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- 2021-05-13 发布
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2013年高考数学试卷分析(理)
承担校区 试卷分析人
三、解答题
18、本题主要考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ)由题 意得
(Ⅱ)设数列(Ⅰ)得
当
当
综上所述,
19.本题主要考查随机事件的概率和随机量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
(Ⅰ) ,由题意得
故
2
3
4
5
6
P
所以的分布列为
(Ⅱ)由题意知的分布列为
1
2
3
P
所以
化简得:
解得
20.(本题满分15分)如图,在四面体中,,,,.是的中点,是的中点,点在线段上,且.
(1)证明:;
(2)若二面角的大小为,求的大小.
【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的运用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【解析】方法一:
(1)取的中点,在线段上取点,使得,连结,
因为,所以,且.
因为分别为,的中点,所以是的中位线,
所以,且.
又因为点是的中点,所以,.
从而.
所以四边形为平行四边形,故.
又,,所以.
(2)作于点,作于点,连结.
因为,,所以.
又,,故,又,所以.
又,,故,所以,.
所以为二面角的平面角,即.
设.
在中,
.
在中,.
在中,.
所以.从而,即.
方法二:
(1)如图,取的中点,以为原点,所在射线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系.
由题意知.
设点的坐标为,因为,所以
.
因为是的中点,故,又是的中点,,故,所以.
又平面的一个法向量为,故.
又,所以.
(2)设平面的一个法向量为,
由知:
取得.
易知平面的一个法向量为,于是
,即①
又,所以,故,即②
联立①,②解得,
所以.
又是锐角,所以.
21.(本题满分15分)如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积取最大值时直线的方程.
【分析】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
【解析】(1)由题意得,
所以椭圆的方程为.
(2)设.由题意知直线的斜率存在,不妨设为,则直线的方程为.
又圆,故点到直线的距离为,
所以.
又,故直线的方程为.
由消去,整理得.
故.所以.
设的面积为,则,
所以,
当且仅当时取等号.
所以所求的的方程为
22.(本题满分14分)已知,函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求的最大值.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识,同时考查推理论证能力,分析解决问题的能力。
【解析】(1)由题意,故.
又,所以所求的切线方程为.
(2)由于,故
①当时,有,此时在上单调递减,故
.
②当时,有,此时在上单调递增,故
③当时,设,则
,.
列表如下:
极大值
极小值
由于,
故,
从而,所以,
1)当时,.
又,
故.
2)当时,,且.
又,
①当时,,故
②当时,,故
综上: