高考第一轮复习文科——线面角点到面距离直线到平面距离 6页

年 级 高二 学 科 数学 版 本 人教版（文）‎ 内容标题 线面角、点到面距离、直线到平面距离 编稿老师 刘震 ‎【本讲教育信息】‎ 一. 教学内容：‎ 线面角、点到面距离、直线到平面距离 二. 重点、难点：‎ ‎1. 点到平面距离。‎ ‎ 平面外一点向平面引垂线有且只有一条，这个点和垂足间距离，叫做这个点到平面的距离。‎ ‎2. 直线与平面的距离。‎ ‎ 直线与平面平行，直线上任意一点到平面的距离，叫做直线到平面的距离，计算线面距离应转化为点到平面距离。‎ ‎3. 直线与平面所成角。‎ 规定为 或规定为 与斜交，为与其在面内射影所夹锐角。‎ ‎【典型例题】‎ ‎[例1] 长方体中，，‎ ‎（1）求（D，面）‎ ‎（2）求（B，面D1AC）‎ ‎（3）求（A1C1，面D1AC）‎ ‎（4）求（BB1，AC）‎ 解：‎ ‎（1）过D作DE⊥AC于E，连D1E 过D作DF⊥D1E于F AD=1 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）连BD交AC于H，H为BD中点 ∴ （D，面D1AC）=（B，面D1AC）‎ ‎∴ （B，面D1AC）=（证明见例2）‎ ‎（3）面 ‎∴ （，面）=（，面）‎ 中点在面内 ∴ （，面）=（D，面D1AC）‎ ‎∴ （，面）=‎ ‎（4）过B作BM⊥AC于M。BM为异面直线AC、BB1的中垂线 ‎[例2] 平面过线段AB中点。求证 证：过作AC于C，过B作BD于D ‎ 确定平面，‎ ‎∴ C、D、H三点共线CD，‎ ‎∴ ‎ ‎[例3] 四面体PABC中，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，求PA与面ABC所成角。‎ ‎ 解：显然：AB=BC=CA= D为BC中点 ∴ AD⊥BC，PD⊥BC 连PD过P作PH⊥AD于H 面面 ‎∴ 为PA与面BAC所成角 ‎∴ ‎ ‎[例4] 求证：两条平行直线与同一平面所成角相等。‎ 已知，平面，求证、与所成角相等。‎ ‎（1），∴ 均为 ‎（2）或或均为 ‎（3）、与斜角 如图AC于C， ∴ 为与所成角 于D， ∴ 为与所成角 ‎[例5] 线段AB//，且AB=3，AC⊥AB，ACC，BD⊥AB，BDD，AC、BD与所成角为、且CD=5，求（）‎ 解：过A作于，过B作BB1⊥于，确定平面 ‎（1）AC、BD在同侧，设 ∴ ，‎ ‎ CD=5 ∴ ‎ ‎（2）AC、BD在异侧，设，，‎ ‎ CD=5 ∴ ‎ ‎【模拟试题】（答题时间：60分钟）‎ 一. 选择题：‎ ‎1. ，，，，则有（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 与空间四边形四个顶点等距的平面有（ ）个。‎ ‎ A. 1 B. 5 C. 7 D. 10‎ ‎3. ，，，确定平面，，则（ ）‎ ‎ A. 28 B. 12 C. 28或12 D. 以上均不正确 ‎4. 若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=，‎ 的边长为1，则PC与平面ABC所成角是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 若斜线段AB长是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎6. 长方体中，，，则、、满足（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二. 解答题： ‎ ‎1. 如图，，在平面内，PA是的斜线，，求PA与平面所成的角。‎ ‎2. 如图，已知，BC//，于，于。‎ 求证：。‎ ‎3. 已知空间四边形ABCD中，AO1⊥平面BCD，并且O1为垂心，BO2⊥平面ACD于O2，求证：O2是的垂心。‎ ‎【试题答案】‎ 一.‎ ‎1. C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. B 二.‎ ‎1. 解：作平面于O，作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，连结PM、PN，则PM⊥AC，PN⊥AB，在和中，‎ ‎∴ ∴ PM=PN ‎ ‎∵ OM、ON分别是PM、PN在平面内的射影 ‎∴ OM=ON，于是AO是的平分线，设，‎ ‎∴ ∴ ‎ 在中， ∴ ‎ 即PA与平面所成的角为 ‎2. 证明：∵ ， ∴ ‎ 设与确定的平面为，则 又 ∵ BC// ∴ ∵ ∴ ‎ ‎∵ 为AB在内的射影 ∴ ，即 ‎3. 证明：连结DO1、AO2、CO2‎ ‎∵ O1是的垂心 ∴ ∵ 平面BDC ‎∴ AD在平面BDC内的射影为 ∴ ‎ ‎∵ 平面ACD ‎ ‎∴ 在平面ACD内的射影为 ∴ ‎ 同理 ∴ 是的垂心