高考数学第一轮复习典型题详解中档题目强化练参数方程专项基础训练 10页

参数方程 ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．‎ ‎2．几种常见曲线的参数方程 ‎(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)．‎ ‎(2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．‎ 当圆心在(0,0)时，方程 ‎(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．‎ ‎(4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)．‎ ‎1．(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．‎ ‎2．椭圆(θ为参数)的离心率为________．‎ ‎3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝________.‎ ‎4．(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为________．‎ ‎5．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________.‎ 题型一　参数方程与普通方程的互化 例1　已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．‎ 思维升华　(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝ 等．‎ ‎(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ ‎　(2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．‎ 题型二　参数方程的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ 思维升华　根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ ‎(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎(2)定点M0是弦M‎1M2‎的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎(3)设弦M‎1M2‎中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M‎2M|及中点坐标)．‎ ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．‎ 题型三　极坐标、参数方程的综合应用 例3在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l的参数方程是(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，则|MN|的最小值为________．‎ 思维升华　涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．‎ ‎　(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．‎ 参数的几何意义不明致误 典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．‎ ‎(1)求直线l的倾斜角；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.‎ 易错分析　不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．‎ 规范解答 解　(1)直线的参数方程可以化为[2分]‎ 根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，‎ 倾斜角为60°.[4分]‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y＝x＋，[6分]‎ ρ＝2cos(θ－)的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝1，[8分]‎ 所以圆心(，)到直线l的距离d＝.‎ 所以|AB|＝.[10分]‎ 温馨提醒　对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注意t是参数，而α则是直线的倾斜角．‎ 与此类似，椭圆参数方程的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．‎ 方法与技巧 ‎1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.‎ ‎2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．‎ ‎3．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0‎ ‎，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ 失误与防范 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ A组　专项基础训练 ‎1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为________．‎ ‎2．将参数方程(0≤t≤5)化为普通方程为________________．‎ ‎3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．‎ ‎4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．‎ ‎5．已知曲线C：(参数θ∈R)经过点(m，)，则m＝________.‎ ‎6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.‎ ‎8．已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝________.‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.‎ ‎10．若直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．‎ B组　专项能力提升 ‎1．已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r ‎>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.‎ ‎2．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线 (t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．‎ ‎5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为________．‎ ‎6．已知圆C的参数方程为 (α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．‎ ‎7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.‎ ‎(1)C1与C2交点的极坐标为________；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，则a，b的值分别为________．‎ 答案 基础知识自主学习 要点梳理 ‎1．任意一点　这条曲线上　参数　普通方程 ‎2．(1)　(2) ‎(3) 夯基释疑 ‎1．－　2.　3.4　4.50°　5.M1‎ 题型分类深度剖析 例1 解析　将两曲线的参数方程化为普通方程分别为＋y2＝1 (0≤y≤1，－0，∴a＝.‎ ‎10．3＋1‎ 解析　ρcos(θ－)＝3，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝6.‎ 由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0)，半径r＝1.‎ 圆心C(0,0)到直线l的距离为＝3.∴dmin＝3＋1.‎ B组 ‎1. 解析　抛物线C1的普通方程为y2＝8x，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y＝x－2，即x－y－2＝0.圆ρ＝r的圆心是极点、半径为r，直线x－y－2＝0与该圆相切，则r＝＝.‎ ‎2．2‎ 解析　将参数方程化为普通方程求解．‎ 将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎3．(1,1)‎ 解析　化参数方程为普通方程然后解方程组求解．‎ C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)，‎ C2的普通方程为x2＋y2＝2.‎ 由得 ‎∴C1与C2的交点坐标为(1,1)．‎ ‎4. 解析　化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t值．射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.‎ 当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)；‎ 当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．‎ 所以AB的中点坐标为.‎ ‎5. 解析　由于直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 故直线l的普通方程为x＋2y＝0.‎ 因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，‎ 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离是d＝ ‎＝.‎ 所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.‎ ‎6．(－1,1)和(1,1)‎ 解析　∵y＝ρsin θ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.‎ 由得x2＋(y－1)2＝1.‎ 由得或 ‎∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．‎ ‎7．(1)，　(2)－1,2‎ 解析　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为，，‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，‎ 由参数方程可得y＝x－＋1，所以 解得a＝－1，b＝2.‎