 1 2 1 42 L L ，所以平抛的初速度 2 21 1 2 1 42 4 2 6 L g gv L Lh h      ，对照选项 D 对。 2.（2012·全国高考真题）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此 队员从山沟的竖直一侧，以速度 v0 沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的 O 点为原点建立坐标 系 xOy.已知，山沟竖直一侧的高度为 2h，坡面的抛物线方程为 y＝ 1 2h x2，探险队员的质量为 m.人视为质点， 忽略空气阻力，重力加速度为 g。 7 (1)求此人落到坡面时的动能。 (2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 【答案】(1) 2 2 2 0 2 0 1 4 2 g hm v v gh     (2) 3 2 mgh. 【解析】（1）设该队员在空中运动的时间为 t ，在坡面上落点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ．由运动学公式 和已知条件得 x=v0t； 21 2h y gt  ；依题意： 2 2 xy h  由机械能守恒可知落到坡面时的动能为： 2 2 0 1 1 ( )2 2mv mv mg h y   联立解得： 2 2 2 2 0 2 0 1 1 2 2 2K mg hE mv mv v gh     （2）由 2 2 2 2 0 2 0 1 1 2 2 2K mg hE mv mv v gh     ；令 2 0v ngh ，则 2 2 2 1 2 1K n mgh nE mgh mghn n         当 1n  ； 2 0v gh ；此时动能最小，最小为 3 2 mgh。 必备知识 1.匀速圆周运动 （1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的弧长相等，就是匀速圆周运动。 （2）匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时 刻变化的变加速曲线运动。 （3）质点做匀速圆周运动的条件：物体受到的合外力F的方向与速度的方向始终垂直。 （4）描述匀速圆周运动的物理量 角速度 2 v t T r      线速度 2s rv rt T     向心加速度 2 2 2 2 4v ra r vr T       8 运行周期 2 2 rT v     2.向心力 （1）向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 （2）向心力 2 2 2 2 4vF ma m m r mrr T     （3）向心力的性质和来源：向心力是效果力，在分析完物体的重力、弹力和摩擦力后不能另外添加一个向 心力；物体做匀速圆周运动时，向心力由合外力提供。 3.竖直面内的圆周运动------“轻绳、轻杆”模型 （1）“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力 也可对小球产生支持力。 （2）有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下， 只讨论最高点和最低点的情况。 物理情景 绳模型 杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨 道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 异 同 点 受力特 征 除重力外，物体受到的弹力方 向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向 下、等于零或向上 受力示 意图 力学方 程 mg＋FN＝mv2 R mg±FN＝mv2 R 临界特 征 FN＝0 mg＝mv2min R 即 vmin＝ gR v＝0 即 F 向＝0 FN＝mg 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ gR v≥0 4.离心运动和向心运动 （1）离心运动本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势，即提供 的向心力小于所需要的向心力。 9 （2）受力特点 当 F＝mrω2 时，物体做匀速圆周运动； 当 F＝0 时，物体沿切线方向飞出； 当 F＜mrω2 时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示。 （3）向心运动本质：物体做圆周运动时，提供的向心力大于所需要的向心力时物体所做靠近圆心的运动。 1.当提供的向心力 F=0 时，物体沿切线方向飞出； 2.当提供的向心力 2vF m r  时，物体就做会做向心运动（即离圆心越来越近）。 关键能力 1.（2016·全国高考真题）如图，一固定容器的内壁是半径为 R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质 量为 m 的质点 P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W.重力加速度大小为 g。设质点 P 在最低点时，向心加速度的大小为 a，容器对它的支持力大小为 N，则( ) A．a＝ 2( )mgR W mR  B．a＝ 2mgR W mR  C．N＝ 3 -2mgR W R D．N＝ 2( )mgR W R  【答案】AC 【解析】质点 P 下滑的过程，由动能定理得 21 2mgR W mv  ，可得 2( )mgR Wv mR  ；在最低点，质点 P 的向心加速度 2 2( )=v mgR Wa R mR  ；根据牛顿第二定律得 2vN mg m R   ,解得 3 2mgR WN R  ；故 A、 B、C 正确，D 错误．故选 ABC。 2.（2016·浙江省高考真题）如图 1 所示．游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行.可抽象为图 2 的 模型．倾角为 45的直轨道 AB、半径 R=10m 的光滑竖直圆轨道和倾角为 37 的直轨道 EF，分别通过过水 平光滑街接轨道 BC．C‘E 平滑连接，另有水平减速直轨道 FG 与 EF 平滑连接 EG 间的水平距离 l=40m.现有 10 质量 m<500kg 的过山车，从高 h=40m 的 A 点静止下滑，经 BCDC‘EF 最终停在 G 点，过山车与轨道 AB、 EF 的动摩擦因数均为 1 0.2  与减速直轨道 FG 的动摩擦因数均为 2 0.75  ，过山车可视为质点，运动 中不脱离轨道，求 （1）过山车运动至圆轨道最低点 C 时的速度大小； （2）过山车运动至圆轨道最高点 D 时对轨道的作用力； （3）减速直轨道 FG 的长度 x（已知sin37 0.6  ， cos37 0.8  ） 【答案】（1） 8 10 /Cv m s ；（2）7000N；（3）x=30m 【解析】 (1)过山车到达 C 点的速度为 vc,由动能定理 2 1 1cos45 cos45 2 C hmgh mg mv    代入数据可得 8 10 /Cv m s (2)过山车到达 D 点的速度为 Dv ,由机械能守恒定律 D 2 21 12 2 2 CmgR mv mv  由牛顿第二定律 2 D D vmg F m R   联立代人数据可得：FD = 7000N ，由牛顿第三定律可知.轨道受到的力 F’D = 7000N (3)过山车从 A 到达 G 点.