江苏省高考数学模拟应用题选编一 13页

‎2016年江苏省高考数学模拟应用题选编（一）‎ ‎1、（无锡市2015年秋学期高三期中考试试卷数学）如图，某自行车手从O点出发，沿折线O–A–B–O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东且与点O相距千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（其中 ，）且与点O相距千米（假设所有路面及观测点都在同 一水平面上）．‎ ‎（1）求该自行车手的骑行速度；‎ 北 东 ‎（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．‎ ‎2、（江苏省泰州中学2015-2016学年第一学期期中调研测试高三）如图，某市若规划一居民区ABCD，AD=‎2千米，AB=‎1千米。政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E,F分别在线段AB,AD上），且该三角形AEF的周长为‎1千米，三角形AEF的面积为S.‎ ‎（1）设AE=,求S关于的函数关系式；‎ ‎ 设角AEF=，求S关于的函数关系式；‎ ‎（2）是确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S最大，并求出S的最大值.‎ ‎3、（江苏省镇江中学三校联考2016届高三上学期第一次联考数学试题）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．‎ ‎（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入 万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．‎ ‎4、（江苏省扬州中学2016届高三下学期3月质量检测）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为‎30 km(忽略内、外环线长度差异)．‎ ‎(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，求内环线列车的最小平均速度；‎ ‎(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为‎25 km/h，外环线列车平均速度为‎30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？‎ ‎5、（江苏省扬州中学2016届高三上学期12月月考试题）某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N测得汽笛声的时刻晚（设海面上声速为）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）‎ ‎（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？‎ ‎（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。‎ B A C D θ ‎6、（江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞，B，C间的距离为100㎞，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25㎞/h，再乘汽车到C，车速为50㎞/h，记∠BDA＝θ． （1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)； （2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？‎ ‎7、（江苏省盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数学试卷）如图，‎ 河的两岸分别有生活小区和，其中，，，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，. 若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则河岸可看成是曲线（其中为常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，设点的横坐标为.‎ ‎ ①请写出桥的长关于的函数关系式，并注明定义域；‎ O A C B D E F x y M N 第18题图 ‎②当为何值时，取得最小值？最小值是多少？‎ ‎8、（2016年靖江中学月考）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，长要超过‎4米（不含‎4米），为的中点，到的距离比的长小‎1米，.‎ （1） 若，将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段、和的长度之和）‎ （2） 如何设计、的长，可使支架总长度最短. ‎ ‎9、（江苏省无锡市2016届高考数学一模试卷）在一个直角边长为‎10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：‎ 方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；‎ 方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．‎ ‎10、（江苏省泰州中学2016届高三下学期期初考试数学试题）某企业接到生产3000台某产品的三种部件的订单，每条产品需要这三种部件的数量分别为（单位：件），已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部分2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产者三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为为正整数）‎ ‎（1）生产A部件的人数，分别写出完成三种部件生产需要的时间；‎ ‎ （2）鉴赏者三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短的具体的人数分组方案。‎ ‎11、（2015届江苏省海安高三数学期中考试试题）某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为．设圆柱的高度为底面半径半径为且假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为元/，易拉罐上下底面的制造费用均为元/（为常数）‎ ‎⑴写出易拉罐的制造费用（元）关于的函数表达式，并求其定义域；‎ ‎⑵求易拉罐制造费用最低时的值．‎ ‎12、（江苏省苏州市四市五区2016届高三上学期期中数学试题）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为‎10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C 岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．‎ ‎(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；‎ ‎(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？‎ 答案 ‎1、解：（1）由题意，知：OA=20，OC=5，∠AOC=，．‎ 由于，所以cos=． …………………3分 由余弦定理，得AC=． …………………5分 所以该自行车手的行驶速度为（千米/小时）． …………………6分 ‎ （2）如图，设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理，得：‎ ‎ ， ‎ 从而． …………………9分 在△AOM中，由正弦定理，得：‎ ‎ ． …………………12分 由于OE=27.5＞40 = OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE-OM=7.5．