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- 2021-05-13 发布
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学案25 平面向量及其线性运算
导学目标: 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
自主梳理
1.向量的有关概念
(1)向量的定义:既有______又有______的量叫做向量.
(2)表示方法:用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.
(3)模:向量的______叫向量的模,记作________或_______.
(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向是________.
(5)单位向量:长度为____单位长度的向量叫做单位向量.与a平行的单位向量e=____________.
(6)平行向量:方向______或______的______向量;平行向量又叫____________,任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量______.
(7)相等向量:长度______且方向______的向量.
2.向量的加法运算及其几何意义
(1)已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的 ,记作 ,即 =+= ,这种求向量和的方法叫做向量加法的 .
(2)以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .
(3)加法运算律
a+b=________ (交换律);
(a+b)+c=____________(结合律).
3.向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a____________、____________的向量,叫做a的相反向量,记作______.
(2)向量的减法
①定义a-b=a+________,即减去一个向量相当于加上这个向量的____________.
②如图,=a,,=b,则= ,=____________.
4.向量数乘运算及其几何意义
(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作______,它的长度与方向规定如下:
①|λa|=______;
②当λ>0时,λa与a的方向______;当λ<0时,λa与a的方向______;当λ=0时,λa=______.
(2)运算律
设λ,μ是两个实数,则
①λ(μa)=________.(结合律)
②(λ+μ)a=________.(第一分配律)
③λ(a+b)=__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理:向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
5.重要结论
=(++)⇔G为△ABC的________;
++=0⇔P为△ABC的________.
自我检测
1.(2010·四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,=16,|,|则||等于 ( )
A.8 B.4 C.2 D.1
2.下列四个命题:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m和向量a,b (m∈R),若ma=mb,则a=b;
③若ma=na (m,n∈R,a≠0),则m=n;
④若a=b,b=c,则a=c,
其中正确命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则等于 ( )
A.-a+b B.-a+b
C.a+b D.-a+b
4.(2010·湖北)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m,成立,则m等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(2009·安徽)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=______.
探究点一 平面向量的有关概念辨析
例1 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;
④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
以上命题中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①|a|=|b|⇒a=b;
②若a=b,b=c,则a=c;
③|a|=0⇒a=0;
④若A、B、C、D是不共线的四点,则=⇔四边形ABCD是平行四边形.
探究点二 向量的线性运算
例2(2011·开封模拟)已知任意平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.求证:=(+).
变式迁移2(2011·深圳模拟)如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,=c,试用a、b、c表示,,+.
探究点三 共线向量问题
例3 如图所示,平行四边形ABCD中,=b,=a,M为AB中点,N为BD靠近B的三等分点,求证:M、N、C三点共线.
变式迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线.
(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A、C、D三点共线;
(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-ke2,且A、C、D三点共线,求k的值.
1.若点P为线段AB的中点,O为平面内的任意一点,则=(+).如图所示.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.三点共线的性质定理:
(1)若平面上三点A、B、C共线,则=λ.
(2)若平面上三点A、B、C共线,O为不同于A、B、C的任意一点,则=λ+μ,且λ+μ=1.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A.=+ B.=-
C.=-+ D. =--
2.设a,b为不共线向量, =a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是 ( )
A.= B.=2
C.=- D.=-2
3.(2011·杭州模拟)设a,b是任意的两个向量,λ∈R,给出下面四个结论:
①若a与b共线,则b=λa;
②若b=-λa,则a与b共线;
③若a=λb,则a与b共线;
④当b≠0时,a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ=λ1,使得a=λ1b.
其中正确的结论有 ( )
A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④
4.在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则等于 ( )
A.b+c B.c-b
C.b-c D.b+c
5.(2010·广东中山高三六校联考)在△ABC中,已知D是AB边上一点,=2,=+λ,则λ等于 ( )
A. B. C.- D.-
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2009·湖南)如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,则x=______,y=__________.
7.已知=a,=b,=λ,则=_________.
8. (2011·青岛模拟)O是平面上一点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足=+λ(+),λ=时,则·(+)的值为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上?
10.(12分)在△ABC中,BE与CD交于点P,且=a,=b,用a,b表示.
11.(14分)(2011·黄山模拟)已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
(1)求++;
(2)若PQ过△ABO的重心G,且,=a,=b,=ma,=nb,求证:+=3.
