高考试题—数列含详解 47页

高考数学试题分类汇编——数列 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎2.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得，，则， ，选C. ‎ ‎3.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7‎ ‎【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ ‎【答案】B ‎4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ‎ A. 18 B. ‎24 ‎‎ C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：C ‎【解析】由得得,再由得 则,所以 ‎,.故选C ‎5.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】‎ A．13 B．‎35 C．49 D． 63 ‎ 解: 故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎6.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3‎ ‎【答案】：C ‎[解析]∵且.故选C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎7.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝‎ ‎（A）－2 （B）－ （C） （D）2‎ ‎【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－‎ ‎【答案】B ‎8.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = ‎ ‎（A） 2 （B） （C） （D）3‎ ‎【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2‎ ‎ 于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎9.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=‎ ‎（A）7 （B）8 （3）15 （4）16‎ 解析：4，2，成等差数列，,选C.‎ ‎10.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. ‎100 C. 145 D. 190‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100‎ ‎11.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.‎ ‎12.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B‎.1024 ‎‎ C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.‎ ‎13.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则 ‎（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（‎2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。‎ ‎14.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 解析设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 ‎15.（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ‎ ‎（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 ‎ ‎[解析]：由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B ‎16.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为 A． B． C． D．‎ 答案：A ‎【解析】由于以3 为周期,故 故选A ‎17.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. ‎100 C. 145 D. 190 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100‎ 二、填空题 ‎1.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 。‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎. ‎ ‎2.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ 答案：15‎ ‎【解析】对于 ‎3.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ ‎【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．‎ ‎【解析】对于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．‎ 答案： 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．‎ ‎5.（2009北京文）若数列满足：，则 ；前8项的和 ‎ .（用数字作答）‎ ‎.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎，‎ 易知，∴应填255.‎ ‎6.（2009北京理）已知数列满足：则________；=_________.‎ ‎【答案】1，0‎ ‎【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.‎ 依题意，得，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ∴应填1，0.‎ ‎7.（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= . ‎ ‎【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ‎ 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9‎ ‎8.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.‎ ‎【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. ‎ 答案:13.‎ ‎【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.‎ ‎9.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。若，则= × ‎ 答案：3‎ 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。‎ ‎10.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎11.【答案】4 5 32‎ ‎【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时， 故 ‎②当为奇数时，‎ 故得m=4。‎ ‎（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ‎，所以=1可得m=5‎ ‎12.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则 9 . ‎ 解：为等差数列，‎ ‎13.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则 ‎ ‎【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ∴S5＝‎5a1＋10d,S3＝‎3a1＋3d ‎ ∴6S5－5S3＝‎30a1＋60d－(‎15a1＋15d)＝‎15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝‎15a4‎ ‎【答案】‎ ‎14.（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______‎ 解析：由+-=0得到。‎ 答案10‎ ‎15.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:2n 解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.‎ ‎16.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .‎ 答案：1‎ ‎17.（2009宁夏海南卷文）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。‎ ‎18.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 ‎=‎ ‎19.（2009重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式= ． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：2n+1‎ ‎【解析】由条件得且所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列，则 三、解答题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】（1）, ‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在数列中，‎ ‎ （I）设，求数列的通项公式 ‎ （II）求数列的前项和 分析：（I）由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎3.（2009浙江文）（本题满分14分）设为数列的前项和，，，其中是常数．‎ ‎ （I） 求及；‎ ‎ （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．‎ 解析：（Ⅰ）当，‎ ‎ （）‎ ‎ 经验，（）式成立， ‎ ‎ （Ⅱ）成等比数列，，‎ 即，整理得：，‎ 对任意的成立， ‎ ‎4.（2009北京文）（本小题共13分）‎ 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前‎2m项和公式；‎ ‎（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、‎ 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，解，得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ∴成立的所有n中的最小整数为7，即.‎ ‎ （Ⅱ）由题意，得，‎ 对于正整数，由，得.‎ 根据的定义可知 当时，；当时，.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.‎ ‎∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ‎，即对任意的正整数m都成立.‎ ‎ 当（或）时，得（或），‎ ‎ 这与上述结论矛盾！‎ ‎ 当，即时，得，解得.‎ ‎ ∴ 存在p和q，使得；‎ p和q的取值范围分别是，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎5.（2009北京理）（本小题共13分）‎ ‎ 已知数集具有性质；对任意的 ‎，与两数中至少有一个属于.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.‎ ‎【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.‎ ‎（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.‎ ‎ 由于都属于数集，‎ ‎ ∴该数集具有性质P.‎ ‎ （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，‎ 由于，∴，故. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而，∴.‎ ‎∵， ∴，故.‎ ‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ ‎∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，‎ ‎ ∵，∴，∴，‎ 由A具有性质P可知.