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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
(数学理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.已知复数Z满足,则Z=
A. B. C. D.
3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和,则
A.8 B.7 C.6 D.5
4.若实数k满足,则曲线与曲线的
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等
5.已知向量,则下列向量中与成夹角的是
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
小学
初中
30
高中
10
年级
50
O
近视率/%
小学生
3500名
初中生
4500名
高中生
2000名
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
7.若空间中四条两两不同的直线,满足,则下面结论一定正确的是
A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定
8.设集合,那么集合A中满足条件“”的元素个数为
A.60 B.90 C.120 D.130
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)
9.不等式的解集为 。
10.曲线在点处的切线方程为 。
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 。
12.在中,角所对应的边分别为,已知,
则 。
13.若等比数列的各项均为正数,且,
则 。
(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)
14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线和的方程分别为和,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和交点的直角坐标为_________.
C
E
A
B
F
D
15.(几何证明选讲选做题)如图3,在平行四边形中,
点在上且,与交于点,
则
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、(12分)已知函数,且,
(1)求的值;
(2)若,,求。
17、(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 频数 频率
[25,30 ] 3 0.12
[30,35 ] 5 0.20
[35,40 ] 8 0.32
[40,45 ] n1 f1
[45,50 ] n2 f2
(1)确定样本频率分布表中和的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率。
18.(本小题满分13分)
如图4,四边形为正方形,平面,,于点,,交于点.
(1)证明:
(2)求二面角的余弦值。
19.设数列的前和为,满足,且。
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
20.已知椭圆的一个焦点为,离心率为,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程。
21.设函数,其中。
(1)求函数的定义域(用区间表示);
(2)讨论函数在上的单调性;
(3)若,求上满足条件的的集合(用区间表示)。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
1-8:BACD BADD;
8.解:A中元素为有序数组,题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为,所以共有个不同数组;
9.; 10.; 11.; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;
11.解:6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个,;
16.解:(1),
,;
(2),
,
,,又,
,
.
17. 解:(1),;
(2)样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2,
设所取的4人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为,则,
,
所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为0.5904.
18.(1)平面,
,又,,
平面,
,又,
平面,即;
(2)设,则中,,又,
A
B
C
D
E
F
P
x
y
z
,,由(1)知
,,
,又,
,,同理,
如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则,
,,,,
设是平面的法向量,则,又,
所以,令,得,,
由(1)知平面的一个法向量,
设二面角的平面角为,可知为锐角,
,即所求.
19.解:,,又,
,,又,
,,
综上知,,;
(2)由(1)猜想,下面用数学归纳法证明.
①当时,结论显然成立;
②假设当()时,,
则,又,
,解得,
,即当时,结论成立;
由①②知,.
20.解:(1)可知,又,,,
椭圆C的标准方程为;
(2)设两切线为,
①当轴或轴时,对应轴或轴,可知;
②当与轴不垂直且不平行时,,设的斜率为,则,的斜率为,
的方程为,联立,
得,
因为直线与椭圆相切,所以,得,
,
所以是方程的一个根,
同理是方程的另一个根,
,得,其中,
所以点P的轨迹方程为(),
因为满足上式,综上知:点P的轨迹方程为.
21.解:(1)可知,
,
或,
或,
或,
或或,
所以函数的定义域D为
;
(2),
由得,即,
或,结合定义域知或,
所以函数的单调递增区间为,,
同理递减区间为,;
(3)由得,
,
,
,
或或或,
,,,
,,
结合函数的单调性知的解集为
.