高考物理人教版一轮复习讲义曲线运动 万有引力与航天圆周运动 9页

第三节 圆周运动 一、描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等， 现比较如下表： 定义、意义 公式、单位 线速度 ①描述做圆周运动的物体________ 的物理量(v) ②是矢量，方向和半径垂直，和圆 周________ ①v＝Δl Δt ＝____ ②单位：m/s 角速度 ①描述物体绕圆心________的物理 量(ω) ②中学不研究其方向 ①ω＝Δθ Δt ＝____ ②单位：rad/s 周期和转速 ①周期是物体沿圆周运动一圈的时 间(T) ②转速是物体在单位时间内转过的 ________(n)，也叫频率(f) ①T＝2πr v ；单位：s ②n的单位 r/s、r/min ③f的单位：Hz，f＝1 T 向心加速度 ①描述速度方向变化快慢的物理量 (an) ②方向指向圆心 ①an＝v2 r ＝____ ②单位：m/s2 向心力 ①作用效果是产生向心加速度，只 改变线速度的______，不改变线速 度的______ ②方向指向______ ①Fn＝ ______＝m v 2 r ＝ ______ ②单位：N 相互关系 ①v＝rω＝2πr T ＝2πrf ②____________________________________________ ③____________________________________________ 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较 项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动 运动性 质 是速度大小______而方向时刻 ______的变速曲线运动，是加速度 大小______、方向____的变加速曲 线运动 是速度大小和方向都______的变 速曲线运动，是加速度大小、方向 都______的变加速曲线运动 加速度 方向与速度垂直，即只存在向心加 速度，没有切向加速度 由于速度大小和方向都变化，所以 不仅存在向心加速度而且存在切 向加速度，合加速度的方向不指向 圆心 向心力 三、向心运动和离心运动 1．离心运动的本质 (1)离心现象是________的表现。 (2)离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动的半径变大，或沿切线方向飞出。 2．向心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即________，物体渐渐向圆心运 动。 1．(2012·江苏赣榆月考)如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内 低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动 的问题，下列论述正确的是( ) A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去 D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 2．(2012·金华十校第三次联考)如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为 r1的 大齿轮，Ⅱ是半径为 r2的小齿轮，Ⅲ是半径为 r3的后轮，假设脚踏板的转速为 n r/s，则自 行车前进的速度为( ) A.πnr1r3 r2 B.πnr2r3 r1 C.2πnr1r3 r2 D.2πnr2r3 r1 3．(2012·上海复旦、交大、华师大附中联考)关于做匀速圆周运动的线速度、角速度、 周期的关系，以下说法中正确的是( ) A．线速度较大的物体其角速度一定较大 B．线速度较大的物体其周期一定较小 C．角速度较大的物体其运动半径一定较小 D．角速度较大的物体其周期一定较小 4．请你判断下列表述正确与否，对不正确的，请予以更正。 A．匀速圆周运动是匀变速运动。 B．圆周运动的合力就是向心力。 C．做圆周运动的物体，除受向心力外，还受其他的力。 D．根据 a＝ω2R可知 a与半径 R成正比，根据 a＝v2/R可知 a与半径 R成反比。 E．物体做离心运动是因为受到离心力的作用。 一、在传动装置中各物理量之间的关系 自主探究 1如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径 是小轮半径的 2倍。A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点。则( ) A．两轮转动的角速度相等 B．大轮转动的角速度是小轮的 2倍 C．质点加速度 aA＝2aB D．质点加速度 aB＝4aC 思考 1：A、B两点线速度满足什么关系？ 思考 2：同轴转动什么相等？ 思考 3：如何求向心加速度？ 归纳要点 在讨论 v、ω、r、a、T 的关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论 另外两个量的关系，用到的公式有 v＝rω，ω＝2π T ，a＝v2 r ＝rω2＝vω＝4π2 T2 r。 1．高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度 相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)。 