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  • 2021-05-13 发布

高考数学线性规划常见题型及解法

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高考数学线性规划常见题型及解法 线性规划问题是高考的重点,也是常考题型,属于中等偏简单题,易得分,高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型,使实际问题得到解决。现就常见题型及解决方法总结如下:‎ 一、求线性目标函数的最值;‎ 例题:(2012年广东文5)已知变量满足条件 ‎,则的最小值为 A.3 B‎.1 C.-5 D.-6‎ 解析:利用线性规划知识求解。可行域如图阴影所示,先画出直线,平移直线,当直线过点A时,的值最小,得 探究提高:本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力,数形结合思想及运算求解能力,难度适中。 ‎ 二、求目标函数的取值范围;‎ 例题:(2012山东文6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 ‎ ‎ ‎ 解析:作出不等式组表示的区域,如图阴影部分所示,作直线,并向上、向下平移,由图可得,当直线过点C时,目标函数取得最大值,当直线过点A是,目标函数取得最小值,由;由 ‎,‎ 探究提高:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条条件,取得目标函数的最大(小)值,进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值;‎ 例题:(2012福建文10)若直线上存在点满足条件则实数的最大值为 ( )‎ ‎ ‎ 解析:在同一直角坐标系中函数的图像及,所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可知,当时,函数的图像上存在点满足约束条件,故的最大值为1.‎ 探究提高:本题是线性规划的综合应用,解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法,给目标函数赋予一定的几何意义。‎ 四、求线性规划问题的整点问题;‎ 例题:设等轴双曲线的两条渐近线与直线围城的三角形区域(包含边界)为,为内的一个动点,则目标函数的最小值___________.‎ 解析:等轴双曲线的渐近线为和.它们和 共同围城的三角形区域为,即图中阴影部分,由图像可知当直线经过点C时,Z最大,点C的坐标为( 2,2),此时。‎ 探究提高:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。‎ 五、求可行域的面积;‎ 例题、不等式组表示的平面区域的面积为   ( )‎ ‎   A、4 B、‎1 ‎C、5 D、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选B 探究提高:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。‎ 六、(2012年咸阳模拟)求非线性目标函数的最值;‎ 例题:实数,满足,(1)若,求的取值围;‎ ‎(2)若,求的最大值与最小值,并求的取值范围.‎ ‎ 解析:由,作出可行域如图中阴影 部分所示 (1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).而由,得得B(1,2),‎ 则kOB==2.∴zmax不存在,zmin=2,‎ ‎∴z的取值范围是[2,+∞)‎ ‎(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.‎ 因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.‎ ‎,得A(0,1),∴|OA|2=()2=1,|OB|2=()2=5.‎ ‎∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].‎ 探究提高:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。‎ 七、求线性规划的简单应用;‎ 例题:(2012.江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 总利润为使一年的种植 (总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( )‎ A.50,0 B.30,‎20 C.20,30 D.0,50 ‎ 解析 :设种植黄瓜亩,韭菜亩,则由题意可知,求目标函数的最大值,根据题意画可行域如图阴影所示。当目标函数向右平移,移至点 处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜20亩时,种植总利润最大。 ‎ 探究提高:解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)解答 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