答案 自主梳理
1.(1)大小 方 向 (2)有向线段 (3)长度 |a||
(4)任意的 (5)1个 ± (6)相同 相反 非零 共线向量 平行 (7)相等 相同 2.(1)和 a+b a+b 三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b+a a+(b+c) 3.(1)长度相等 方向相反 -a (2)①(-b) 相反向量 ②a+b a-b 4.(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①(λμ)a ②λa+μa ③λa+λb 5.(1)重心 (2)重心
自我检测
1.
2.C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确;②当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故②错误;③正确;④由于向量相等具有传递性,故④正确.]
3.A [由=3得4=3=3(a+b),
又=a+b,所以=(a+b)-
=-a+b.]
4.B [由题目条件可知,M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,
则=,①
因为AD为中线,+=2=m,
即2=m,②
联立①②可得m=3.]
5.
解析 设=a,=b,
那么=a+b,=a+b,又∵=a+b,
=(+),即λ=μ=,
∴λ+μ=.
课堂活动区
例1 D [①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;
②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④不正确,如果b=0时,则a与c不一定平行.
所以应选D.]
变式迁移1 ②③④
解析 ①模相同,方向不一定相同,
故①不正确;
②两向量相等,要满足模相等且方向相同,故向量相等具备传递性,②正确;
③只有零向量的模才为0,故③正确;
④=,即模相等且方向相同,即平行四边形对边平行且相等.故④正确.
故应选②③④.
例2 证明 方法一 如图所示,
在四边形CDEF中,+++=0.①
在四边形ABFE中,+++=0.②
①+②得
(+)+(+)+(+)+(+)=0.
∵E、F分别是AD、BC的中点,
∴+=0,+=0.
∴2=--=+,
即=(+).
方法二 取以A为起点的向量,应用三角形法则求证.
∵E为AD的中点,∴=.
∵F是BC的中点,∴=(+).
又=+,
∴=(++)=(+)+
=(+)+
∴=-=(+).
即=(+).
变式迁移2 解 =++
例3 解题导引 (1)在平面几何中,向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示,向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示.
(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.
证明 在△ABD中=-.
因为=a, =b,所以=b-a.
①
②
由共线向量定理知:∥,
又∵与有公共点C,∴M、N、C三点共线.
变式迁移3 (1)证明∵=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,
∴=+=e1-e2+3e1+2e2
=4e1+e2=(-8e1-2e2) =.
∴与共线.
又∵与有公共点C,∴A、C、D三点共线.
(2)=+=(e1+e2)+(2e1-3e2) =3e1-2e2,∵A、C、D三点共线,∴与共线.
从而存在实数λ使得=λ
即3e1-2e2=λ(2e1-ke2).
由平面向量的基本定理得
解之,得∴k的值为.
课后练习区
1.B [由减法的三角形法则知=-.]
3.D [题目考查两向量共线的充要条件,此定理应把握好两点:(1)与λ相乘的向量为非零向量,(2)λ存在且唯一.故②③④正确.]
5.
6.1+
解析
作DF⊥AB交AB的延长线于F,设AB=AC=1⇒BC=DE=,∵∠DEB=60°,∴BD=.
由∠DBF=45°,
得DF=BF=×=,
所以==,
所以=++=()+.
7.a+b
=a+(b-a)=a+b.
8.0
解析 由=+λ(+),λ=,得-(+),即点P为△ABC中BC边的中点,
∴+=0.
∴·(+)=·0=0.
9.解 设=a,=tb,=(a+b),
∴=-=-a+b,……………………………………………………………(4分)
=-=tb-a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三点共线,只需=λ,
即-a+b=λtb-λa,……………………………………………………………………(8分)
∴ ∴……………………………………………………(11分)
∴当t=时,三向量终点在同一直线上.……………………………………………(12分)
10.解
取AE的三等分点M,
使|AM|=|AE|,连结DM.
设|AM|=t,则|ME|=2t.
又|AE|=|AC|,
∴|AC|=12t,|EC|=9t,
==,…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE,∴===.
∴|DP|=|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴=+=+=+(+)
=+
=+=a+b.……………………………………………………………(12分)
11.(1)解 ∵点G是△ABO的重心,
∴++=0.……………………………………………………………………(2分)
(2)证明 ∵M是AB边的中点,∴=(a+b).
∵G是△ABO的重心,∴==(a+b).
∵P、G、Q三点共线,∴∥,
且有且只有一个实数λ,使=λ.…………………………………………………(5分)
,
∴(-m)a+b=λ[-a+(n-)b].…………………………………………………(8分)
又因为a、b不共线,所以
,……………………………………………………………………(10分)
消去λ,整理得3mn=m+n,故+=3.……………………………………………(14分)