高考文科数学大纲全国卷 12页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修I)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 一、选择题 ‎1.设集合,则 A. B. C. D.‎ ‎2.函数的反函数为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.设向量，满足,，则 A. B. C. D.‎ ‎4.若变量、满足约束条件则的最小值为 A.17 B‎.14 ‎‎ ‎ C.5 D.3‎ ‎5.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.设为等差数列的前n项和，若，公差，，则 A.8 B‎.7 ‎ C.6 D.5‎ ‎7.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 A. B. C. D.‎ ‎8.已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则 A.2 B. C. D.1‎ ‎9.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A.12种 B.24种 C.30种 D.36种 ‎10.设是周期为2的奇函数，当时，，则 A. B. C. D.‎ ‎11.设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离=‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎12.已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆，若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3.第Ⅱ卷共l0小题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上(注意：在试卷上作答无效)‎ ‎13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .‎ ‎14.已知，，则 .‎ ‎15.已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ ‎16.已知、分别为双曲线C:的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线．则 .‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 设数列的前n项和为,已知，，求和．‎ ‎18.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为、、.己知，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求和.‎ ‎19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．‎ ‎20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，，.‎ A S D C B ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的大小．‎ ‎21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：曲线在处的切线过点；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，，求的取值范围．‎ ‎22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足 ‎（Ⅰ）证明：点在上；‎ ‎（Ⅱ）设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上．‎ 参考答案及解析 ‎1.【答案】D ‎【解析1】直接法．因为，所以．‎ M 1‎ ‎2,3‎ ‎4 N U ‎【解析2】反演律．．‎ ‎【解析3】韦恩图法．‎ ‎2.【答案】B ‎【解析1】直接法．由解得，，‎ 所以的反函数为．‎ ‎【解析2】特值法．在原函数的图像上取一点，则点必在反函数上，排除选项C、D．在函数的图像上取一点，但不在函数的图形上，排除选项A．‎ ‎【解析3】图像法．先画出函数的图像，再根据对称性画出的反函数的图像，函数的图像及其反函数图像如右图．‎ 观察图像可排除选项A、C，因为原函数与反函数的图像都经过点，故选B．‎ ‎3.【答案】B ‎【解析1】解析法．‎ 因为，，所以．‎ C A B O D ‎【解析2】数形结合法．‎ 如右图所示，设，，，由，，知，则 ‎4.【答案】C ‎【解析1】顶点法 直线的交点分别为，代入目标函数得：，，，所以的最小值为.‎ ‎【解析2】‎ 注：线性规划问题的简易解法 ‎5. 【答案】A ‎【解析1】，且．‎ ‎6.【答案】D ‎【解析1】由，得，解得．‎ ‎【解析2】，又因为，公差，所以．‎ ‎7.【答案】C ‎【解析1】由题意得，显然为6的整数倍．‎ ‎【解析2】由题,解得，令，即得．‎ ‎8.【答案】C ‎【解析1】向量法 由，得，所以．‎ ‎【解析2】公式法．．‎ ‎9.【答案】B ‎【解析1】分步计数原理．‎ 第一步，先从4位同学中选2位同学选修课程甲，方法数为种；‎ 第二步，剩下的两位同学选修课程乙或丙，方法数为种；‎ 总的方法数为种．‎ ‎10. 【答案】A ‎【解析1】．‎ ‎11.【答案】C ‎【解析1】设，，则，，不妨设，则，．所以．‎ ‎12.【答案】D ‎【解析1】因为圆的面积为，所以圆的半径．设球心为O，则，，圆的半径，所以圆的面积为．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析1】因为，，所以的系数与的系数之差为.‎ ‎14.【答案】‎ x O A y B ‎【解析1】公式法．由，解得，所以．‎ ‎【解析2】图示法 如右图所示，设的终边为，过点做于点．因为，所以可设，，显然．‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析1】欧几里得法 因为，所以为异面直线与所成角，．‎ ‎【解析2】坐标法 以点为坐标原点，以射线为轴的正半轴，以射线为轴的正半轴，以射线为轴的正半轴，设建立空间直角坐标系．则，，，，所以，．‎ ‎．‎ ‎16.【答案】6‎ ‎【解析1】根据角平分线定理，有，又因为，所以．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】基本量法．‎ 设的公比为，由题设得 解得或 当，时，，；‎ 当，时，，．‎ ‎18.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】（Ⅰ）设R为△ABC的外接圆的半径．，利用正弦定理得，整理得，即，所以．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】（Ⅰ）设事件A={购买甲种保险}，B={购买乙种保险}，C={至少购买甲、乙两种保险中的1种}．‎ 因为，，所以．‎ ‎．‎ 另解：．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，则四边形为矩形，，连接，则，．‎ 又，故，所以为直角．‎ 由，，，得，所以．‎ 与两条相交直线、都垂直，所以．‎ E A S D C B F G H ‎（Ⅱ）由知，．作，垂足为，则，．‎ 作，垂足为，则．连接，则．‎ 又，，故，．‎ 作，为垂足，则．，即到平面的距离为．‎ 由于，所以，到平面的距离．‎ 设与平面所成的角为，则，．‎ ‎【解析2】‎ z A S D C B x y 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间坐标系．‎ 设，则，，又设，则，，．‎ ‎（Ⅰ）,,,由得 ‎,‎ 解得，由得，又由得，即，故，．‎ 于是，，，，，．故，，又，所以．‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量，则，，，，又，，故 取得，又，．‎ 故与平面所成得角为．‎ ‎【解析3】‎ S z D A x B C y ‎（Ⅰ）计算，，，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证，又，因此．‎ ‎（Ⅱ）过点D做，如图建立空间直角坐标系．‎ ‎，，，，可计算平面的一个法向量是，，．‎ ‎21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】‎ ‎（Ⅰ）．‎ 由，得曲线在处的切线方程为 ‎，‎ 由此知曲线在处的切线过点．‎ ‎（Ⅱ）由得.‎ ‎（i）当时，，没有极小值；‎ ‎（ii）当时，或，由得 ‎，，‎ 故．由题设知．‎ 当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式得．‎ 综合（i）（ii）得的取值范围是．‎ ‎22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎【解析1】‎ ‎（Ⅰ）,的方程为，代入并化简得 ‎．‎ 设，，，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 由题意得，．‎ 所以点的坐标为．‎ 经验证，点的坐标满足方程，故点在椭圆上．‎ ‎（Ⅱ）由和题设知，，的垂直平分线的方程为 ‎． 设的中点为，则，的垂直平分线的方程为 ‎． 由得、的交点为.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故 ．‎ 又 ，，‎ 所以 ，‎ 由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上．‎