江苏高考数学试卷含答案 38页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学 ‎（全卷满分160分，考试时间120分钟）‎ 棱锥的体积，其中为底面积，为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】集合的概念和运算。‎ ‎【分析】由集合的并集意义得。‎ ‎2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】分层抽样。‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎3．（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ‎ ‎▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】复数的运算和复数的概念。‎ ‎【分析】由得，所以， 。‎ ‎4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】程序框图。‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列，概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。由 ‎8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有 公共点；‎ ‎∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】函数的值域，不等式的解集。‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得。‎ ‎14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】可行域。‎ ‎【解析】条件可化为：。‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围。‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， ‎ ‎ 则，要使它最小，须。‎ ‎ ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7。‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．‎ ‎15．（2012年江苏省14分）在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ ‎16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。（lb ylfx）‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎]数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ ‎【答案】证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ ‎【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由是圆的直径和可知是线段 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。‎ ‎ 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． ‎ ‎【答案】解：∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴矩阵的特征多项式为。‎ ‎ 令，解得矩阵的特征值。‎ ‎【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。‎ ‎【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎【考点】直线和圆的极坐标方程。‎ ‎【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【答案】证明：∵，‎ ‎ 由题设∴。∴。 ‎ ‎【考点】绝对值不等式的基本知识。‎ ‎【解析】根据绝对值不等式的性质求证。‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。‎ ‎ （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。‎ ‎23．（2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ ‎【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，‎ ‎ ∴ =4。 ‎ ‎ ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】集合的概念和运算，计数原理。‎ ‎【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。‎ ‎ （2）由题设，根据计数原理进行求解。‎ ‎2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。‎ ‎1．函数的最小正周期为 ．‎ ‎【答案】π ‎【解析】T＝||＝||＝π．‎ ‎2．设（为虚数单位），则复数的模为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5．‎ ‎3．双曲线的两条渐近线的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令：，得．‎ ‎4．集合共有 个子集．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】23＝8．‎ ‎5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．‎ 方差为：．‎ ‎7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 都取到奇数的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．‎ ‎8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．‎ ‎【答案】1：24‎ ‎【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．‎ 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．‎ ‎9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) ．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】[—2，]‎ ‎【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．‎ 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．‎ y x O y＝2x—1‎ y＝—x ‎10．设分别是的边上的点，，，‎ 若（为实数），则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 所以，，，．‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式 的解集用区间表示为 ．‎ ‎【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)‎ ‎【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。‎ x y y＝x y＝x2—4 x P(5,5)‎ Q(﹣5, ﹣5)‎ ‎12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为 ‎，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ y x l B F O c b a ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，‎ 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎14．在正项等比数列中，，，则满足的 最大正整数的值为 ．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求的值．‎ 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，‎ ‎|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，‎ 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，‎ 所以，．‎ ‎（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－．‎ 所以，α－β＝，α＝＋β，‎ 带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，‎ 所以，＋β＝．‎ 所以，α＝，β＝．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：‎ ‎（1）平面平面；‎ ‎（2）．‎ 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，‎ 所以F为SB的中点．‎ 又E，G分别为SA，SC的中点，‎ 所以，EF∥AB，EG∥AC．‎ 又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，‎ 所以，平面平面．‎ ‎（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，‎ AF平面ASB，AF⊥SB．‎ 所以，AF⊥平面SBC．‎ 又BC平面SBC，‎ 所以，AF⊥BC．‎ 又AB⊥BC，AF∩AB＝A，‎ 所以，BC⊥平面SAB．‎ 又SA平面SAB，‎ 所以，．‎ ‎17．x y A l O （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．‎ 设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，‎ ‎ 求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围．‎ 解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．‎ 设切线为：，‎ d＝，得：．‎ 故所求切线为：．‎ ‎（2）设点M(x，y)，由，知：，‎ 化简得：，‎ 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．‎ 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．‎ 故：1≤|CD|≤3，其中．‎ 解之得：0≤a≤．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两 位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的 速度为，山路长为，经测量，，．‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，‎ C B A D M N ‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解：（1）如图作BD⊥CA于点D，‎ 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，‎ 知：AB＝52k＝1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，‎ 此时甲到达N点，如图所示．‎ 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．‎ 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．‎ 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．‎ 故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，‎ ‎，其中为实数．‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：．‎ 证：（1）若，则，，．‎ 当成等比数列，，‎ 即：，得：，又，故．‎ 由此：，，．‎ 故：（）．‎ ‎（2）， ‎ ‎． (※)‎ 若是等差数列，则型．‎ 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，‎ 故有：，即，而≠0，‎ 故．‎ 经检验，当时是等差数列．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，，其中为实数．‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．‎ 解：（1）≤0在上恒成立，则≥， ．‎ 故：≥1．‎ ‎，‎ 若1≤≤e，则≥0在上恒成立，‎ 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；‎ 若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．‎ 故的取值范围为：＞e．‎ ‎（2）≥0在上恒成立，则≤ex，‎ 故：≤．‎ ‎．‎ ‎(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；‎ 令＜0得减区间为(，﹢∞)．‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；‎ 当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．‎ 故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ ‎(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．‎ ‎(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，‎ 即：在上是单调增函数，‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．‎ 此时，f(x)有1个零点．‎ 综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ www.ks5u.com