2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2) 皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。 二、向心力 的确定 自主探究 2请指出下列情况下物体做匀速圆周运动的向心力的 运动模型 图示 动力学方程 随水平圆盘一起转动的物块 已知物块质量为 m，物体受到的静摩 擦力为 Ff，物块离圆心的距离为 r， 圆盘转动的角速度为ω，则动力学方 程为__________；若还知道摩擦因数 为μ，物块刚要滑出时，圆盘的角速 度ω0＝__________ 围绕地球做匀速圆周运动的卫星 已知地球的质量为 M，卫星的质量 为 m，地球半径为 R，卫星离地高度 为 h，卫星的速度为 v，则动力学方 程为__________ 飞机在水平面内做匀速圆周运动 已知飞机的质量为 m，速度为 v，飞 机与水平面的倾角为α，半径为 R， 则动力学方程为__________ 圆锥摆 已知物体的质量为 m，绳长 L，绳与 竖直方向的夹角为α，角速度为ω， 则动力学方程为__________ 火车按规定速度转弯 火车的质量为 m，规定速度为 v0，轨 道平面的倾角为θ，转弯半径为 R， 则动力学方程为__________ 汽车过凹形桥，在桥的最低点瞬间 已知汽车的质量为 m，速度为 v，凹 形桥的半径为 R，支持力为 FN，则 动力学方程为__________ 汽车过凸形桥，在桥的最高点瞬间 已知汽车的质量为 m，速度为 v，凸 形桥的半径为 R，支持力为 FN，则 动力学方程为____________，在最高 点要使汽车不飞车，汽车的最大速度 为 vmax＝__________ 飞车走壁(摩托车在倾斜的圆形台面 上做水平方向的匀速圆周运动) 已知车的质量为 m，车做匀速圆周运 动的半径为 R，墙壁的倾角为α，车 的 速 度 为 v， 则 动 力 学方 程 为 ________ 归纳要点 向心力不是和重力、弹力、摩擦力等相并列的一种性质的力，是根据力的效果命名的， 在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力(重力、弹力、摩擦力、 万有引力等)以外再添加一个向心力。向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受 到的几个力的合力或某一个力的分力。 命题研究一、圆周运动中的动力学问题 【题例 1】 神六、神七、“嫦娥奔月”相继成功，标志着我国航天事业已实现大跨越， 随着航天事业的发展，培养宇航员也是一项重要工作。宇航员进行航天前训练时，需要进行 抗荷实验，如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验来研究过荷对人体的影响，测 试人的抗荷能力。离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现已知 OA＝L，AB＝d， 当转动时 AB与水平杆 OA成 150°角，人可视为质点，求： (1)被测试者对座位的压力为自身重力的多少倍？ (2)此时实验器转动的角速度多大？ 思路点拨：从题目所给情景中可提炼出如下解题信息：航天员做匀速圆周运动相当于火 车转弯的情况，明确向心力的 ，列牛顿第二定律可求解有关量。 解题要点： 规律总结 圆周运动中动力学问题的解答方法 (1)确定做圆周运动的物体作为研究对象； (2)明确运动情况，包括搞清楚运动的速率 v、半径 R及圆心 O的位置等； (3)分析受力情况，对物体实际受力情况进行正确的分析，画出受力图，确定指向圆心 的合外力 F(即提供向心力)； (4)合理选用公式 Fn＝man＝mv 2 r ＝mω2r＝m4π 2 T2 r。 命题研究二、平抛运动与圆周运动综合问题 【题例 2】 (2012·福建理综)如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动， 当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径 R＝0.5 m， 离水平地面的高度 H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小 x＝0.4 m。设物块所受的 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 g＝10 m/s2。求： (1)物块做平抛运动的初速度大小 v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。 思路点拨：根据平抛运动规律可求出平抛初速度，当物块受到的最大静摩擦力提供向心 力时，利用牛顿第二定律求解。 解题要点： 规律总结 1．解决圆周运动与平抛运动结合的问题，关键是找出各运动转折点的关联量——速度。 2．对于匀速圆周运动和平抛运动结合问题，还应注意圆周运动的周期性问题。 命题研究三、圆周运动中的临界问题 【题例 3】 如图所示，细绳一端系着质量 M＝0.6 kg 的物体 A，静止于水平面，另一 端通过光滑小孔吊着质量 m＝0.3 kg 的物体 B，A的中点与圆孔距离为 0.2 m，且 A和水平 面间的最大静摩擦力为 2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物 体 B会处于静止状态？