‎ 过点E作EHAB于点H，则EH为点E到直线AB的距离．‎ 在Rt△EHM中，‎ ‎．‎ 所以该自行车手会进入降雨区． …………………16分 ‎2、‎ ‎3、(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，…………2分 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. …………5分 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…………6分 ‎(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，…………8分 等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．…………12分 由于＋x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2. …………15分 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. …………16分 ‎4、解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h，由题意可知×60≤10v≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min，列车的最小平均速度是‎20 km/h. ‎ ‎(2) 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2 min，则t1＝×60＝，t2＝×60＝.于是有t=|t1－t2|＝=在（0,9）递减，在（10，17）递增.又，所以x＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.‎ ‎5、（1）设轮船所在的位置为，由题意可得。，‎ ‎ 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支。‎ ‎ 设点的轨迹方程为 则 ‎ ‎ 兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是（‎ ‎（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。‎ ‎ 设直线的方程为。‎ ‎ 当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，‎ 则 ，‎ 点在点的左侧，船不可能进入暗礁区。‎ 当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，‎ 则，‎ ‎ 在点的右侧，船不可能进入暗礁区。‎ 综上，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。‎ ‎6、B A C D θ 解：（1）∵AD＝， ∴A到D所用时间t1＝ BD＝＝， CD＝100－BD＝100－ ∴D到C所用时间t2＝2－ ∴t(θ)＝t1＋t2＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）··························6分 （2）t¢(θ)＝＝····································8分 令t¢(θ)＞0，得：cosθ＜ ∴＜θ＜；∴当θ∈，时，t(θ)单调递增； 同理θ0＜θ＜，t¢(θ)＜0，t(θ)单调递减·····················12分 ∴θ＝，t(θ)取到最小值＋2；·························································13分 答：当θ＝时，由A到C的时间最少 为＋2小时．·····························14分 ‎7. 解：（1）将两点坐标代入到中，得， …2分 解得. ………3分 再将两点坐标代入到中，得 …………5分 解得. …………6分 ‎（2）①由（1）知直线的方程为，即. ………7分 设点的坐标分别为，则利用点到直线的距离公式，‎ 得， …………9分 又由点向直线作垂线时，垂足都在线段上，所以，‎ 所以，. …………10分 ‎② 方法一：令，因为，‎ 所以由，解得或（舍）， …………12分 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ 从而当时，取得最大值为， …………14分 即当时，取得最小值，最小值为. …………16分 方法二：因为，所以，‎ 则 …………12分 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号， …………14分 即当时，取得最小值，最小值为. ………16分 方法三：因为点在直线的上方，所以，‎ 所以，， …………12分 以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. ………16分 方法四：平移直线至，使得与曲线相切，‎ 则切点即为取得最小值时的点. ……12分 由，得，则由，且，解得……14分 故当时，取得最小值，最小值为. …………16分 ‎8、解：（1）由，则，设，‎ 则支架的总长度为，‎ 由，则 ‎ ………………6分 由题中条件得 ………………7分 （2） 设 则原式 ……10分 ‎∵由基本不等式 ∴‎ 有且仅当，即时成立，又由满足 ‎∴，∴‎ ‎∴当时，金属支架总长度最短.…………14分 ‎9、解：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上，则P，Q，R，C四点共圆，且AB与圆相切时△PQR的面积最小，最小面积为=；‎ 方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上，设QP=QR=l，∠ORC=α，‎ ‎∴2lsinα+lcosα=10，‎ ‎∴l==≥，‎ ‎∴最小面积为=10，‎ ‎∵＞10，‎ ‎∴应选用方案二．‎ ‎10、‎ ‎11、解：（1）由题意，体积V＝pr2h，得h＝＝．‎ ‎ y＝2prh×m＋2pr2×n＝2p (＋nr2)． ……………………… ……4分 ‎ 因为h≥4r，即≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为(0，3]．…………6分 ‎ （2）令f(r)＝＋nr2，则f'(r)＝－＋2nr．‎ ‎ 由f'(r)＝0，解得r＝3．‎ ‎ ①若＜1，当n＞‎2m时，3∈(0，3]，由 R ‎(0，3)‎ ‎3 ‎(3，3]‎ f'(r)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(r)‎ 减 增 ‎ 得，当r＝3时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低．…………10分 ‎ ②若≥1，即n≤‎2m时，由f'(r)≤0知f(r)在(0，3]上单调递减，‎ 当r＝3时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低．……………………14分 ‎12、解：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.‎ 由正弦定理知＝＝，……………………………..2分 即CD＝， AD＝，……………………………………..3分 所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a ‎＝[]a＋‎80a…………………………………………..5分 ‎＝[20]a＋‎60a. ………………..6分 ‎(2) S′＝20 ·a，…………………………………..……………..8分 令S′＝0得cos α＝……………………………………………………..10分 当cos α>时，S′<0； 当cos α<时，S′>0，………………………………..12分 所以当cos α＝时，S取得最小值，…………………………………………………..14分 此时sin α＝，AD＝＝5＋，…………………..15分 所以中转点C距A处 km时，运输成本S最小．……………………..16分