2010高考导数试题汇编教师版1 31页

导数综合训练 ‎1．已知函数，，记 ‎ (1)求的单调区间； (2)当时，若，比较：与的大小；‎ ‎ (3)若的极值为，问是否存在实数，使方程有四个不同实数根？‎ ‎ 若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)的定义域为（0，+∞）， 又 ‎ ， 当时，>0恒成立 ‎ ∴在（0，+∞）上单调递增； 令得 ‎ 当时，若， ∴在（0，）上单调递减；‎ ‎ 若，，∴在（，+∞）上单调递增，‎ ‎ 故时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）. ‎ ‎(2)令，则，‎ ‎ 所以在［1，+∞）上单调递增，∴，∴‎ ‎(3)由(1)知仅当时，在＝处取得极值 ‎ 由可得＝２，方程为．．．， ‎ ‎ 令，得．．．由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，‎ 令，当直线与曲线相切时，，得切点坐标（３，） ‎ ‎∴切线方程为，其在y轴上截距为；‎ 当直线在轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，‎ 所以k的取值范围为（，0）（注：也可用导数求解）‎ ‎2.（2010湖南文）已知函数其中a<0,且a≠-1.‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，‎ 31‎ ‎ 使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎3.（2010浙江理）已知是给定的实常数，设函数，，‎ ‎ 是的一个极大值点．‎ 31‎ ‎ (1)求的取值范围；‎ ‎ (2)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）f’(x)=ex(x-a) 令 ‎ ‎ ‎ 于是，假设 ‎(1)当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。‎ ‎(2)当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x10，为单调递增区间。‎ 最大值在右端点取到。。‎ ‎9.（2010安徽文）设函数，，求函数的单调区间与极值。‎ 31‎ ‎10.（2010浙江文）已知函数（a-b）0. ‎ ‎ (1)若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎ (2)若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ （1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 ‎ 当等价于 ‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 31‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即 解不等式组得或.因此21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明：（1）‎ 若 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.‎ ‎18.（2010福建文）已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2‎ 31‎ ‎(1)求实数a,b的值；‎ ‎(2)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。‎ ‎ （i）求实数m的最大值；‎ ‎ (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。‎ 31‎ ‎19.（2010全国1理）已知函数.‎ ‎ (1)若，求的取值范围； (2)证明： .‎ 31‎ ‎20.（2010四川文）设（且），g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎ (1)求；‎ ‎ (2)当时，恒有成立，求t的取值范围；‎ ‎ (3)当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.‎ ‎21.（2010湖北文）设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1‎ ‎(1)确定b、c的值 31‎ ‎(2)设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）‎ ‎ 证明：当时，‎ ‎(3)若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。‎ ‎22.（2010山东理数）已知函数.‎ ‎ (1)当时，讨论的单调性；‎ ‎ (2)设当时，若对任意，存在，‎ ‎ 使，求实数取值范围.‎ 31‎ ‎（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，‎ 有，又已知存在，使，所以，，‎ 即存在，使，即，即，‎ 所以，解得，即实数取值范围是。‎ ‎23.（2010湖南理）已知函数对任意的，恒有。‎ ‎ (1)证明：当时，；‎ ‎ (2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。‎ 解：‎ 31‎ ‎24.（2010湖北理）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式。‎ ‎(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。‎ 31‎ ‎25．设函数.‎ ‎ (1)若，求的最小值； (2)若当时，，求实数的取值范围.‎ 解：(1)时，，.‎ ‎ 当时，；当时，.‎ ‎ 所以在上单调减小，在上单调增加，故的最小值为 ‎(2)，‎ 当时，，所以在上递增，‎ 而，所以，所以在上递增，‎ 而，于是当时， .‎ 当时，由得 当时，，所以在上递减，‎ 而，于是当时，，所以在上递减，‎ 而，所以当时，.‎ ‎ 综上得的取值范围为.‎ ‎26.（2010安徽理）设为实数，函数。‎ ‎ (1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，。‎ 31‎ ‎27.（2010江苏）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎ (i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ 解：（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立， ∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 31‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ 31‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ ‎28.（09全国Ⅰ理）设函数在两个极值点，且 ‎(1)求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(2)证明：‎ 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①‎ 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ ‎　　　消去可得．‎ 又，且 www.ks5u.com ‎29.（09浙江理）已知函数，，其中．21世纪教育网 ‎ ‎ (1)设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ 31‎ ‎ (2)设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 21世纪教育网 ‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；21世纪教育网 ‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．21世纪教育网 ‎ ‎30.（09北京理）设函数 ‎(1)求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎21世纪教育网 ‎ 解：（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ ‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ 31‎ ‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎31.（09江苏）设为实数，函数. ‎ ‎ (1)若，求的取值范围； ‎ ‎ (2)求的最小值； ‎ ‎ (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ 解：（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎32.（09广东理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在 31‎ 处取得极小值．设．‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点． ‎ 解：（1）依题可设 ()，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ ， ， ‎ 设，则 21世纪教育网 ‎ 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 31‎ 综上，当时, 函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点.‎ ‎33.（09安徽理）已知函数，讨论的单调性.‎ 解：的定义域是(0,+), 21世纪教育网 ‎ 设,二次方程的判别式.‎ ① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。‎ ② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 ‎ ③ 当，即时，‎ 方程有两个不同的实根,,.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.‎ ‎34.设函数有两个极值点，且 ‎ (1)求的取值范围，并讨论的单调性；(2)证明： ‎ 解: （I）‎ ‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数；21世纪教育网 ‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎（II）由（I），‎ 31‎ 设，‎ 则 ‎⑴当时，在单调递增；‎ ‎⑵当时，，在单调递减。21世纪教育网 ‎ 故． ‎ ‎35.（09辽宁文）设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。‎ ‎ (1)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(2)证明：当 ‎ 解：（Ⅰ）.有条件知，‎ ‎ ，故. ‎ ‎ 于是.‎ ‎ 故当时，＜0； ‎ ‎ 当时，＞0.从而在，单调减少，在单调增加. ‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. ‎ ‎ 从而对任意，，有. ‎ ‎ 而当时，.从而 ‎ ‎36.（09辽宁理）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎ (1)讨论函数的单调性； ‎ ‎ (2)证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ 解：(1)的定义域为。‎ ‎（i）若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 31‎ 则 由于1