由动能定理可得 1 1 2( )tan37 cot 45 ( ) 0mgh mg l x mgh mg l x mgx           代人数据可得 x = 30m 故本题答案是：（1） 8 10 /Cv m s ；（2）7000N；（3）x=30m 必备知识 1.开普勒行星运动定律 （1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2）开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面 积。 （3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道半径的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 11 值都相等，即 3 2 a kT  。 说明：○1 开普勒行星运动定律适用于一切行星（卫星）绕恒星（行星）运动的情况； ○2 不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的； ○3 行星在近日点的速率远大于在远日点的速率； ○4 表达式 3 2 a kT  中，k 值只与中心天体有关。 2.万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比。 （2）公式： 1 2 2 m mF G r  （G=6.67×10-11 N·m2/kg2） （3）适用范围： ○1 质点间引力的计算； ○2 质量分布均匀的球体，r 是球体球心间的距离； ○3 一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力的计算，r 是球心到质点的距离； ○4 两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，r 为两物体质心间的距离。 3.天体表面上的重力加速度问题 （1）重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提 供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即 mg ＝GMm R2 ，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起。 （2）计算重力加速度的方法 ○1 在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：mg＝GmM R2 ，得 g＝GM R2 ○2 在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，mg′＝ GmM R＋h 2 ，得，g′＝ GM R＋h 2 ，所以g g′ ＝ R＋h 2 R2 (3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析。 4.天体质量和密度的计算 (1)“g、R 法”：已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 12 ①由 GMm R2 ＝mg 得天体质量 M＝gR2 G 。②天体密度ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR 。 (2)“T、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 ①由 GMm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量 M＝4π2r3 GT2 。②若已知天体的半径 R，则天体的密度ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3 。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝ 3π GT2 可见，只要测出卫星环 绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 关键能力 1.（2018·全国高考真题）2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”， 其自转周期 T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 。以 周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：在天体中万有引力提供向心力，即 ，天体的密度公式 ，结 合这两个公式求解。设脉冲星值量为 M，密度为 根据天体运动规律知： ， 代入可得： ，故 C 正确；故选 C 2．（2018·北京高考真题）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知 月地距离约为地球半径 60 倍的情况下，需要验证（ ） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60 【答案】B 【解析】A、设月球质量为 M月，地球质量为 M，苹果质量为 m ，则月球受到的万有引力为：  2= 60 GMMF r 月 月 13 苹果受到的万有引力为： 2 GMmF r  ，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的 关系无法确定，故选项 A 错误； B、根据牛顿第二定律：  260 GMM M a r 月 月 月， 2 GMm mar  ，整理可以得到： 2 1 60a a月 ，故选项 B 正确； C、在月球表面处： ' ' 2 M mG m gr 月 月 月 ，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重 力加速度的关系，故选项 C 错误； D、苹果在月球表面受到引力为： ' 2 M mF G r  月 月 ，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球 表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故选项 D 错误。 必备知识 1.三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km/s。 ①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。②第一宇宙速度是人造卫星最大的环绕速度。 ○3 第一宇宙速度的计算方法：①由 GMm R2 ＝m v2 R 得 v＝ GM R 。②mg＝m v2 R 得 v＝ gR。 （2）第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km/s，是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2. 卫星运行参量的比较与计算 （1）在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提 供.其基本关系式为 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m(2π T )2r＝m(2πf)2r。在天体表面，忽略自转的情况下有 GMm R2 ＝mg。 （2）卫星的绕行速度 v、角速度ω、周期 T 与轨道半径 r 的关系 ①由 GMm r2 ＝mv2 r ，得 v＝ GM r ，则 r 越大，v 越小。 ②由 GMm r2 ＝mω2r，得ω＝ GM r3 ，则 r 越大，ω越小。 ○3 由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，得 T＝ 4π2r3 GM ，则 r 越大，T 越大。 3.同步卫星、基地卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较 （1）地球同步卫星的轨道平面、高度、周期、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的。对同步卫星问 14 题，常用含周期或角速度的公式： 2( ) GMm R h =mω2(R+h)=m( 2π T )2(R+h)。 （2）极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自传，，极地卫星可以实现全球覆盖。 （3）近地卫星：在地球表面以地心为圆心环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为 等于地球半径。 （4）赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万 有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。 4.卫星变轨问题 （1）卫星发射及变轨过程概述：人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 ②在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 ○3 在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。 （2）三轨道运行物理量的大小比较 ①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ上过 A 点和 B 点速率分别为 vA、 vB。在 A 点加速，则 vA＞v1，在 B 点加速，则 v3＞vB，又因 v1＞v3，故有 vA＞v1＞v3＞vB。 ②加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 A 点，卫星的加速 度都相同，同理，经过 B 点时的加速度也相同。 ○3 周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、r2(半长轴)、r3，由 开普勒第三定律r3 T2 ＝k 可知 T1＜T2＜T3。 ○4 航天器变轨问题的三点注意事项 ※航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度 变化由 v＝ GM r 判断。 ※航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 ※航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 ○5 卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 15 受力分析 GMm r2 ＜mv2 r GMm r2 ＞mv2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动 5.多星问题 （1）双星模型 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2 L2 ＝m1ω 21 r1，Gm1m2 L2 ＝m2ω 22 r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L （2）三星系统 ①三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终 位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2 r2 ＋Gm2 2r2 ＝ma。两 行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运 行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。Gm2 L2 ×2×cos 30°＝ma，其中 L＝2rcos 30°。三 颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 （3）四星系统 ①如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。 Gm2 L2 ×2×cos 45°＋ Gm2  2L2 ＝ma 其中 r＝ 2 2 L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 16 ②如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心 O 点，三颗 行星以 O 点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。Gm2 L2 ×2×cos 30°＋GMm r2 ＝ma，其中 L＝2rcos 30°。 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。 关键能力 1.（2019·北京高考真题）2019 年 5 月 17 日，我国成功发射第 45 颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨 道卫星（同步卫星），该卫星（ ） A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．若发射到近地圆轨道所需能量较少 【答案】D 【解析】由同步卫星的特点和卫星发射到越高的轨道所需的能量越大解答。由于卫星为同步卫星，所以入 轨后一定只能与赤道在同一平面内，故 A 错误；由于第一宇宙速度为卫星绕地球运行的最大速度，所以卫 星入轨后的速度一定小于第一宇宙速度，故 B 错误；由于第二宇宙速度为卫星脱离地球引力的最小发射速 度，所以卫星的发射速度一定小于第二宇宙速度，故 C 错误；将卫星发射到越高的轨道克服引力所作的功 越大，所以发射到近地圆轨道所需能量较小，故 D 正确。 2．（2013·山东省高考真题）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的 某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能 发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍， 两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ） A． 3 2 n Tk B． 3n Tk C． 2n Tk D． nTk 【答案】B 【解析】两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有： 17 21 2 1 12 2( )m mG m rL T  21 2 2 22 2( )m mG m rL T  又 1 2L r r  ， 1 2M m m  ，联立以上各式可得 2 34 LT GM  故当两恒星总质量变为 kM ，两星间距变为 nL 时，圆周运动的周期T变为 3n Tk ，B 正确，ACD 错误。 故选 B。