(取 g＝10 m/s2) 思路点拨：由题中数据看，当ω＝0时，物体 A将向圆心运动，若要使 A相对于圆盘静 止，圆盘应以一定的角速度转动。当 A受到的摩擦力背离圆心为最大静摩擦力时对应的角 速度ω为最小值；当ω由此逐渐增大时，A物体做圆周运动需要的向心力增大，又细绳上的 拉力不变，故 A物体的静摩擦力逐渐减小，当减小到 0后，又反向增大，即指向圆心的静 摩擦力逐渐增大，当达到最大静摩擦力时，对应的ω为最大值。 解题要点： 规律总结 临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择 相应的规律灵活求解，其解题步骤为： (1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的 过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述 的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最 小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 (2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现 的条件，并以数学形式表达出来。 (3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运 动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 结合本题，应分析出物体 A做圆周运动的向心力 ：摩擦力和绳的拉力，绳的拉力等于 B的重力，而摩擦力可以沿半径向里或向外，当沿这两个方向达到最大值，即为两个临界状 态，结合圆周运动的公式，即可求解。 1．质量为 m的石块从半径为 R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦 力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么( ) A．因为速率不变，所以石块的加速度为零 B．石块下滑过程中受的合外力越来越大 C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变 D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心 2．(2013·四川资阳诊断)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮 P和 Q靠摩擦 传动，两轮的半径 R∶r ＝2∶1。当主动轮 Q匀速转动时，在 Q轮边缘上放置的小木块恰 能相对静止在 Q轮边缘上，此时 Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为 a1；若改变 转速，把小木块放在 P 轮边缘也恰能静止，此时 Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速 度为 a2，则( ) A.ω1 ω2 ＝ 2 2 B.ω1 ω2 ＝ 2 1 C.a1 a2 ＝ 1 1 D.a1 a2 ＝ 1 2 3．(2013·洛阳期中)如图所示，长为 L的轻杆，一端固定一个质量为 m 的小球，另一 端固定在水平转轴 O上，杆随转轴 O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球 的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是( ) A．sin θ＝ω2L g B．tan θ＝ω2L g C．sin θ＝ g ω2L D．tan θ＝ g ω2L 4．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道 连接而成，圆形轨道的半径为 R。一质量为 m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑， 然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不 能超过 5mg(g 为重力加速度)。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h的取值范围。 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 一、运动快慢 相切 2πr T 转动快慢 2π T 圈数 ω2r 方向 大小 圆心 mω2r m4π 2 T2 r an＝ v2 r ＝rω2＝ωv＝4π2r T2 ＝4π2f2r Fn＝mv2 r ＝mrω2＝m4π 2r T2 ＝mωv＝m4π2f2r 二、不变 变化 不变 变化 变化 变化 三、1.(1)惯性 2．F>mrω2 基础自测 1．B 解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项 A 错误；摩托车正常转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动， 说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项 B正确；摩托车将沿曲线做离心运动， 选项 C、D错误。 