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- 2021-05-13 发布
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平面向量高考经典试题
一、选择题
1.(全国1文理)已知向量,,则与 www.xkb123.com
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
解.已知向量,,,则与垂直,选A。 www.xkb123.com
2、(山东文5)已知向量,若与垂直,则( )
A. B. C. D.4
【答案】:C【分析】:,由与垂直可得:
, 。
3、(广东文4理10)若向量满足,的夹角为60°,则=______;
答案:;
解析:,
4、(天津理10) 设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由可得,设代入方程组可得
消去化简得,再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.故选A
5、(山东理11)在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】:C.【分析】:,A是正确的,同理B也正确,对于D答案可变形为,通过等积变换判断为正确.
6、(全国2 理5)在∆ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则l=
(A) (B) (C) - (D) -
解.在∆ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则
=,∴ l=,选A。
7、(全国2理12)设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
解.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,则F为△ABC的重心,∴
A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍,即等于3,
∴|FA|+|FB|+|FC|=,选B。
8、(全国2文6)在中,已知是边上一点,若,则( )
A. B. C. D.
解.在∆ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则
=,∴ l=,选A。
9(全国2文9)把函数的图像按向量平移,得到的图像,则( )
A. B. C. D.
解.把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= ,选C。
10、(北京理4)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( )
A. B.
C. D.
解析:是所在平面内一点,为边中点,∴,且,∴,即,选A
11、(上海理14)在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若直角三角形中,,,则的可能值有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B
【解析】解法一:
(1)若A为直角,则;
(2)若B为直角,则;
(3)若C为直角,则。
所以k 的可能值个数是2,选B
解法二:数形结合.如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k 的可能值个数是2,选B
12、(福建理4文8)对于向量,a 、b、c和实数,下列命题中真命题是
A 若,则a=0或b=0 B 若,则λ=0或a=0
C 若=,则a=b或a=-b D 若,则b=c
解析:a⊥b时也有a·b=0,故A不正确;同理C不正确;由a·b=a·c得不到b=c,如a为零向量或a与b、c垂直时,选B
13、(湖南理4)设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,若函数
的图象是一条直线,即其二次项系数为0, 0,
14、(湖南文2)若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】由向量的减法知
15、(湖北理2)将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案:选A
解析:法一 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点,,则,带入到已知解析式中可得选A
法二 由平移的意义可知,先向左平移个单位,再向下平移2个单位。
16、(湖北文9)设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|<1,则b为
A.(2,14) B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)
答案:选B
解析:设a在b的夹角为θ,则有|a|cosθ=,θ=45°,因为b在x轴上的投影为2,且|b|<1,结合图形可知选B17、(浙江理7)若非零向量满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】:C
【分析】:
由于是非零向量,则必有故上式中等号不成立 。
∴。故选C.
18、(浙江文9)若非零向量满足,则( )
A.B.
C.D.
【答案】:A
【分析】:若两向量共线,则由于是非零向量,且,则必有a=2b;代入可知只有A、C满足;若两向量不共线,注意到向量模的几何意义,故可以构造如图所示的三角形,使其满足OB=AB=BC;令a, b,则a-b, ∴a-2b且
;又BA+BC>AC ∴
∴
19、(海、宁理2文4)已知平面向量,则向量( )
A. B.
C. D.
【答案】:D
【分析】:
20、(重庆理10)如图,在四边形ABCD中,
,则的值为( )
A.2 B. C.4 D.
【答案】:C
【分析】:
21、(重庆文9)已知向量且则向量等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】:D
【分析】:设
联立解得
22、(辽宁理3文4)若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
解析:因为,所以向量与垂直,选D
23、(辽宁理6)若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( )
A. B. C. D.
解析:函数为,令得平移公式,所以向量,选A
24、(辽宁文7)若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( )
A. B. C. D.
解析:函数为,令得平移公式,所以向量,选C
25、(四川理7文8)设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则与满足的关系式为( )
(A) (B) (C) (D)
解析:选A.由与在方向上的投影相同,可得:即 ,.
26、(全国2理9)把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)=
(A) ex-3+2 (B) ex+3-2 (C)ex-2+3 (D) ex+2-3
解.把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= ,选C。
二、填空题
B
A
C
D
1、(天津文理15) 如图,在中,是边上一点,则.
【答案】
【分析】法一:由余弦定理得可得,
又夹角大小为,
,
所以.
法二:
根据向量的加减法法则有:
,此时
.
2、(安徽文理13) 在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的中点,则=(用a,b,c表示)
解析:在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的中点,则=
=。
3、(北京文11)已知向量.若向量,则实数的值是.
解析:已知向量.向量,,则2+λ+4+λ=0,实数=-3.
4、(上海文6)若向量的夹角为,,则.
【答案】
【解析】。
5、(江西理15)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为.
解析:由MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2,填2
6、(江西文13)在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点
分别为,,则.
解析:
三、解答题:
1、(宁夏,海南17)(本小题满分12分)
如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与.现测得,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.
解:在中,.
由正弦定理得.
所以.
在中,.
2、(福建17)(本小题满分12分)
在中,,.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若最大边的边长为,求最小边的边长.
本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分12分.
解:(Ⅰ),
.又,.
(Ⅱ),边最大,即.
又,角最小,边为最小边.
由且,
得.由得:.
所以,最小边.
3、(广东16)(本小题满分12分)
已知△顶点的直角坐标分别为.
(1)若,求sin∠的值;
(2)若∠是钝角,求的取值范围.
解:(1) , 当c=5时,
进而
(2)若A为钝角,则
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>
显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[,+)
4、(广东文16)(本小题满分14分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0).
(1)若,求的值;
(2)若,求sin∠A的值
解: (1)
由 得
(2)
5、(浙江18)(本题14分)已知的周长为,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角的度数.
(18)解:(I)由题意及正弦定理,得,
,
两式相减,得.
(II)由的面积,得,
由余弦定理,得
,
所以.
6、(山东20)(本小题满分12分)如图,甲船以每小时海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的
北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航
行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方
向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解:如图,连结,,,
是等边三角形,,
在中,由余弦定理得
,
因此乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行海里.
7、(山东文17)(本小题满分12分)
在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若,且,求.
解:(1)
又 解得.
,是锐角. .
(2), , .
又. .
. .
8、(上海17)(本题满分14分)
在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.
解: 由题意,得为锐角,,
,
由正弦定理得, .
9、(全国Ⅰ文17)(本小题满分10分)
设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若,,求b.
解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)根据余弦定理,得.
所以,.
10、(全国Ⅱ17)(本小题满分10分)
在中,已知内角,边.设内角,周长为.
(1)求函数的解析式和定义域;
(2)求的最大值.
解:(1)的内角和,由得
.
应用正弦定理,知
,
.
因为,
所以,
(2)因为
,
所以,当,即时,取得最大值.