‎ ‎ ，得，且，∴，‎ ‎∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5.‎ ‎6.（2009江苏卷）（本小题满分14分） ‎ 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和； ‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 ‎ ‎【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。‎ ‎（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得 ‎，,‎ ‎(2) （方法一）=,设， ‎ 则=, 所以为8的约数 ‎（方法二）因为为数列中的项，‎ 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎7.（2009江苏卷）（本题满分10分）‎ 对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求证：对任意正整数≥2，有.‎ ‎【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.(2009山东卷理)（本小题满分12分）‎ 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.‎ ‎（1）求r的值； ‎ ‎（11）当b=2时，记 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,‎ ‎（2）当b=2时，, ‎ 则,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 下面用数学归纳法证明不等式成立.‎ ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ① 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=‎ 所以当时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由①、②可得不等式恒成立.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.‎ ‎9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）‎ 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. ‎ ‎（1）求r的值； ‎ ‎（11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,‎ 当时,, ‎ 当时,,‎ 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 ‎（2）当b=2时，, ‎ 则 ‎ ‎ 相减,得 ‎ ‎ 所以 ‎【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.‎ ‎10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 已知等差数列{}中，求{}前n项和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。‎ 解：设的公差为，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即 解得 因此 ‎11.（2009广东卷理）（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴‎ ‎（舍去）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，即，∴‎ ‎（2）证明：∵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，‎ 则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎12.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）‎ 首项为正数的数列满足 ‎ ‎（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；‎ ‎（II）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。‎ 解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 则由递推关系得是奇数。 ‎ 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。‎ ‎（II）（方法一）由知，当且仅当或。‎ 另一方面，若则；若，则 根据数学归纳法，‎ 综合所述，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎（方法二）由得于是或。‎ ‎ ‎ 因为所以所有的均大于0，因此与同号。‎ 根据数学归纳法，，与同号。 ‎ 因此，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎13.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）‎ 已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 ‎（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。‎ ‎【解析】(1)由于 当时, ‎ 又当时 数列项与等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)由(1)知 由即即 又时成立,即由于恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因此,当且仅当时, ‎ ‎14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）‎ 数列的通项，其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; ‎ ‎(2) 求数列｛｝的前n项和.‎ 解: (1) 由于,故 ‎,‎ 故 ()‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 两式相减得 故 ‎ ‎15.（2009江西卷理）（本小题满分14分）‎ 各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有 ‎（1）当时，求通项 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 解：（1）由得 将代入化简得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故数列为等比数列，从而 即 可验证，满足题设条件.‎ ‎(2) 由题设的值仅与有关,记为则 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 考察函数 ,则在定义域上有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故对， 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又 ,‎ 注意到,解上式得 取,即有 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差d不为0，设 ‎（Ⅰ）若 ,求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。‎ ‎（Ⅲ）若 ‎【答案】（1）（2）（3）略 ‎【解析】 （1）解：由题设，‎ 代入解得，所以 ‎ ‎（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得 ‎（3）证明：由题设，可得，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得，‎ ‎①+②得，‎ ‎ ③‎ ‎③式两边同乘以 q，得 所以 ‎（3）证明：‎ ‎=‎ 因为，所以 若，取i=n，‎ 若，取i满足，且，‎ 由（1）（2）及题设知，，且 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ① 当时，，由，‎ 即，‎ 所以 因此 ① 当时，同理可得因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 综上，‎ ‎【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。‎ ‎17.(2009湖北卷理)（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列的前n项和（n为正整数）。‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。‎ ‎19.解析：（I）在中，令n=1，可得，即 当时，，‎ ‎.‎ ‎ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ ‎ 于是.‎ ‎(II)由（I）得，所以 由①-②得 ‎ 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 ‎ 可猜想当证明如下：‎ 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。‎ ‎（2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 ‎18.（2009四川卷文）（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎【解析】（I）当时， ‎ 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， …………………………………3分 ‎（II）不存在正整数，使得成立。‎ 证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时，设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n，都有 ‎ ‎∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………14分 ‎19.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．②‎ ‎②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列．‎ ‎（II）由（I）可得，‎ ‎　　　数列是首项为，公差为的等比数列．‎ ‎　　　， ‎ 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．‎ 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．‎ 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎20.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）‎ 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎, ‎ 则称数列为数列.‎ ‎（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：‎ A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;‎ B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.‎ 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.‎ 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。‎ 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎==‎ 所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .‎ ‎（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.‎ 事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，‎ ‎ .‎ 由n的任意性知，数列不是B-数列。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。‎ 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 ‎ ,‎ ‎ 即.于是 ‎,‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） ‎ ‎ (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 ‎ .