高考一轮数学复习 52平面向量的数量积 理 同步练习名师解析 5页

第5章 第2节 知能训练·提升 考点一：向量的数量积运算 ‎1．(2010·崇文检测)设a、b、c是三个向量，以下命题中真命题的序号是________．‎ ‎①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；‎ ‎②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；‎ ‎③若a、b、c互不共线，则(a·b)·c＝a·(b·c)；‎ ‎④(‎3a＋2b)·(‎3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.‎ 答案：④‎ ‎2．若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.‎ 解析：解法一：由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，故向量a与b同向，而向量c与它们的和反向．‎ 所以有a·b＋b·c＋c·a＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13.‎ 解法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，‎ ‎∴a·b＋b·c＋c·a＝＝＝－13.‎ 答案：－13‎ 考点二：向量的模 ‎3．(2010·台州模拟)已知向量a、b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|‎3a－b|等于 ‎(　　)‎ A．7　　　　　　　　　　　 B．6‎ C．5 D．4‎ 解析：∵|3a－b|2＝(3a－b)2＝9a2＋b2－6a·b＝9＋25－6×1×5×cos120°＝49，∴|3a－b|＝7.‎ 答案：A ‎4．(2010·大连模拟)已知a＝y－x，b＝2x－y，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，则|x|＋|y|等于(　　)‎ A．7 B．2 C．5 D.＋ 解析：∵a·b＝(y－x)·(2x－y)‎ ‎＝－|y|2－2|x|2＋3x·y＝0，‎ 又∵|a|2＝(y－x)2＝|y|2＋|x|2－2x·y＝1，‎ ‎|b|2＝(2x－y)2＝4|x|2－4x·y＋|y|2＝1，‎ 可得|x|＝，|y|＝，‎ ‎∴|x|＋|y|＝＋.‎ 答案：D 考点三：向量的夹角 ‎5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角 ‎(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 答案：C ‎6．已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)＝a，＝b，作三角形ABC，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，‎ ‎∵|a|＝4，|b|＝3，代入求得a·b＝－6，‎ ‎∴cosθ＝＝＝－，‎ 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.‎ ‎(2)可先平方转化为向量的数量积．.‎ ‎|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ ‎(3)计算a、b夹角的正弦，再用面积公式求值．‎ 由(1)知∠BAC＝θ＝120°，‎ ‎||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝×3×4×sin120°＝3.‎ 考点四：向量的垂直 ‎7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|(其中k＞0)．‎ ‎(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；‎ ‎(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；‎ ‎(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a与b的夹角θ.‎ 解：(1)解法一：由a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，‎ 则a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，‎ a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，‎ 又(a＋b)·(a－b)＝(cosα＋cosβ)·(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)·(sinα－sinβ)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0，‎ ‎∴(a＋b)⊥(a－b)．‎ 解法二：由a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，‎ 则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，‎ ‎∴(a＋b)⊥(a－b)．‎ ‎(2)a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．‎ 解法一：ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，‎ a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，‎ ‎∴|ka＋b|2＝(kcosα＋cosβ)2＋(ksinα＋sinβ)2‎ ‎＝1＋k2＋2k(cosαcosβ＋sinαsinβ)‎ ‎＝1＋k2＋2kcos(α－β)，‎ ‎|a－kb|2＝(cosα－kcosβ)2＋(sinα－ksinβ)2‎ ‎＝1＋k2－2k(cosαcosβ＋sinαsinβ)‎ ‎＝1＋k2－2kcos(α－β)，‎ 由|ka＋b|＝|a－kb|，‎ 得1＋k2＋2kcos(α－β)＝3[1＋k2－2kcos(α－β)]，‎ ‎∴8kcos(α－β)＝2(k2＋1)，‎ 又k＞0，∴cos(α－β)＝，‎ 即a·b＝(k＞0)．‎ ‎∴f(k)＝(k＞0)．‎ 解法二：∵|a|＝＝1，‎ ‎|b|＝＝1.‎ 由|ka＋b|2＝3|a－kb|2，得 k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝3|a|2－6ka·b＋3k2|b|2，‎ ‎8ka·b＝2(k2＋1)，‎ 即a·b＝(k＞0)，故f(k)＝(k＞0)．‎ ‎(3)∵k＞0，∴a·b＝＝＋≥.‎ 当k＝1时，等号成立，‎ 所以a·b的最小值为.‎ 此时a·b＝|a|·|b|cosθ＝，‎ ‎∴cosθ＝.‎ 又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎8．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)．‎ ‎(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；‎ ‎(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)‎ ‎(1)证明：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2‎ ‎＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，‎ ‎∴a＋b与a－b互相垂直．‎ ‎(2)解：ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，‎ a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，‎ ‎|ka＋b|＝，‎ ‎|a－kb|＝.‎ ‎∵|ka＋b|＝|a－kb|，‎ ‎∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)．‎ 又k≠0，∴cos(β－α)＝0.‎ 而0＜α＜β＜π，∴β－α＝.‎ ‎1.(2009·全国卷Ⅰ)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为 ‎(　　)‎ A．－2 B.－2‎ C．－1 D．1－ 解析：∵a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝1－c·(a＋b)，‎ 求原式的最小值，即求c·(a＋b)的最大值，而当c与a＋b共线且同向时，c·(a＋b)有最大值.‎ ‎∴(a－c)·(b－c)的最小值为1－.‎ 答案：D ‎2．(2009·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C．5 D．25‎ 解析：设b＝(x，y)，‎ 由得 解方程组得或 则|b|＝＝5.故选C.‎ 答案：C ‎3．(2009·陕西)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 ‎(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：由题知P为△ABC重心，则＋＝－.‎ 则·(＋)＝－2＝－||2＝－，‎ 故选A.‎ 答案：A ‎4．(2009·重庆)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是 ‎(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－a2＝2.‎ ‎∴1×6cos〈a，b〉－1＝2，∴cos〈a，b〉＝.‎ 又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.‎ 答案：C ‎1.已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间(0，)上是增函数，则实数t的取值范围是________．‎ 解析：∵f(x)＝a·b＝tsinx＋x，‎ ‎∴f′(x)＝tcosx＋1，x∈(0，)．‎ ‎∵f(x)在(0，)上为增函数，‎ ‎∴t≥－，其中x∈(0，)．‎ ‎∴t∈[－1，＋∞)．‎ 答案：[－1，＋∞)‎ ‎2．已知平面上的向量、满足||2＋||2＝4，||＝2，设向量＝2＋，则||的最小值是________．‎ 解析：∵||2＋||2＝||2＝4，∴⊥.‎ ‎||2＝(2＋)2＝4||2＋4·＋2‎ ‎＝4||2＋||2＝4＋3||2≥4.‎ ‎∴||的最小值为2.‎ 答案：2‎