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  • 2021-05-13 发布

广东高考理科数学试题及参考答案

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ ‎(数学理科)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数Z满足,则Z=‎ A. B.   C. D.‎ ‎3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和,则 A.8 B‎.7 ‎ C.6 D.5‎ ‎4.若实数k满足,则曲线与曲线的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 ‎5.已知向量,则下列向量中与成夹角的是 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)‎ ‎6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 小学 初中 ‎30‎ 高中 ‎10‎ 年级 ‎50‎ O 近视率/%‎ 小学生 ‎3500名 初中生 ‎4500名 高中生 ‎2000名 A.200,20 B.100,‎20 ‎ C.200,10 D.100,10‎ ‎7.若空间中四条两两不同的直线,满足,则下面结论一定正确的是 A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定 ‎8.设集合,那么集合A中满足条件“”的元素个数为 A.60 B‎.90 ‎ C.120 D.130‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~13题)‎ ‎9.不等式的解集为 。‎ ‎10.曲线在点处的切线方程为 。‎ ‎11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 。‎ ‎12.在中,角所对应的边分别为,已知,‎ 则 。 ‎ ‎13.若等比数列的各项均为正数,且,‎ 则 。‎ ‎(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)‎ ‎14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线和的方程分别为和,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和交点的直角坐标为_________.‎ C E A B F D ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形中,‎ 点在上且,与交于点,‎ 则 ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16、(12分)已知函数,且,‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若,,求。‎ ‎17、(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,39,36.‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎ ‎[25,30 ] 3 0.12‎ ‎[30,35 ] 5 0.20‎ ‎[35,40 ] 8 0.32‎ ‎[40,45 ] n‎1 f1 ‎ ‎[45,50 ] n‎2 f2‎ ‎(1)确定样本频率分布表中和的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率。‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图4,四边形为正方形,平面,,于点,,交于点.‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)求二面角的余弦值。‎ ‎19.设数列的前和为,满足,且。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎20.已知椭圆的一个焦点为,离心率为,‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程。‎ ‎21.设函数,其中。‎ ‎(1)求函数的定义域(用区间表示);‎ ‎(2)讨论函数在上的单调性;‎ ‎(3)若,求上满足条件的的集合(用区间表示)。‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)参考答案 ‎ ‎1-8:BACD BADD;‎ ‎8.解:A中元素为有序数组,题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为,所以共有个不同数组;‎ ‎9.; 10.; 11.; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;‎ ‎11.解:6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个,;‎ ‎16.解:(1),‎ ‎,;‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,,又,‎ ‎, ‎ ‎.‎ ‎17. 解:(1),;‎ ‎(2)样本频率分布直方图为 日加工零件数 频率 组距 ‎0.016‎ ‎0.024‎ ‎0.04‎ ‎0.056‎ ‎0.064‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎0‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2,‎ 设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为,则,‎ ‎,‎ 所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为0.5904.‎ ‎18.(1)平面,‎ ‎,又,,‎ 平面,‎ ‎,又,‎ 平面,即;‎ ‎(2)设,则中,,又,‎ A B C D E F P x y z ‎,,由(1)知 ‎,,‎ ‎,又,‎ ‎,,同理,‎ 如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则,‎ ‎,,,,‎ 设是平面的法向量,则,又,‎ 所以,令,得,,‎ 由(1)知平面的一个法向量,‎ 设二面角的平面角为,可知为锐角,‎ ‎,即所求.‎ ‎19.解:,,又,‎ ‎,,又,‎ ‎,,‎ 综上知,,;‎ ‎(2)由(1)猜想,下面用数学归纳法证明.‎ ‎①当时,结论显然成立;‎ ‎②假设当()时,,‎ 则,又,‎ ‎,解得,‎ ‎,即当时,结论成立;‎ 由①②知,.‎ ‎20.解:(1)可知,又,,,‎ 椭圆C的标准方程为;‎ ‎(2)设两切线为,‎ ‎①当轴或轴时,对应轴或轴,可知;‎ ‎②当与轴不垂直且不平行时,,设的斜率为,则,的斜率为,‎ 的方程为,联立,‎ 得,‎ 因为直线与椭圆相切,所以,得,‎ ‎,‎ 所以是方程的一个根,‎ 同理是方程的另一个根,‎ ‎,得,其中,‎ 所以点P的轨迹方程为(),‎ 因为满足上式,综上知:点P的轨迹方程为.‎ ‎21.解:(1)可知,‎ ‎,‎ 或,‎ 或,‎ 或,‎ 或或,‎ 所以函数的定义域D为 ‎;‎ ‎(2),‎ 由得,即,‎ 或,结合定义域知或,‎ 所以函数的单调递增区间为,,‎ 同理递减区间为,;‎ ‎(3)由得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 或或或,‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ 结合函数的单调性知的解集为 ‎.‎