2015年(全国卷II)(含答案)高考文科数学 17页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学（文）试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1.已知集合A=( )‎ ‎ A.( -1，3) B.( -1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)‎ ‎2.若a实数，且( )‎ ‎ A.-4 B. -3 C. 3 D. 4‎ ‎3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )‎ A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；‎ B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；‎ C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；‎ D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。‎ ‎4.已知向量( )‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎5.设若( )‎ A. 5 B. 7 C. 9 D. 11‎ ‎6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为( )‎ 开始 输入a,b ab a>b 输出a ‎ 是 否 ‎ 是 否 结束 b=b-a a=a-b ‎ A. 0 B. 2 C. 4 D.14‎ ‎9.已知等比数列( )‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎10.已知A,B是球O的球面上两点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A. 36π B. 64π C. 144π D.256π ‎11.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记 ‎( )‎ ‎12.设函数 ‎( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ‎13.已知函数 。‎ ‎14.若x,y满足约束条件 。‎ ‎15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 。‎ ‎16.已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线 。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）求 （Ⅱ）若 ‎18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 频 数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）‎ ‎（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.‎ ‎19.如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；‎ ‎（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎20. 已知椭圆 的离心率为,点在C上.‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎21.已知.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围. ‎ ‎22.选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎（I）证明∥.‎ ‎（II）若AG等于⊙O的半径,且 ,求四边形EDCF的面积.‎ ‎23.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎ ‎（I）求与交点的直角坐标；‎ ‎（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值 ‎24.选修4-5：不等式证明选讲 设 均为正数,且.证明：‎ ‎（I）若 ,则；‎ ‎（II）是的充要条件.‎ ‎2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版）‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】‎ 因为,,所以故选A.‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由题意可得 ,故选D.‎ ‎3．【答案】 D ‎【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析：由,所有.故选A.‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 ‎,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离. 故选B.‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积.故选C.‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,由此可排除C,D；当时点在边上，，，所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.‎ ‎13．【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得 .‎ ‎14．【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.‎ ‎16．【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .‎ ‎17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,‎ 所以 ‎ 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以 由（I）知,‎ 所以 ‎ ‎18．【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.（II）由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；‎ 表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.‎ 由直方图得 的估计值为,‎ ‎ 的估计值为,‎ 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎19．【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ） 或 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别在上取H,G,使；长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为 或 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎（Ⅱ）作 垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为 （也正确）.‎ ‎20．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见试题解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由 求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线,,把代入 得 故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎21．【答案】（Ⅰ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ ‎22．【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）要证明, 可证明；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形, 所以AD是的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以,故,所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为,所以 因为 所以OD=1,于是AD=5, 所以四边形DBCF的面积为 ‎ ‎23．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线极坐标方程为进一步求出点A的极坐标为,点B的极坐标为 ‎,,由此可得.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.‎ ‎（Ⅱ）曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,‎ 所以,当时取得最大值,最大值为4.‎ ‎24．【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由及,可证明,开方即得.（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ 由题设,,得,因此.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）若,则,即 因为,所以,由（Ⅰ）得.‎ ‎（ⅱ）若,则,即因为,所以,‎ 于是因此,综上 是的充要条件.‎