2．C 解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条链上 的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以 v＝2πnr1r3 r2 。 3．D 解析：根据ω＝v/r、T＝2πr/v 和 r＝v/ω可知，选项 A、B、C错误；根据 T＝2π/ω 可知，选项 D正确。 4．A 解析：同轴转动，角速度大小相等，选项 A正确；角速度大小相等，但转动半 径不同，根据 v＝ωr、a＝ω2r和 F＝mω2r可知，线速度、向心加速度和向心力大小均不同， 选项 B、C、D错误。 4．答案：匀速圆周运动的向心加速度方向时刻改变，A错误；只有匀速圆周运动的合 外力才指向圆心，B错误；向心力是效果力，是由沿半径方向的合力提供，并非物体实际受 到的力，C错误；a＝ω2R是在ω一定时 a与 R成正比，同理对 a＝v2 R 是在 v 一定时，a与 R 成反比，D错误；离心力也是效果力，并不是物体实际受到的力，E错误。 核心理解深化 【自主探究 1】 D 提示：同皮带轮传动线速度相等，即 vA＝vB；同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC；ωA ＝ vA 2R ，ωB＝ vB R ，所以ωB＝2ωA；aA＝ v2A 2R ，aB＝ v2B R ，所以 aB＝2aA，aC＝ω2A·R，aA＝ω2A×2R， 所以 aA＝2aC，则 aB＝4aC。 【自主探究 2】 Ff＝mω2r μg r G Mm (R＋h)2 ＝m v2 R＋h mgtan α＝mv2 R mgtan α＝ mω2Lsin α mgtan θ＝mv20 R FN－mg＝mv2 R mg－FN＝mv2 R gR mgtan α＝mv2 R 考向探究突破 【题例 1】 答案：(1)2 (2) 2 3g 2L＋ 3d 解析：以人为研究对象，受力分析如图所示。 由牛顿第二定律和几何知识可知 F＝mω2r① r＝L＋dsin θ② 由图知，FNcos θ＝G。③ θ＝60°④ FNsin θ＝F⑤ 由①②③④⑤得：FN＝2G ω＝ 2 3g 2L＋ 3d 。 【题例 2】 答案：(1)1 m/s (2)0.2 解析：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有 H＝1 2 gt2① 在水平方向上有 x＝v0t② 由①②式解得 v0＝x g 2H ③ v0＝1 m/s (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 Ffmax＝mv20 R ④ Ffmax＝μFN＝μmg⑤ 由③④⑤式解得 μ＝v20 gR ＝0.2 【题例 3】 答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 解析：要使 B静止，A应与水平面相对静止，考虑 A能与水平面相对静止的两个极限 状态： 当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，水平面对 A的静摩擦力方向背离 圆心，大小等于最大静摩擦力 2 N，此时对 A有：T－fm＝Mω21r，B静止时受力平衡，T＝ mg＝3 N，解得ω1＝2.9 rad/s 当ω为所求范围的最大值时，A有远离圆心运动的趋势，水平面对 A的摩擦力方向指向 圆心，且大小也为 2 N，此时对 A有：T＋fm ＝Mω22r 解得ω2＝6.5 rad/s 故ω的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 演练巩固提升 1．D 解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指 向球心，选项 D正确，选项 A错误；由 F 合＝F 向＝ma 向知合外力大小不变，选项 B错误； 又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断 减小，所以摩擦力不断减小，选项 C错误。 2．AC 解析：根据题述，a1＝ω21r，ma1＝μmg；联立解得μg ＝ω21r。小木块放在 P轮 边缘也恰能静止，μg ＝ω22R＝2ω22r。rω1＝Rω2，联立解得 ω1 ω2 ＝ 2 2 ，选项 A正确 B错误；a2 ＝ μg ＝ω22R，选项 C正确 D错误。 3．A 解析：对小球受力分析，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向 O， 合力大小为 mLω2，画出 m受力的矢量图。由图中几何关系可得 sin θ＝ω2L g ，选项 A正确。 4．答案： 5 2 R≤h≤5R 解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为 v，由机械能守恒得 mgh＝2mgR＋1 2 mv2① 物块在最高点受的力为重力 mg、轨道的压力 FN。重力与压力的合力提供向心力，有 mg＋FN＝mv2 R ② 物块能通过最高点的条件是 FN≥0，即当 FN＝0，只有重力提供向心力时为通过最高点 的临界条件，有 mg≤mv2 R ③ 由②③式可得 v≥ gR④ 由①④式得 h≥ 5 2 R⑤ 按题的要求，FN≤5mg，代入②式得 v≤ 6gR⑥ 由①⑥式得 h≤5R