‎ 因为 ‎ .‎ 记，则有 ‎ .‎ 因此.‎ 故数列是B-数列.‎ ‎ ‎ ‎21.（2009辽宁卷文）（本小题满分10分）‎ 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎ （1）求{}的公比q；‎ ‎ （2）求－＝3，求 ‎ 解：（Ⅰ）依题意有 ‎ ‎ ‎ ‎ 由于 ，故 ‎ ‎ ‎ 又，从而 5分 ‎ （Ⅱ）由已知可得 ‎ 故 ‎ 从而 10分 ‎22.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）‎ 已知数列满足， .‎ 令，证明：是等比数列；‎ ‎ (Ⅱ)求的通项公式。‎ ‎（1）证 当时，‎ 所以是以1为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）解由（1）知 当时，‎ 当时，。‎ 所以。‎ ‎23.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足， .‎ 猜想数列的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅱ)证明：。 ‎ 证（1）由 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 ‎ =‎ 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 ‎（2）当n=1时，，结论成立 当时，易知 ‎ ‎ ‎24.（2009四川卷文）（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎【解析】（I）当时， ‎ 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， …………………………………3分 ‎（II）不存在正整数，使得成立。‎ 证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时，设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n，都有 ‎ ‎∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………14分 ‎25. （2009湖北卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a‎3a6＝55, a2+a7＝16.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn ‎ 解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ‎ 由a2+a7＝16.得 ①‎ 由得 ②‎ 由①得将其代入②得。即 ‎ ‎ ‎（2）令 两式相减得 于是 ‎=-4=‎ ‎26.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）‎ 对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎ ‎ 则称数列为B-数列 （1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ （2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；‎ A组：①数列是B-数列 ②数列不是B-数列 B组：③数列是B-数列 ④数列不是B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。‎ 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。‎ 解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是 ‎ ‎ 因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=‎ 因为所以即 ‎ ‎ ‎ ‎ 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。‎ ‎（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列 ‎ 次命题为假命题。‎ ‎ 事实上，设，易知数列是B-数列，但 ‎ ‎ 由的任意性知，数列是B-数列此命题为。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列 此命题为真命题 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 ‎ ‎ 即。于是 ‎ ‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有 ‎ ‎ 注意到 ‎ ‎ 同理： ‎ 记，则有 因此 ‎ ‎ +‎ 故数列是数列 ‎ ‎27.（2009天津卷理）（本小题满分14分）‎ 已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n ‎ (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； ‎ ‎(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以， ‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① 式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ ① 式加上②式，得 ‎ ③‎ ② 式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)证明： ‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ （1） 若，取i=n ‎ （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ‎ ‎ ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 ② 当同理可得，因此 ‎ 综上，‎ ‎28.（2009四川卷理）（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。‎ 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 又 ‎ 数列成等比数列，其首项，公比是 ‎……………………………………..3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ = ‎ ‎ 又 当 当 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ >‎ 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。‎ 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时，设 则 ‎ < ‎ 当n为奇数时，设 则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎<‎ 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分 ‎29.（2009福建卷文）(本小题满分)2分）‎ 等比数列中，已知 ‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。‎ 解：（I）设的公比为 ‎ 由已知得，解得 ‎ （Ⅱ）由（I）得，，则，‎ ‎ 设的公差为，则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎30.（2009年上海卷理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。‎ 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。‎ （1） 若，是否存在，有说明理由； ‎ （2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；‎ （3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。‎ ‎[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，为整数， ‎ 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 ‎（2）若，即， （*）‎ ‎（ⅰ）若则。 ‎ 当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分 ‎（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。‎ 综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分 ‎【解法二】设 ‎ 则 （i） 若d=0，则 ‎ （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾 综上所述，有， 10分 ‎（3） ‎ 设.‎ ‎，‎ ‎. 13分 取 15分 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,‎ ‎ ‎ 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）‎ 若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。‎ 当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，‎ 而3k=(4-1)k ‎=‎ 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, ‎ 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1‎ 由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分 当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 ‎31.（2009上海卷文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.‎ ‎ 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列 ‎（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；‎ ‎（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；‎ ‎（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. ‎ ‎【解】（1）由得，‎ 整理后，可得 ‎、，为整数 不存在、，使等式成立。‎ ‎（2）当时，则 即，其中是大于等于的整数 反之当时，其中是大于等于的整数，则，‎ 显然，其中 ‎、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数 ‎（3）设 当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数， ‎ 当为偶数时，式不成立。‎ 由式得，整理得 当时，符合题意。‎ 当，为奇数时，‎ ‎ 由，得 当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。‎ 当为奇数时，命题都成立。 ‎ ‎32.（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； ‎ ‎（21）（本小题12分）‎ ‎ 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 ‎ 解得或（舍去）。因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 又 。解得 ‎ 从而当时，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 ‎ ‎（II）由题意得 有①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明：‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ‎④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 ‎33.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），所以 ‎（Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 ‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